专题15 圆的相关概念专项训练（8大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题15 圆的相关概念 题型01 圆中相关概念问题 题型02 弦与直径 题型03 弦的条数 题型04 弧的识别 题型05 圆心角的识别 题型06 圆心角的度数 题型07 连半径构造等腰三角形 题型08 四点共圆 ▌题型01 圆中相关概念问题 【典例1】下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 【变式1-1】下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【分析】根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，不符合题意； B、半圆属于弧，正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，原说法错误，符合题意； D、圆上各点到圆心的距离都相等，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【分析】根据圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧）的定义，逐一分析每个选项的正误． 【解答】解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，所以A选项错误，不符合题意； 直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，所以B选项错误，不符合题意； 圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故圆既是轴对称图形又是中心对称图形，所以C选项正确，符合题意； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，所以D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】下列说法中正确的是（　　） A．直径是弦，半径也是弦 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．弦就是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 【分析】根据圆的有关知识和概念判断即可． 【解答】解：A、直径是弦，但半径不是弦，说法错误，不符合题意； B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，说法正确，符合题意； C、弦不一定是直径，说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，说法错误，不符合题意； 故选：B． ▌题型02 弦与直径 【典例1】在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 【变式1-1】已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 【变式1-2】已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 【变式1-3】将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图像得出摩天轮离地面的最高高度和最低高度，利用直径等于最高高度减去最低高度求出直径，进而求出半径． 【详解】解：由函数图像可知，摩天轮上一点离地面的最大高度为，最小高度为 ， 摩天轮的直径等于最大高度与最小高度之差， 摩天轮的直径为， 摩天轮的半径为． ▌题型03 弦的条数 【典例1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【变式1-1】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【变式1-2】如图，在⊙O中，弦的条数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【解答】解：如图，在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD．共有4条弦． 故选：C． 【变式1-3】如图，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【解答】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选：B． ▌题型04 弧的识别 【典例1】如图，图中有 　 　 条直径，　 　条弦，以点A为端点的优弧有 　 　 条，劣弧有 　 　 条． 【分析】根据直径、弦、优弧和劣弧的定义写出答案即可． 【解答】解：圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有13条， 故答案为：一，三，四，十三． 【变式1-1】如图，在⊙O中，　 　是直径，　 　 是弦，　 　 是劣弧，　 　 是优弧． 【分析】根据直径、弦、劣弧和优弧的定义求解． 【解答】解：在⊙O，AD是直径，AD、AC为弦，、是劣弧，、是优弧． 故答案为：AD；AD、AC；、；、． 【变式1-2】如图，圆中有　 　 条直径，　 　 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有　 　 条，劣弧 有　 　　 条． 【分析】根据直径、弦、优弧和劣弧的定义写出答案即可． 【解答】解：圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为：一，三，四，四． 【变式1-3】战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的大致意思是圆有一个圆心，圆上各点到圆心 距离都等于半径．如图，在⊙O中： （1）直径有 ； （2）半径有 ； （3）弦有 ； （4）劣弧有 ； （5）优弧有 ． 【分析】（1）根据所给图形，得出直径即可； （2）根据所给图形，得出半径即可； （3）根据所给图形，得出弦即可； （4）根据所给图形，得出劣弧即可； （5）根据所给图形，得出优弧即可． 【解答】解：（1）由所给图形可知，直径有线段AB． 故答案为：线段AB； （2）由所给图形可知，半径有线段OA、OB． 故答案为：线段OA、OB； （3）由所给图形可知，弦有线段AB、AC、BC． 故答案为：线段AB、AC、BC； （4）由所给图形可知，劣弧有、． 故答案为：、； （5）由所给图形可知，优弧有、． 故答案为：、． ▌题型05 圆心角的识别 【典例1】图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 【变式1-2】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆心角的概念解答． 【解答】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】如图所示，下列各角是圆O内的角，其中圆心角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【分析】根据圆心角的定义即可解决问题． 【解答】解：因为顶点在圆心的角是圆心角， 所以只有A选项符合题意． 故选：A． ▌题型06 圆心角的度数 【典例1】如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 【变式1-1】如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 【变式1-2】如图，为120°，则弦AB所对的圆心角度数为 　120°　 ． 【分析】连接OA、OB，由为120°可得∠AOB＝120°，据此即可求解． 【解答】解：连接OA、OB， ∵为120°， ∴∠AOB＝120°， ∴弦AB所对的圆心角度数为120°， 故答案为：120°． 【变式1-3】若一条弦把圆分成1：5两部分，则劣弧所对的圆心角为 　60°　 ． 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系求出劣弧所对圆心角的度数，再根据圆周角定理得出该弦所对圆周角的度数即可． 【解答】解：∵一条弦把圆周分成1：6的两段弧， ∴劣弧所对圆心角的度数360°＝60°， 故答案为：60°． ▌题型07 连半径构造等腰三角形 【典例1】如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，A为DC延长线上一点，连接AE与⊙O交于点B，且AB＝OC，若∠A＝24°，则∠DOE的度数是　 　 ． 【分析】连接OB，利用等腰三角形的性质得到∠AOB＝∠A＝24°，以及三角形外角的性质求出∠OBE＝∠E＝48°，结合∠DOE＝∠E+∠A即可求解． 【解答】解：如图，连接OB， ∵AB＝OC，OB＝OC，∠A＝24°， ∴AB＝OB， ∴∠AOB＝∠A＝24°， ∵∠OBE是△OAB的外角， ∴∠OBE＝∠A+∠AOB， ∴∠OBE＝2∠A＝48°， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠E＝48°， ∴∠DOE＝∠E+∠A＝48°+24°＝72°． 故答案为：72°． 【变式1-1】如图，过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠θ＝　 　 ． 【分析】连接EC、ED，根据等腰三角形的性质得到∠DEB＝∠DBE＝∠θ，根据三角形的外角性质求出∠EDC，再根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理列式计算即可． 【解答】解：如图，连接EC、ED， ∵DE＝DB， ∴∠DEB＝∠DBE＝∠θ， ∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠θ， ∵EC＝ED， ∴∠ECD＝∠EDC＝2∠θ， ∵EA＝EC， ∴∠ECA＝∠A＝63°， 在△ABC中，63°+63°+2∠θ+∠θ＝180°， 解得：∠θ＝18°， 故答案为：18°． 【变式1-2】如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝20°，求∠AOC的度数． 【分析】连接OD．由AB＝2DE，AB＝2OD可得OD＝DE，根据“等边对等角”得到∠DOE＝∠E＝20°，从而∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°．又OC＝OD，得到∠C＝∠ODC＝40°，进而求得∠AOC＝∠C+∠E＝60°． 【解答】解：连接OD． ∵AB＝2DE，AB＝2OD， ∴OD＝DE， ∴∠DOE＝∠E＝20°， ∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°． ∵OC＝OD， ∴∠C＝∠ODC＝40°， ∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°． 【变式1-3】如图，AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，∠AOB=3∠D．求证：DE=OB． 【分析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD即可解决问题． 【解答】证明：连接EO． ∵OB=OE， ∴∠B=∠OEB， ∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D， ∴∠B+∠D=3∠D， ∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D， ∴∠DOE=∠D， ∴ED=EO=OB，即DE=OB． ▌题型08 四点共圆 【典例1】如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【解答】解：如图， 以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E）， 以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D）， 以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E）， 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B）， 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C）， 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C）， 共6组． 故选：D． 【变式1-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，将△ABC绕AB的中点O倾时针旋转α°得到△DFE（0＜α＜45），DF交AC于点M，EF交AB于点N，给出下面三个结论： ①CM＝EN； ②点A，C，E，B四点共圆； ③连接AD，AE，则∠DAE＝45°﹣α°． 上述结论中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】①连接CO、EO，证明△COM≌△EON，得出CM＝EN，即可判断①正确；②证明AO＝CO＝EO＝BO，得出点A，C，E，B在以点O为圆心，以AO为圆心的圆上，即可证明②正确；③根据OA＝OD＝OE，得出A、D、E在以OA为圆心的圆上，求出，即可证明③错误． 【解答】解：①△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，将△ABC绕AB的中点O倾时针旋转α°得到△DFE（0＜α＜45），连接CO、EO，如图1： ∴△ABC和△DEF为等腰直角三角形， 由旋转的性质得：AB＝DF，∠DEF＝∠ACB＝90°， ∵O为AB、DF的中点， ∴，，，，CO⊥AB，EO⊥DF， ∴CO＝EO，∠OCM＝∠OEN， ∵CO⊥AB，EO⊥DF， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠DOE＝∠EOF＝90°， ∴∠DOC+∠COE＝∠COE+∠EON＝90°， ∴∠COD＝∠EON， 在△COM和△EON中， ， ∴△COM≌△EON（ASA）， ∴CM＝EN，故①正确； ②∵，， ∴AO＝CO＝EO＝BO， ∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以AO为圆心的圆上， ∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确； ③∵OA＝OD＝OE， ∴A、D、E在以OA为圆心的圆上， ∴， ∴∠DAE≠45°﹣α°，故③错误； 综上分析可知：正确的有①②． 故选：A． 【变式1-2】如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 【分析】取AB的中点O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得OA＝OB＝OC＝OD后即可求证A、B、C、D四点在同一个圆上． 【解答】证明：取AB的中点O，连接OC，OD， ∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90° ∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线， ∴OA＝OB＝OC＝OD． ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD，∠B＝∠D＝90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB＝OA＝OC＝OD，即可推出A、B、C、D四点在同一个圆上． 【解答】证明：连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴OBAC，ODAC．即OB＝OA＝OC＝OD， ∴A、B、C、D四点在同一圆上． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 圆的相关概念 题型01 圆中相关概念问题 题型02 弦与直径 题型03 弦的条数 题型04 弧的识别 题型05 圆心角的识别 题型06 圆心角的度数 题型07 连半径构造等腰三角形 题型08 四点共圆 ▌题型01 圆中相关概念问题 【典例1】下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【变式1-1】下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【变式1-3】下列说法中正确的是（　　） A．直径是弦，半径也是弦 B．半圆是弧，但弧不一定是半圆 C．弦就是直径 D．长度相等的两条弧是等弧 ▌题型02 弦与直径 【典例1】在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【变式1-2】已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【变式1-3】将摩天轮抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的函数关系如图所示，则摩天轮的半径为（     ） A． B． C． D． ▌题型03 弦的条数 【典例1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式1-2】如图，在⊙O中，弦的条数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【变式1-3】如图，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，则圆中弦的条数是（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 ▌题型04 弧的识别 【典例1】如图，图中有 　 　 条直径，　 　条弦，以点A为端点的优弧有 　 　 条，劣弧有 　 　 条． 【变式1-1】如图，在⊙O中，　 　是直径，　 　 是弦，　 　 是劣弧，　 　 是优弧． 【变式1-2】如图，圆中有　 　 条直径，　 　 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有　 　 条，劣弧 有　 　　 条． 【变式1-3】战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的大致意思是圆有一个圆心，圆上各点到圆心 距离都等于半径．如图，在⊙O中： （1）直径有 ； （2）半径有 ； （3）弦有 ； （4）劣弧有 ； （5）优弧有 ． ▌题型05 圆心角的识别 【典例1】图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】如图所示，下列各角是圆O内的角，其中圆心角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 ▌题型06 圆心角的度数 【典例1】如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【变式1-2】如图，为120°，则弦AB所对的圆心角度数为 　 　 ． 【变式1-3】若一条弦把圆分成1：5两部分，则劣弧所对的圆心角为 　 　 ． ▌题型07 连半径构造等腰三角形 【典例1】如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，A为DC延长线上一点，连接AE与⊙O交于点B，且AB＝OC，若∠A＝24°，则∠DOE的度数是　 　 ． 【变式1-1】如图，过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠θ＝　 　 ． 【变式1-2】如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝20°，求∠AOC的度数． 【变式1-3】如图，AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，∠AOB=3∠D．求证：DE=OB． ▌题型08 四点共圆 【典例1】如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，将△ABC绕AB的中点O倾时针旋转α°得到△DFE（0＜α＜45），DF交AC于点M，EF交AB于点N，给出下面三个结论： ①CM＝EN； ②点A，C，E，B四点共圆； ③连接AD，AE，则∠DAE＝45°﹣α°． 上述结论中所有正确结论的序号是（　　） A． ①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1-2】如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD，∠B＝∠D＝90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $