2.4 函数的周期性与对称性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数周期性与对称性核心考点，涵盖周期性判定、轴对称与点对称技巧、对称性与周期性关系及两个函数对称等知识点，按“知识点梳理-题型分类-方法提炼”逻辑架构，通过知识回顾、典例精讲、真题训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破综合应用难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，创新采用“性质推导-题型应用-真题验证”教学模式，如在对称性与周期性综合题型中，引导学生通过两线对称推导周期公式，发展逻辑推理能力。设置基础巩固到综合拓展分层练习，结合2025年全国卷真题即时应用，确保学生短时间内掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

2.4 函数的周期性与对称性 目录 知识点一、周期性 2 知识点二、对称性技巧 3 知识点三、函数的的对称性与周期性的关系 4 知识点四、两个函数的对称 4 题型一：周期性 5 题型二：轴对称 6 题型三：点对称 6 题型四：两个函数的对称 7 题型五：对称性与周期性的综合应用 7 题型六：类周期与倍增函数 10 01 知识回顾 知识点一、周期性 （1）周期函数： 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. （3）常见的周期性 知识点二、对称性技巧 1、轴对称： （1）若， 则关于对称； （2）设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 （1）若，则关于对称； （2）若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点成中心对称. 若函数关于点对称，则f(a+x)+f(a-x)=2b⇔． （3）设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、奇函数、偶函数的对称性 奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． 若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)． 知识点三、函数的的对称性与周期性的关系 （1）两线对称：若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）两点对称：若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）一线一点对称：若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 知识点四、两个函数的对称 （1）函数与图象关于对称 推论1：函数与关于x=0(轴)对称 推论2：函数与关于x=a对称 推论3：函数与关于x=-a对称 （2）函数与图象关于对称 推论1：函数与图象关于（0，0）原点对称． 推论2：函数与图象关于（a，0）对称 推论3：函数与图象关于（-a，0）对称 （3）两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 02 必做典例 题型一：周期性 【方法技巧】 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题． 1. 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+4,则f(2024)=　　　　.  2. 若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(3)=2,则f(2025)=　　　　.  4. (2025·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，且当x∈(-2，0)时，f(x)=log2(x+3)，则f(2 025)-f(2 028)等于(　　) A.1 B.-1 C.1-log23 D.-1-log23 5. (2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f等于(　　) A.- B.- C. D. 6. （2025·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型二：轴对称 【方法技巧】 (1)若，则函数关于对称． (2)若，则函数关于点对称． 7. 若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=　　　　.  8. 下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是(　　) A.y=ex-1 B.y=e1-x C.y=e2-x D.y=ln x 9. (2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=　　　.  题型三：点对称 10. 已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点　　　　.  11. 已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 . 题型四：两个函数的对称 12. 函数y=-ex与y=e-x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 13. 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 14. （多选题）（2025·高三·黑龙江鸡西·开学考试）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若是奇函数，则的图象关于点对称 C．函数与函数的图象关于直线对称 D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 题型五：对称性与周期性的综合应用 【方法技巧】 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 15. (2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2.则f等于(　　) A. B. C.- D.- 16. (多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x),且f(x)的图象关于点(2,0)对称,则 (　 ) A.f(0)=f(-2) B.f(x)的周期为4 C.f(x)在(2,3)上单调递减 D.f(2021)>f(2022)>f(2023) 17. (多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x+6)=f(x) B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6 C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024) D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x= 18. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称 B.函数f(x)=的图象关于点(2，2)中心对称 C.函数f(x)=ln的图象关于点(1，0)对称 D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 19. (多选)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)=sin x-，则(　　) A.f(x)的一个周期为π B.f(x)的一个周期为2π C.y=f(x)的图象关于点(π，0)对称 D.y=f(x)的图象关于直线x=对称 20. (多选)(2025·徐州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=1 B.函数f(x)的图象关于直线x=4对称 C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递减 D.若m∈(0，1)，则关于x的方程f(x)-m=0在[0，6]上的所有根之和为4 21. (2025·汕头模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=tanx，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f= C.f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增 D.当x∈[0，20]时，方程f(x)=的所有解的和为90 22. （多选题）（2025·江西赣州·二模）函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是周期函数 D． 23. （多选题）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．函数是周期函数 D． 题型六：类周期与倍增函数 【方法技巧】 1、类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 24. 已知函数的定义域为,且满足,当时,则函数在区间上的零点个数为（  ） A． B． C． D． 25. 设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 函数的周期性与对称性 目录 知识点一、周期性 2 知识点二、对称性技巧 3 知识点三、函数的的对称性与周期性的关系 4 知识点四、两个函数的对称 4 题型一：周期性 5 题型二：轴对称 7 题型三：点对称 7 题型四：两个函数的对称 8 题型五：对称性与周期性的综合应用 10 题型六：类周期与倍增函数 16 01 知识回顾 知识点一、周期性 （1）周期函数： 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期. （3）常见的周期性 知识点二、对称性技巧 1、轴对称： （1）若， 则关于对称； （2）设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 （1）若，则关于对称； （2）若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点成中心对称. 若函数关于点对称，则f(a+x)+f(a-x)=2b⇔． （3）设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、奇函数、偶函数的对称性 奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． 若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)． 知识点三、函数的的对称性与周期性的关系 （1）两线对称：若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）两点对称：若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）一线一点对称：若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 知识点四、两个函数的对称 （1）函数与图象关于对称 推论1：函数与关于x=0(轴)对称 推论2：函数与关于x=a对称 推论3：函数与关于x=-a对称 （2）函数与图象关于对称 推论1：函数与图象关于（0，0）原点对称． 推论2：函数与图象关于（a，0）对称 推论3：函数与图象关于（-a，0）对称 （3）两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 02 必做典例 题型一：周期性 【方法技巧】 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据周期定义，从而求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可以解决区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题． 1. 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+4,则f(2024)=　　　　.  【答案】8　 【解析】因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2024)=f(674×3+2)=f(2)=8. 2. 若偶函数对任意都有，且当时，，则 ． 【答案】/0.125 【解析】由题设，即偶函数的周期为6， 所以. 故答案为： 3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(3)=2,则f(2025)=　　　　.  [解析] ∵f(x)f(x+2)=13,∴f(x+2)=,∴f(x+4)===f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(2025)=f(1)==. 4. (2025·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，且当x∈(-2，0)时，f(x)=log2(x+3)，则f(2 025)-f(2 028)等于(　　) A.1 B.-1 C.1-log23 D.-1-log23 答案　B 解析　根据题意，函数f(x)满足f(x+3)=f(x-1)，则f(x)=f(x+4)，即f(x)是周期为4的周期函数， 又2 025=506×4+1，2 028=507×4， 所以f(2 025)=f(1)，f(2 028)=f(0)，又由函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)=0，f(1)=-f(-1)=-log2(-1+3)=-1， 所以f(2 025)-f(2 028)=-1. 5. (2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　A 解析　由题意知f(x)=f(-x)，f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立， 于是f=f=f=5-2×=-. 6. （2025·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，所以，所以的周期为6. 又因为为奇函数， 所以，即，即， 令，则，即 所以， 故选：C. 题型二：轴对称 【方法技巧】 (1)若，则函数关于对称． (2)若，则函数关于点对称． 7. 若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)=　　　　.  答案2.5　 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),又f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5. 8. 下列函数与y=ex关于直线x=1对称的是(　　) A.y=ex-1 B.y=e1-x C.y=e2-x D.y=ln x 答案　C 解析　记f(x)=ex，则关于直线x=1对称的是f(2-x)=e2-x，即y=e2-x. 9. (2026·淮南模拟)函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，则a+b=　　　.  答案　2 解析　因为函数f(x)=(x2+2x)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称，所以f(1+x)=f(1-x)， 所以 即解得 经检验，符合题意，所以a+b=2. 题型三：点对称 10. 已知函数y=f(x)的图象经过点P(1，-2)，则函数y=-f(-x)的图象必过点　　　　.  答案　(-1，2) 解析　y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称，y=f(x)的图象经过点P(1，-2)， 则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1，2). 11. 已知所有的三次函数的图象都有对称中心，，若函数，则 . 【答案】8090 【解析】， 则， 即函数的图象的对称中心为， 则， 故 . 故答案为：8090. 题型四：两个函数的对称 12. 函数y=-ex与y=e-x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 答案　C 解析　根据两函数图象即可判断出其图象关于原点对称. 13. 已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象(　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 答案　A 解析　设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))， 所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上， 而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称， 所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. 14. （多选题）（2025·高三·黑龙江鸡西·开学考试）对于定义在上的函数，下述结论正确的是（    ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若是奇函数，则的图象关于点对称 C．函数与函数的图象关于直线对称 D．若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 【答案】BD 【解析】对A，对，有，令替换，得，可得函数是周期为2的周期函数，则的图象对称性不确定，即A错误； 对B，是奇函数，的图象关于原点成中心对称，而的图象是将的图象向右平移一个单位，的图象关于点对称，故B正确； 对C，函数是由的图象向左平移一个单位得到；函数的图象是由的图象向右平移一个单位得，而与的图象关于轴对称，所以函数与函数的图象关于轴对称，故C错误； 对于D，若函数的图象关于直线对称，则将其向左平移1个单位得到，则对称轴也向左平移1单位，则关于轴对称，即为偶函数，故D正确. 故选：BD. 题型五：对称性与周期性的综合应用 【方法技巧】 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 15. (2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2.则f等于(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　方法一　f(x+1)为奇函数，故f(-x+1)=-f(x+1)， 又f(x+2)为偶函数，故f(-x+2)=f(x+2)， 在f(-x+2)=f(x+2)中，用x-1代替x得f(-x+3)=f(x+1)， 结合f(-x+1)=-f(x+1)得f(-x+1)=-f(-x+3)，即f(x)=-f(x+2)，又f(x+2)=-f(x+4)， 故f(x)=f(x+4)，所以f(x)的一个周期为4， 又当x∈[1，2]时，f(x)=ax2+2，且f(-x+1)=-f(x+1)， 则f(1)=-f(1)，则f(1)=0，则a+2=0，所以a=-2， 则当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2， 故f=f=f=-f=-=. 方法二　因为f(x+1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称， 因为f(x+2)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=2对称， 设f(x)的周期为T，则=2-1=1，所以T=4，又f(x)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(1)=0，解得a=-2，所以当x∈[1，2]时，f(x)=-2x2+2， 所以f=f=f=-f=. 16. (多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x),且f(x)的图象关于点(2,0)对称,则 (　 ) A.f(0)=f(-2) B.f(x)的周期为4 C.f(x)在(2,3)上单调递减 D.f(2021)>f(2022)>f(2023) 答案ABC　 解析 由f(1+x)=f(1-x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(0)=f(2),又由f(1+x)=f(1-x),可知f(2+x)=f(-x).因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,即f(2+x)=-f(2-x),所以f(4+x)=-f(-x),所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4,所以f(-2)=f(2),所以f(0)=f(-2),故A,B正确.因为f(x)在(-1,0]上单调递增,且f(x)的周期为4,所以f(x)在(3,4]上单调递增,又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增,又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(1,2]上单调递减,则函数f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确.根据f(x)的周期为4,可得f(2021)=f(1),f(2022)=f(2),f(2023)=f(3),因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)且f(3)=f(-1),则f(2021)=f(1),f(2022)=f(0),f(2023)=f(-1),由C选项的分析可知,函数f(x)在[0,1)上单调递增,在(-1,0]上单调递增,而f(-1)和f(1)的大小关系不能确定,若f(-1)=f(1)=0,则f(2021)>f(2022)>f(2023)不成立,故D错误.故选ABC. 17. (多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x)，当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x+6)=f(x) B.当x∈[-6，-3]时，f(x)=x2-3x-6 C.f(2 023)+f(2 025)=f(2 024) D.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x= 答案　ACD 解析　因为f(x-3)=-f(x)，所以f(x)=-f(x+3)，则f(x-3)=f(x+3)，所以f(x+6)=f(x)，故A正确； 当x∈[0，3]时，f(x)=x2-3x，则当x∈[-6，-3]时，x+6∈[0，3]，f(x)=f(x+6)=(x+6)2-3(x+6)=x2+9x+18，故B不正确； 由f(x+6)=f(x)，得函数f(x)的一个周期为6，得f(2 023)=f(1+337×6)=f(1)=-2，f(2 025)=f(3+337×6)=f(3)=0，f(2 024)=f(2+337×6)=f(2)=-2，所以f(2 023)+f(2 025)=f(2 024)，故C正确； 由A选项知，f(x)=-f(x+3)，又f(x)=-f(-x)，则f(x+3)=f(-x)，所以函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=，故D正确. 18. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A.奇函数f(x)满足对∀x∈R都有f(x-4)-f(x)=0，则函数f(x)的图象关于点(4，0)对称 B.函数f(x)=的图象关于点(2，2)中心对称 C.函数f(x)=ln的图象关于点(1，0)对称 D.函数f(x)满足f(x-1)为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 答案　AC 解析　对于A，因为f(x-4)-f(x)=0，所以f(x)的一个周期为4，又f(x)为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，因为周期为4，所以f(x)的图象也关于点(4，0)对称，A正确； 对于B，f(x)===2-，其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-的图象关于原点对称，故f(x)=的图象关于点(-2，2)中心对称，B错误； 对于C，因为f(2-x)=ln=ln=ln=-ln=-f(x)， 所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，C正确； 对于D，因为f(x-1)为奇函数， 所以f(x-1)=-f(-x-1)， 所以f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，D错误. 19. (多选)(2026·茂名模拟)已知函数f(x)=sin x-，则(　　) A.f(x)的一个周期为π B.f(x)的一个周期为2π C.y=f(x)的图象关于点(π，0)对称 D.y=f(x)的图象关于直线x=对称 答案　BCD 解析　对于A，因为f(π+x)=-f(x)≠f(x)，所以π不是f(x)的一个周期，A错误； 对于B，因为f(2π+x)=f(x)，所以2π是f(x)的一个周期，B正确； 对于C，可知f(x)=sin x-的定义域为， 因为f(2π-x)=sin(2π-x)-=-sin x+=-f(x)， 所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，故C正确； 对于D，因为f(π-x)=sin(π-x)-=sin x-=f(x)， 所以直线x=是f(x)图象的一条对称轴，故D正确. 20. (多选)(2025·徐州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=1 B.函数f(x)的图象关于直线x=4对称 C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递减 D.若m∈(0，1)，则关于x的方程f(x)-m=0在[0，6]上的所有根之和为4 答案　ACD解析　f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，又f(x)满足f(x+4)=-f(x)， 所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期函数，它的一个周期是8. 对于A，由f(x+4)=-f(x)得f(3)=-f(-1)=f(1)=log2(1+1)=1，A正确； 对于B，因为f(x)+f(8-x)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)的图象关于点(4，0)中心对称，B错误； 对于C，因为f(x+4)=-f(x)=f(-x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，且当x∈[0，2]时，f(x)=log2(x+1)，则根据f(x)的性质画出函数f(x)的部分图象如图， 由图可知，函数f(x)在[-6，-2]上单调递减，C正确； 对于D，在区间[0，6]上，y=f(x)与y=m，m∈(0，1)的图象有两个交点，所以关于x的方程f(x)-m=0有两个不相等的实根x1，x2，且两实根关于直线x=2对称，所以x1+x2=4，D正确. 21. (2025·汕头模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=tanx，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f= C.f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增 D.当x∈[0，20]时，方程f(x)=的所有解的和为90 答案　ACD 解析　由f(x+2)=-f(x)=f(-x)知，f(x)的图象关于直线x=1对称，A正确； 所以f=f=tan=，B错误； 奇函数f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)=0，所以f(x)在[-1，1]上单调递增， 由f(x+4)=-f(x+2)=f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数， 又2 023=4×506-1，2 025=4×506+1，所以f(x)在区间[2 023，2 025]上单调递增，C正确； 画出函数f(x)的图象(图略)，方程f(x)=在[0，4]上有两根，且两根关于直线x=1对称，所以两根和为2，故f(x)=在[0，20]上所有根的和为2×(1+5+9+13+17)=90，D正确. 22. （多选题）（2025·江西赣州·二模）函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是周期函数 D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为是奇函数，所以， 则有，的图象关于点对称，故A错误； 对于B，是奇函数，其图象关于原点对称， 向右平移1个单位后可得，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因为是奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以①， 因为，所以②， 由①②可得：，所以， 所以，， 所以是函数的一个周期函数，所以是周期函数，故C正确； 对于D，因为，所以， ，，， 所以， 而，故D错误. 故选：BC. 23. （多选题）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．函数是周期函数 D． 【答案】BCD 【解析】对A：由，故为奇函数， 若为偶函数，则，与条件不符，故A错误； 对B：由，则，又， 即，即，又定义在上， 故为奇函数，故B正确； 对C：由，，， 所以，则， 所以，， 所以，所以， 则函数是周期函数的周期函数，函数是周期函数的周期函数，故C正确； 对D：由是周期函数的周期函数， 由，令，则，即，令，则，即，由，， 则，则关于对称，则关于对称， 又为奇函数，即关于中心对称，故关于对称， 则，则，故D正确. 故选：BCD. 题型六：类周期与倍增函数 【方法技巧】 1、类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 24. 已知函数的定义域为,且满足,当时,则函数在区间上的零点个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时,最大值为, 当时, 其最大值为, 当时,，在上是增函数,在上是减函数,, 当时,,最大值为, 当时, ,在上是增函数,在上是减函数, 又当时,的图像与直线有个交点,函数在区间上有个零点 故选：C 25. 设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对称轴为，所以当时，的最小值为； 当时，，由知，，所以此时，其最小值为； 同理，当时，，其最小值为； 当时，的最小值为； 作出如简图，因为，要使， 则有.解得或， 要使对任意，都有，则实数的取值范围是. 故选:. 26. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，得，得分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．，， 时，， 时，； 时，； 时，； 当时，由，解得或， 若对任意，都有，则． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $