第49讲面积问题讲义-2027届高三数学一轮复习

第49讲 面积问题 底高·铅垂·割补三选·反求与最值·面积与距离互换 一、面积公式三选 1. 底高式. 底高：焦弦题拿 当底、竖直落差 当高，得 ；斜弦则底 、高取点到直线距离. 2. 铅垂式与割补式. 铅垂式=½×水平宽×铅垂高；割补式 （叉积）一步到位，两点异侧时自动成立. 3. 三选的原则. 焦弦优先 作底；点在曲线上先参数化；斜三角形不动点线距离就用叉积——公式选对，计算量减半. 【通法】焦弦先想|OF|作底,竖直落差作高. 【通法】曲线上的点先参数化,再配方. 【通法】斜三角形叉积兜底:½|x₁y₂−x₂y₁|. 例1（解答·★★★★☆） 已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的方程；（2）已知过点的直线交抛物线于，两点，的面积为，求直线的方程. 【切入点】(1) ，，。(2) 设 ：，，。铅垂式： ，直线 。 【关键】焦弦面积两条路：½·底·高（点线距）与铅垂式 ½——后者免求 ，韦达一次成型，反求直线只剩开方. 【答案】（1）；（2） 变式1（解答·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点.（1）求点的坐标；（2）求的面积. 【切入点】(1) ，，。(2) ：，，；， 【关键】面积反求参数正着走：弦长条件定 ，面积只剩点到直线距离——先配方后开根，两步各自干净. 【答案】（1）；（2） 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【切入点】：，，，，， 或 ，选 C。 【关键】面积反求倾斜角天然双解——互为补角的两条弦面积相同，斜率 对应 一对，选项里必有一支. 【答案】选 C 变式3（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于_________． 【切入点】，。：； 即 ，配 解得 ，，。 【关键】定比先翻成横坐标关系，积为 秒解两根；面积拿 当底、 当高——准线与 轴的交点是免费底座. 【答案】 二、反求与最值 1. 反求三步. 面积条件 → 韦达表达式 → 方程解参数：负根与退化情形（相切、过顶点、重合）回定义域筛. 2. 最值两套路. 变量单一化后走均值不等式（分母乘积有界）或求导；分式先换元 化成幂函数. 3. 参数点法. 抛物线上的点设 型，点到直线距离的分子配方，面积最值就是配方最低点. 【通法】面积条件列方程,增根回筛. 【通法】换元 t=k²+1,分式化幂函数. 【通法】抛物线点设参数式,距离分子配方. 例2（解答·★★★★★） 过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为．（1）证明：直线与相切；（2）若，记直线与的切点为，求面积的最小值． 【切入点】(1) （）交 轴于 ，垂线 。联立 ：，，故 与 相切。 (2) ：切点为 。韦达给 与 ， 令 ，，， 时最小，。 【关键】(1) 判别式自动归零——过焦点的弦与过其 轴截点的垂线，相切是结构的礼物；(2) 面积最值换元 后是标准幂函数，导数一点即破. 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式4（填空·★★★★☆） 已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 【切入点】，。设 ： 【关键】抛物线上的点设参数式，点到直线距离的分子配方——面积最小值就是配方的最低点，在 处取得. 【答案】 变式5（解答·★★★★★） 已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为.（1）求的标准方程；（2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点.①求的大小；②求四边形面积的最小值. 【切入点】(1) ，，，，。 (2)① 中点 给 ，，，，。 ② ，把 换成 得 ： （均值：， 取等）。 【关键】①的点差关系 是垂直的引擎；②两条互相垂直的焦弦，面积=½·两弦之积——均值不等式收口，对称位置 取等. 【答案】（1）；（2）①；② 三、面积与距离互换 1. 等面积⇔等距离. 同底（或补成同底）的两个三角形面积相等 ⟺ 第三顶点到底边所在直线等距——面积条件一句话翻译成距离条件. 2. 共高即共比. 共高的三角形面积比就是底之比：定比 一类条件，面积比直接继承. 3. 注意韦达的符号. 过抛物线外一点的弦（如 ）两根之积为正，与过焦点的弦（积为 ）恰好相反——截距改一个符号，韦达全变. 【通法】等面积翻等距,几何一步到位. 【通法】共高三角形,面积比=底之比. 【通法】截距变号,韦达积变号,先验再代. 例3（解答·★★★★★） 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 【切入点】(1) ，：，。 (2) 各拼上 ：，即 与 到直线 等距。（）： 直线 。 【关键】等面积各拼同一块三角形就化为等底等高——“等面积”翻成“两点到直线等距”；绝对值双解由位置条件（、 均在 轴下方给 ）掐一支. 【答案】（1）；（2） 变式6（解答·★★★★★） 抛物线的焦点为，且过点．（1）求的方程；（2）过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．①证明：点到和的距离相等；②若的面积等于的面积，求点的坐标． 【切入点】(1) ，。(2)① ：，（截距 ，积为正！）。，： 恒成立，故 （）平分 ， 在 上即到 、 等距。 ② 各拼 （ 在 上也在 上，两个大三角形被 、 分割）：，，，， 在 中垂线上：，。 【关键】①的钥匙是韦达积 ——过 的线 与过焦点的弦符号相反；②等面积各拼一块化共底，平行立刻现形，面积条件背后都是位置关系. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；② 变式7（解答·★★★★★） 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线与交于，两点，且点为线段的中点，求的面积． 【切入点】(1) 椭圆右顶点 即 ：，。(2) 中点 ：，点差 ，；，， 【关键】中点给“和”，点差给斜率——面积仍是“弦长×距离”的老三样；点差之后 照验（ 在抛物线内部）. 【答案】（1）；（2） 变式8（填空·★★★☆☆） 已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则 = _____________ 【切入点】 给 ，。叉积：，即 ；配 ： ，。 【关键】异侧两点用叉积 ½ 一步写面积；解出的双根靠“位于 轴异侧”掐支——填空也要回定义域. 【答案】 变式9（单选·★★★☆☆） 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】设 ，。过 作 ：，，倾斜角 ；由 得 ，而 ，，高 ： 选 B。 【关键】焦半径定比给倾斜角，准线交点给底——面积=½底×高全程几何拼图，不联立. 【答案】选 B 四、压轴:外接圆与定圆底座 1. 过原点的圆. 圆过 设 ——与抛物线联立消 后按 整理成四次（缺三次项），比较系数读出三根之和. 2. 韦达的多点推广. 圆与抛物线交于 四点时， 由三次项系数为零直接读出——韦达从"两根"推广到"三根". 3. 定圆与面积联袂. 类条件先翻成距离定值（定圆），面积 中 定住，只剩弦长一个变量. 【通法】圆过原点,设一般式联立. 【通法】比较系数读三根之和. 【通法】先定距离再攻弦长,换元收口. 例4（解答·★★★★★） 已知抛物线，为其焦点，直线过点交抛物线于、两点，若面积的最小值为．（1）求；（2）若外接圆与抛物线的另一个交点为点（异于，，），设，，，证明：． 【切入点】(1) （ 取等），，。 (2) 外接圆过 ：，代入 ： 四次式缺 项， 是括号内三次式的三根：展开比较 的系数得 ，即 。 【关键】外接圆过原点缺常数项，联立后按 整理比较系数——三次项系数恰是“三根之和”的相反数；韦达的多点推广，系数比较是唯一钥匙. 【答案】（1）；（2）证明见解析 变式10（解答·★★★★★） 已知椭圆，直线与交于，两点，且（为坐标原点）．（1）探究：是否存在定圆与直线始终相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程． 【切入点】(1) 联立 ， 即 ：，。距离 定圆 （ 竖直时 亦切）。 (2) ：（）， 时 ，，此时 ，。 【关键】 韦达出 ，距离平方配方成定值——“定圆”就是 的常数化；面积最值只剩弦长，换元 化对勾函数封顶. 【答案】（1）定圆 ；（2）最大值 ， 变式11（解答·★★★★★） 已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．当垂直于轴，且四边形的面积为时，求直线的方程． 【切入点】 轴：，，。对角线 竖直，面积 ，。：， 或 。 【关键】面积=½×一条对角线×另一条对角线在其垂直方向上的投影—— 竖直时该投影恰是 的水平投影 ，韦达一次收口. 【答案】 或 变式12（单选·★★★☆☆） 设为坐标原点，为抛物线的焦点，过作轴的垂线交于，两点，点在上（异于点，，），且在轴上的正投影为点，则四边形的面积为（　） A．与成正比 B．与成正比 C．与成正比 D．与成正比 【切入点】通径 ，四边形面积为 ；配 ： 与 成正比，选 B（ 含常数项，与 、 不成正比）。 【关键】通径 是免费底； 配抛物线方程立刻翻成 ——“与谁成正比”看平方，含常数项的都不算. 【答案】选 B 学科网（北京）股份有限公司 $ 第49讲 面积问题 底高·铅垂·割补三选·反求与最值·面积与距离互换 一、面积公式三选 1. 底高式. 底高：焦弦题拿 当底、竖直落差 当高，得 ；斜弦则底 、高取点到直线距离. 2. 铅垂式与割补式. 铅垂式=½×水平宽×铅垂高；割补式 （叉积）一步到位，两点异侧时自动成立. 3. 三选的原则. 焦弦优先 作底；点在曲线上先参数化；斜三角形不动点线距离就用叉积——公式选对，计算量减半. 例1（解答·★★★★☆） 已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的方程；（2）已知过点的直线交抛物线于，两点，的面积为，求直线的方程. 变式1（解答·★★★★☆） 已知抛物线的焦点为上有一点到焦点的距离为3，过焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点.（1）求点的坐标；（2）求的面积. 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知过抛物线的焦点F且倾斜角为θ的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，若的面积为，则θ的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 变式3（填空·★★★☆☆） 已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于_________． 二、反求与最值 1. 反求三步. 面积条件 → 韦达表达式 → 方程解参数：负根与退化情形（相切、过顶点、重合）回定义域筛. 2. 最值两套路. 变量单一化后走均值不等式（分母乘积有界）或求导；分式先换元 化成幂函数. 3. 参数点法. 抛物线上的点设 型，点到直线距离的分子配方，面积最值就是配方最低点. 例2（解答·★★★★★） 过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为．（1）证明：直线与相切；（2）若，记直线与的切点为，求面积的最小值． 变式4（填空·★★★★☆） 已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 变式5（解答·★★★★★） 已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为.（1）求的标准方程；（2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点.①求的大小；②求四边形面积的最小值. 三、面积与距离互换 1. 等面积⇔等距离. 同底（或补成同底）的两个三角形面积相等 ⟺ 第三顶点到底边所在直线等距——面积条件一句话翻译成距离条件. 2. 共高即共比. 共高的三角形面积比就是底之比：定比 一类条件，面积比直接继承. 3. 注意韦达的符号. 过抛物线外一点的弦（如 ）两根之积为正，与过焦点的弦（积为 ）恰好相反——截距改一个符号，韦达全变. 例3（解答·★★★★★） 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，点在C上.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过的直线交双曲线C于M，N两点（M，N两点均位于x轴下方，M在左，N在右），线段AM与线段交于点R，若的面积等于的面积，求直线MN的方程. 变式6（解答·★★★★★） 抛物线的焦点为，且过点．（1）求的方程；（2）过点的一条直线与交于、两点（在线段之间），且与线段交于点．①证明：点到和的距离相等；②若的面积等于的面积，求点的坐标． 变式7（解答·★★★★★） 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线与交于，两点，且点为线段的中点，求的面积． 变式8（填空·★★★☆☆） 已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则 = _____________ 变式9（单选·★★★☆☆） 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（ ） A. B. C. D. 四、压轴:外接圆与定圆底座 1. 过原点的圆. 圆过 设 ——与抛物线联立消 后按 整理成四次（缺三次项），比较系数读出三根之和. 2. 韦达的多点推广. 圆与抛物线交于 四点时， 由三次项系数为零直接读出——韦达从"两根"推广到"三根". 3. 定圆与面积联袂. 类条件先翻成距离定值（定圆），面积 中 定住，只剩弦长一个变量. 例4（解答·★★★★★） 已知抛物线，为其焦点，直线过点交抛物线于、两点，若面积的最小值为．（1）求；（2）若外接圆与抛物线的另一个交点为点（异于，，），设，，，证明：． 变式10（解答·★★★★★） 已知椭圆，直线与交于，两点，且（为坐标原点）．（1）探究：是否存在定圆与直线始终相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程． 变式11（解答·★★★★★） 已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．当垂直于轴，且四边形的面积为时，求直线的方程． 变式12（单选·★★★☆☆） 设为坐标原点，为抛物线的焦点，过作轴的垂线交于，两点，点在上（异于点，，），且在轴上的正投影为点，则四边形的面积为（　） A．与成正比 B．与成正比 C．与成正比 D．与成正比 学科网（北京）股份有限公司 $