函数的奇偶性、周期性、对称性讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性、对称性、周期性核心考点，按定义、性质、综合关系逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、口诀方法指导（如“同号周期，异号对称”）、真题跟踪训练等环节，帮助学生突破抽象性质应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”培养为核心，设计结论推导教学（如双对称出周期证明），结合分层训练题（选择、填空、解答），助力学生掌握符号表达与逻辑推理能力。通过口诀记忆与实例分析，在有限时间内提升性质综合应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

函数奇偶性、对称性、周期性(2027一轮复习讲义) 一．函数的奇偶性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 注：①判断函数奇偶性先判断函数的定义域是否关于_原点_对称； 2.函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 3.常见奇、偶函数的类型 (1)（）为偶函数； (2)（）为奇函数； 下图为（它们与二次函数三次函数像极了！建议背得） (3)（）为奇函数； 下图为和 Fff() (4)（）为奇函数； 下图为和 (5)（）为奇函数； (6)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数； (7)常函数一定是偶函数，其中既是奇函数又是偶函数； (8)函数是偶函数． (9)kZ时，是奇函数，是偶函数； (10)；；是偶函数 二．函数图像的自对称（对称轴，对称中心）（大招口诀：同号周期，异号对称） 1.，则函数的图象关于直线对称. 2.，则函数的图象关于对称. 三．两个函数图像之间的对称关系（互对称） 1.函数与函数的图像关于直线对称. （记忆方法：括号里两个拉来相等，由得到） 理解：函数 与函数 的图像关于直线对称. 2. 函数与函数的图像关对称. 理解：函数与函数的图像关于原点对称. 四．函数的周期性 1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期 4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 5、函数周期性的判定： （1）：可得为周期函数，其周期 6、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数）（同号周期，异号对称） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； （7）（为常数）的周期 （8）（为常数）的周期 证明：第（3）条的周期 分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式： 所以有：，即周期 注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期 证明：第（4）条的周期 分析： 证明第（7）条（为常数）的周期 分析：，两式相减可得： 五．函数对称性与周期性的关系（大招：双对称出周期） （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； 分析：关于轴对称 关于轴对称 的周期为 （2） 若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 6． （1）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称. （2）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称. 理解：① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称. 七．函数与导函数的对称性 已知函数的导函数为 若函数关于对称，则关于直线对称； 若函数关于直线对称，则关于对称； 证明：若函数关于对称，则，求导得，即则关于直线对称； 若函数关于直线对称，则，求导得，即关于对称. 推论：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数. 八、跟踪训练 1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东广州·期末）已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（专题04单调性、奇偶性、周期性和对称性的应用24种常见考法归类（核心题型清单）-2）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的周期为 C．的图象关于中心对称 D． 10．（多选题）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 11．（多选题）（25-26高二下·青海西宁·期末）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 12．（多选题）（25-26高二下·福建南平·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D． 13．（多选题）（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的有（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C． D．函数在上单调递减 14．（多选题）（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 15．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 16．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则_____． 17．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则函数的图象与函数的图象有___________个交点． 18．（24-25高一下·青海海东·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若函数，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数奇偶性、对称性、周期性(2027一轮复习讲义) 一．函数的奇偶性 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 注：①判断函数奇偶性先判断函数的定义域是否关于_原点_对称； 2.函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 3.常见奇、偶函数的类型 (1)（）为偶函数； (2)（）为奇函数； 下图为（它们与二次函数三次函数像极了！建议背得） (3)（）为奇函数； 下图为和 Fff() (4)（）为奇函数； 下图为和 (5)（）为奇函数； (6)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数； (7)常函数一定是偶函数，其中既是奇函数又是偶函数； (8)函数是偶函数． (9)kZ时，是奇函数，是偶函数； (10)；；是偶函数 二．函数图像的自对称（对称轴，对称中心）（大招口诀：同号周期，异号对称） 1.，则函数的图象关于直线对称. 2.，则函数的图象关于对称. 三．两个函数图像之间的对称关系（互对称） 1.函数与函数的图像关于直线对称. （记忆方法：括号里两个拉来相等，由得到） 理解：函数 与函数 的图像关于直线对称. 2. 函数与函数的图像关对称. 理解：函数与函数的图像关于原点对称. 四．函数的周期性 1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期 4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 5、函数周期性的判定： （1）：可得为周期函数，其周期 6、函数的周期性的常用结论（是不为0的常数）（同号周期，异号对称） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（）； （7）（为常数）的周期 （8）（为常数）的周期 证明：第（3）条的周期 分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式： 所以有：，即周期 注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期 证明：第（4）条的周期 分析： 证明第（7）条（为常数）的周期 分析：，两式相减可得： 五．函数对称性与周期性的关系（大招：双对称出周期） （1）若函数关于直线与直线对称，那么函数的周期是； 分析：关于轴对称 关于轴对称 的周期为 （2） 若函数关于点对称，又关于点对称，那么函数的周期是； （3）若函数关于直线，又关于点对称，那么函数的周期是. 6． （1）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称. （2）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称. 理解：① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有 ② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称. 七．函数与导函数的对称性 已知函数的导函数为 若函数关于对称，则关于直线对称； 若函数关于直线对称，则关于对称； 证明：若函数关于对称，则，求导得，即则关于直线对称； 若函数关于直线对称，则，求导得，即关于对称. 推论：奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数. 八、跟踪训练 1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可. 【详解】选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误； 选项B，在中，，因为，所以函数是奇函数， 因为函数和均在R上单调递减，所以函数在定义域R上单调递减，不符合题意，B错误； 选项C，在中，,因为，所以函数是偶函数，不符合题意，C错误； 选项D，在中，由，得解得，即定义域为，关于坐标原点对称， 因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，所以函数在定义域上单调递增，符合题意，D正确． 2．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为，在上单调递减，A错误； 对于B，函数的定义域为，，函数为奇函数，B错误； 对于C，函数的定义域为，为奇函数，C错误； 对于D，函数的定义域为，， 函数为偶函数，当时，，因此在上单调递增，D正确。 3．（25-26高一下·广东广州·期末）已知是定义域为的偶函数，且是奇函数，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据奇偶函数的性质找到函数的周期，再根据求和的表达式找出数列的周期，从而求出数列前2026项的和. 【详解】设，因为是奇函数， 所以，即， 因为是偶函数， 所以，即， 令，则，所以， 即， 因此以4为周期， 因为是奇函数，所以，即， 因为，是偶函数， 所以， 因此，， ，， 设，则，， 因为以4为周期， 所以，即数列每8项重复一次， 当时，前8项之和为，即每8项的和都是0， 因为， 所以前2024项正好是253个完整周期，和为0，剩下两项的和为， 所以，故选项D正确. 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 5．（专题04单调性、奇偶性、周期性和对称性的应用24种常见考法归类（核心题型清单）-2）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数，所以. 又因为函数周期，因此， ，且， 则 因此. 6．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，， ． 7．（25-26高二下·湖南郴州·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，结合对称性及已知确定函数的单调性，再将不等式转化为不等式组求解. 【详解】由函数是定义在上的偶函数，得，即函数的图象关于直线对称， 由函数在上单调递增，得函数在上单调递减， 且，则当或时，；当时，， 不等式等价于或， 即或，解得或， 所以的解集为. 8．（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 9．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知定义在上的函数满足，且为奇函数．当时，．则下列说法正确的是（    ） A． B．的周期为 C．的图象关于中心对称 D． 【答案】AD 【分析】由题意推导出的对称中心是，且周期；A．利用转化，结合已知区间解析式算出；B. 周期，判断 B 错；C.验证不是函数对称中心，C 错误；D. 利用的周期，求出，结合计算. 【详解】由，得关于直线对称，即， 由是奇函数，得，即， 所以关于点中心对称，且， 由，，所以， 得到，周期， 已知，， A选项：由，令得，A 正确； B选项：的周期是 ，B错误； C选项：由得， 由，，得， 即，所以是奇函数， 因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 又因为函数的一个对称中心为，且周期为，故函数的一组对称中心为， 所以函数的对称中心为， 令，得，不符合，所以不是对称中心，C 错误； D选项：的周期，， 所以，，所以，D正确. 10．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】BC 【分析】先由和为偶函数推导函数的对称性、周期性，再结合的解析式逐一判断选项. 【详解】是偶函数，故，图象关于对称； 是偶函数，故，图象关于对称； 所以， 故是周期为2的周期函数， 选项A：，错误； 选项B：对任意，，，故，图象关于直线对称，正确； 选项C：当时，，故，该二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递增，正确； 选项D：若关于中心对称，则，又，所以，令，得，但，矛盾，错误. 11．（25-26高二下·青海西宁·期末）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 【答案】ABD 【分析】利用函数是偶函数及可得；利用可得的图象关于点中心对称；利用，可得；利用得，再利用即可计算. 【详解】对于选项A，由是偶函数得， 又因为，所以，则，即. 所以，所以的一个周期为，故A正确； 对于选项B，由得，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C，由得，即. 由得，即. 因为，所以，即的图象不关于对称，故C错误； 对于选项D，由得，即. 所以，即. 由得，所以函数的周期为. 所以，故D正确. 12．（25-26高二下·福建南平·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】AB 【分析】先求的周期，再求，再举出不是奇函数但是满足题意的函数，最后根据周期性讨论的值. 【详解】由题可知：，由得，对两边求导得：，即得， 所以关于中心对称，所以，因为为偶函数，所以， 根据关于中心对称得，所以，所以， ，所以A正确，B正确； 对于C，令，其导数为偶函数，且满足，，但是不是奇函数，C错误； 对于D，因为，所以，即， 的周期为8，考虑的前八项，其中，，， ， 因为可为任意实数，所以不一定为，所以D错误. 13．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的有（    ） A． B．为函数图象的一条对称轴 C． D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【分析】A选项，根据为奇函数，得到关于中心对称，；B选项，根据为偶函数，得到关于轴对称，B正确；C选项，分析得到的一个周期为4，故，C错误；D选项，先得到在上单调递增，又关于轴对称，故函数在上单调递减. 【详解】A选项，为奇函数，故，故关于中心对称， 故，A正确； B选项，为偶函数，故，故关于轴对称，B正确； C选项，由A知，，故， 即， 又，故， 所以，故， 故的一个周期为4，故，C错误； D选项，在上单调递增，关于中心对称， 故在上单调递增， 又，故在上单调递增， 又关于轴对称，故函数在上单调递减，D正确. 故选：ABD 14．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）已知函数是定义在R上的奇函数，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】由奇函数的定义判断A，由函数解析式判断B，由奇函数及周期求得判断C选项，由函数在的解析式得函数的单调区间，结合对称性得到函数在上单调性，判断D选项. 【详解】∵函数是定义在R上的奇函数， ∴且，A选项正确； ∵，，B选项正确； ∵， ∴当时，，C选项错误； ∵， ∴，即， ∴函数关于点中心对称， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，∴， 又∵函数关于点中心对称， ∴在上单调递增，D选项正确. 故选：ABD. 15．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则_______． 【答案】0 【分析】根据题中函数奇偶性，得出函数的周期为4且，可求出结果. 【详解】根据题意知为偶函数，为奇函数， 所以， ， ， 可得， 所以，则是以4为周期的函数， 又因为奇函数，令，可得， 所以. 16．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则_____． 【答案】-3 【详解】由题意得, ; 由可得 由定义在上的奇函数可得. ,,. 17．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则函数的图象与函数的图象有___________个交点． 【答案】17 【详解】当时，，所以函数在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以函数在上的值域为， 由，可得关于直线对称， 所以函数在上单调递减，值域为， 由，得， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数， 函数在上单调递增，由，得， 又，所以函数的图象与函数的图象在有一个交点， 在，（且）上每个周期内各有2个交点， 所以函数的图象与函数的图象有17个交点. 18．（24-25高一下·青海海东·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若函数，求的值． 【答案】(1)是偶函数， 证明如下：由，可得， 则的定义域为，关于原点对称． ， 所以是偶函数． (2)2 【分析】（1）由奇偶函数的定义证明即可. （2）令函数，先求出是奇函数，则，即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）令函数，则， 由（1）可知是偶函数， 因为 所以是奇函数，从而， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $