2026-2027学年苏科版数学九年级上册第五周《圆中折叠问题探究》专项训练

2026-2027九上数学第五周《圆中折叠问题探究》 【课前热身】 知识梳理 画出如何证明AB＝AM的思考过程 【课前热身】 1．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝27°，则∠DCA的度数为（　　） A．36° B．38° C．40° D．42° 2．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，⊙O的半径为6，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AmB的长度为　 　 ．（结果保留π） 4．如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝ 　 　 ． 5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，沿BC折叠⊙O，劣弧BC恰好经过圆心O，且与AB相交于点D，若∠ABC＝45°，BC，则BD的长为 　 　 ，⊙O的半径为 　 　 ． 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　 　 ． 7．如图，在半圆O中，直径AB＝4，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为 　 　 ． 8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D，，若AB＝8，则⊙O的半径为　 　 ． 9．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN＝2：3，若MN＝10，那么弦AN的长为　 　 ． 10．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿弦BC折叠后经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是 　 　 ． 11．如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是　 　 ． 12．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝3，求⊙O的半径； （2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，请求出∠ACD的度数； （3）如图2，如果AD＝6，DB＝4，那么AC的长为 　 　 ．（直接写出答案） 【典型例题】 1．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD． （1）如图①，若点D与圆心O重合，AC＝2，求O的半径r； （2）如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数； （3）如图③，若点D与圆心O不重合，BD＝5，AD＝7，求AC的长． 2．在⊙O中，直径AB＝4，点C，D为圆上两点，将劣弧沿弦AC折叠后点D在AB上的点D′处，连接CD′． （1）如图1，当点D′与圆心O重合时，连接OD，AC与OD相交于点M， ①∠ACD′＝　 　 °，AC＝　 　 ； ②延长OD至P，使DP＝OD，连接PA，求证：PA是⊙O的切线； （2）如图2，若点D′与圆心O不重合时，∠BAC＝32°，请直接写出∠ACD′的度数． 3．【问题背景】 已知AB是半圆O的直径，且AB＝4，C是上的一动点． 【构建联系】 （1）如图1，连接AC，BC，求图中阴影部分面积之和的最小值S． 【深入探究】 （2）如图2，将沿BC折叠，折叠后的弧与直径AB交于点D（点D不与点A，B重合），连接AC，DC． ①若∠ABC＝25°，求∠BCD的度数； ②设AC＝x，DO＝y，请求出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． 4．如图，⊙O的直径AB＝4，AC是弦，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为． （1）如图1，当与AB相切于A时． ①为画出所在圆的圆心P，请选择你认为正确的答案．　 　 甲：在上找一点E，连接AE、CE并分别作它们的中垂线，交点为P； 乙：分别以A、C为圆心，以AO为半径作弧，除O外两弧另一个交点即为圆心P． A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心P，求AC的长；直接写出此时∠CAO的度数． （2）如图2，当经过圆心O时，求AC的长； （3）如图3，当覆盖圆心且与直径交于点D，若∠CAO＝25°，直接写出∠ACD的度数． 【巩固提升】 1．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 2．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（　　） A． B． C． D． 3．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝6，则弦BC的长是　 ． 4．如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，再将弧BD沿AB折叠后与CB相交于点E，若，且AB＝10，则CB的长为 　 　 ． 5．如图圆的半径为10，将圆的劣弧AB沿弦AB翻折后所得圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　） A．10 B． C． D． 6．如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点． （1）如图①，将沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，，则⊙O的半径为 　 　 ； （2）如图②，将沿弦BC翻折，交AB于D，把沿直径AB翻折，交BC于点E． （Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则∠B的度数为 　 　 ； （Ⅱ）如图③，连接DE，若AB＝10，OD＝1，求线段DE的长． 由题意AB垂直平分线段OK， ∴AO＝AK， ∵OA＝OK， ∴OA＝OK＝AK， ∴∠OAK＝∠AOK＝60°． ∴AH＝OA•sin60°＝42， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH， ∴AB＝2AH＝4， ∵OC+OH≥CT， ∴CT≤4+2＝6， ∴CT的最大值为6， ∴△ABC的面积的最大值为6＝12， 故选：A． 3．（2014•江宁区二模）如图，⊙O的半径为6，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AmB的长度为　4π　 ．（结果保留π） 【解答】解：连接OA，OB，过O作OM⊥AB， 由折叠得到ON＝MNOM，且OM⊥AB，即N为AB的中点， 在Rt△AON中，ONOA， ∴∠OAB＝30°， 同理∠OBA＝30°， ∴∠AOB＝120°， ∴扇形的弧长为：4π， 故答案为：4π； 4．（2025秋•京口区校级月考）如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝ 　2　 ． 【解答】解：补全弧所在的圆及圆心，连接CE，OC，O′E，O′C， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，即， 设的弧度为x°， ∴的弧度为：（180﹣x）°， ∵∠CAD＝∠CAB， ∴的弧度为：（180﹣x）°， ∵将沿弦AC折叠交直径AB于点D， ∴的弧度为x°， ∴的弧度为：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°， ∵点E为弧AD中点， ∴的弧度为：， ∴的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°， 即所对圆心角∠CO′E＝90°， 设半圆O的半径为r，则由折叠的性质得：O′C＝O′E＝r， ∵， ∴， ∴， 解得：r1＝1，（不符合题意，舍去）， ∴AB＝2， 故答案为：2． 5．（2024秋•同步）如图，⊙O是△ABC的外接圆，沿BC折叠⊙O，劣弧BC恰好经过圆心O，且与AB相交于点D，若∠ABC＝45°，BC，则BD的长为 　1　 ，⊙O的半径为 　　 ． 【解答】解：如图，过点O作OF⊥BC交⊙O于点E，连接OB、BE、DE， 则BFBC， 由折叠的性质可知：OF＝FE，OE⊥BC， ∴OB＝BE， ∵OB＝OE， ∴△OBE为等边三角形， ∴∠OBF＝∠EBF＝30°，∠BOE＝∠BEO＝60°， ∴OB，即⊙O的半径为， ∵∠EBD＝∠EBF+∠ABC＝75°，EB＝ED， ∴∠BED＝30°， ∴∠BED＝∠OED， ∴EH⊥OB， ∴BHBE，EH＝BE•cos∠BEH， ∴DH＝DE﹣EH， ∴BD1， 故答案为：1；． 6．（2024秋•濠江区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　33　 ． ∴的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°， 即所对圆心角为90°， ∵AB＝4， ∴⊙O半径为2， ∴CE2， ∴OE＝CE﹣OC＝22． 故答案为：22． 8．（2024秋•邗江区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D，，若AB＝8，则⊙O的半径为　5　 ． 【解答】解：如图，延长OC交⊙O于E，连接OA， 设OD＝x，则CD＝2x，CO＝3x， ∵沿弦AB折叠交OC于D， ∴CE＝CD＝2x， ∴OE＝2x+2x+x＝5x＝OA， ∵OC⊥AB， ∴， 在Rt△OAC中，根据勾股定理， 得（5x）2＝（3x）2+42， 解得x＝1（负值舍去）， ∴OE＝5， ∴⊙O的半径为5， 故答案为：5． 9．（2020•浙江自主招生）如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN＝2：3，若MN＝10，那么弦AN的长为　4　 ． 【解答】解：连接MA并延长至M'，使AM'＝AM，连接M'N，交半圆于D，连接AD，如图所示： ∵MN是半圆的直径， ∴∠MAN＝90°， ∴AN⊥AM， ∵AM'＝AM， ∴M′N＝MN＝10， ∵MB：BN＝2：3， ∴MB＝4，BN＝6， 由折叠的性质得：AD＝AB，BN＝DN， ∴DM'＝BM＝4， ∵四边形AMND是圆内接四边形， ∴∠M'AD＝∠M'NM， ∵∠M'＝∠M'， ∴△M'AD∽△M'NM， ∴， ∴M′A•M′M＝M′D•M′N， 即M′A•2M′A＝4×10＝40． 则M′A2＝20， 又∵M′A2＝M′N2﹣AN2， ∴20＝100﹣AN2， ∴AN＝4． 故答案为：4． 10．（2020•浙江自主招生）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿弦BC折叠后经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是 　3　 ． 【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图 ∵D为AB的中点， ∴OD⊥AB， ∴AD＝BDAB＝2， 在Rt△OBD中，OD1， ∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D． ∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，且∠ABC＝∠CBD， ∴， ∴AC＝DC， ∴AE＝DE＝1， 易得四边形ODEF为正方形， ∴OF＝EF＝1， 在Rt△OCF中，CF2， ∴CE＝CF+EF＝2+1＝3， 而BE＝BD+DE＝2+1＝3， ∴BC＝3． 故答案为3． 11．（2018秋•建邺区期中）如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是　6　 ． 【解答】解：如图，延长BO交⊙O 于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H． ∵AD＝DB， ∴OD⊥AB， ∴∠ADO＝90°， ∵OA＝2，AD＝DB＝4， ∴OD2， ∵BE是直径， ∴∠BAE＝90°， ∵AD＝DB，EO＝OB， ∴OD∥AE，AE＝2OD＝4， ∴AE＝AD， ∴， ∴， ∴∠CAE＝∠CAH＝45°， ∴∠BOC＝2∠CAB＝90°， ∴BCOC＝2， ∵CH⊥AB， ∴∠CAH＝∠ACH＝45°， ∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x， 在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2， ∴x2+（8﹣x）2＝（2）2， ∴x＝6或2（舍弃）， 在Rt△ACH中，∵AC， ∴AC＝6． 故答案为6． 12．（2023秋•锡山区期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝3，求⊙O的半径； （2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，请求出∠ACD的度数； （3）如图2，如果AD＝6，DB＝4，那么AC的长为 　4　 ．（直接写出答案） 【解答】解：（1）过点O作OE⊥AC于E，如图： 则AEAC3， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴OEr， 在Rt△AOE中，AO2＝AE2+OE2， 即r2＝（）2+（r）2， 解得r； ∵r＞0， ∴r， ∴⊙O的半径为； （2）连接BC，如图： ∵AB为直径，∠BAC＝26°， ∴∠B＝90°﹣26°＝64°，52°， ∴2∠B＝128°， ∵劣弧沿弦AC翻折交AB于点D， ∴， ∴76°， ∴∠DCA＝38°； （3）连接 BC，设D的对应点为D'，如图： 由翻折得∠AD'C＝∠ADC， ∵∠AD'C+∠B＝180°， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∵∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠B＝∠BDC， ∴CD＝BC， 过C作CG⊥AB于G， ∵AD＝6，DB＝4， ∴AB＝6+4＝10， ∴⊙O的半径为5， ∴DG＝BGBD＝2， ∴OG＝OB﹣BG＝5﹣3＝2，AG＝AB﹣BG＝10﹣2＝8， Rt△OCG中，CG4， Rt△ACG中，AC4， 故答案为：4． 13．（2020秋•秦淮区校级月考）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD． （1）如图①，若点D与圆心O重合，AC＝2，求O的半径r； （2）如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数； （3）如图③，若点D与圆心O不重合，BD＝5，AD＝7，求AC的长． 【解答】解：（1）如图1，过点O作OE⊥AC于E， 则AEAC2＝1， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴OEr， 在Rt△AOE中，AO2＝AE2+OE2， 即r2＝12+（r）2， 解得r； （2）连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝25°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°， 根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∴∠B＝∠CDB＝65°， ∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣25°＝40°； （3）如图3，过C作CG⊥AB于G，连接OC、BC， ∵BD＝5，AD＝7， ∴AB＝5+7＝12， ∴⊙O的半径为6， 由（2）知：∠ADC+∠B＝180°， ∵∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠B＝∠BDC， ∴CD＝BC， ∴DG＝BGBD， Rt△OCG中，CG， Rt△ACG中，AC． 则AC的长为． 14．在⊙O中，直径AB＝4，点C，D为圆上两点，将劣弧沿弦AC折叠后点D在AB上的点D′处，连接CD′． （1）如图1，当点D′与圆心O重合时，连接OD，AC与OD相交于点M， ①∠ACD′＝　30　 °，AC＝　2　 ； ②延长OD至P，使DP＝OD，连接PA，求证：PA是⊙O的切线； （2）如图2，若点D′与圆心O不重合时，∠BAC＝32°，请直接写出∠ACD′的度数． 【解答】解：（1）①∵将劣弧沿弦AC折叠后点D在AB上的点D′处， ∴DM＝D′M，DO⊥AC， ∴AM＝CM， ∴OMODOA， ∴∠OAM＝30°， ∵OA＝OC， ∴∠ACD′＝∠CAB＝30°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝4， ∴ACAB＝2； 故答案为：30，2； ②连接AD，∵∠AMO＝90°，∠MAO＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∵AO＝DO， ∴△ADO是等边三角形， ∴∠DAO＝∠ADO＝60°， ∵PD＝OD， ∴PD＝AD， ∴∠P＝∠PAD， ∵∠ADO＝∠P+∠PAD＝60°， ∴∠PAD＝30°， ∴∠PAD+∠DAO＝90°， ∴OA⊥PA， ∴PA是⊙O的切线； （2）连接CD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝32°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣32°＝58°． 根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∴∠ADC＝122°， ∴∠D′CA＝∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠CDA＝26°． 15．（2025•潮阳区模拟）【问题背景】 已知AB是半圆O的直径，且AB＝4，C是上的一动点． 【构建联系】 （1）如图1，连接AC，BC，求图中阴影部分面积之和的最小值S． 【深入探究】 （2）如图2，将沿BC折叠，折叠后的弧与直径AB交于点D（点D不与点A，B重合），连接AC，DC． ①若∠ABC＝25°，求∠BCD的度数； ②设AC＝x，DO＝y，请求出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）当△ABC的面积最大时，阴影部分面积之和的最小， 此时，CO为圆的半径r＝2， 则S＝S半圆﹣S△ABCπr2AB×CO2π﹣4； （2）①设折叠后的点D对应折叠前的点T，连接CT、BT， 则DB＝BT，CD＝CT，∠CBD＝∠CBT， 则AC＝CT＝CD， 故△ACD为等腰三角形， ∵∠ABC＝25°，则∠CAD＝∠CDA＝65°， 则∠ACD＝180°﹣2×65°＝50°， 则∠BCD＝90°﹣50°＝40°； ②由①知，△ACD为等腰三角形，作CH⊥AD于点H， 则AH＝DHAD， 设∠ABC＝α，则sinαx， ∵∠ACH+∠HCB＝90°，∠HCB+∠ABC＝90°， ∴∠ACH＝∠ABC＝α， 则AH＝AC•sinαx2AD， 则y＝AO﹣AD＝2x2， ∵y≥0，则x≤2， 即y＝2x2（0＜x≤2）． 16．（2022秋•双滦区校级期末）如图，⊙O的直径AB＝4，AC是弦，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为． （1）如图1，当与AB相切于A时． ①为画出所在圆的圆心P，请选择你认为正确的答案．C 甲：在上找一点E，连接AE、CE并分别作它们的中垂线，交点为P； 乙：分别以A、C为圆心，以AO为半径作弧，除O外两弧另一个交点即为圆心P． A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心P，求AC的长；直接写出此时∠CAO的度数． （2）如图2，当经过圆心O时，求AC的长； （3）如图3，当覆盖圆心且与直径交于点D，若∠CAO＝25°，直接写出∠ACD的度数． 【解答】解：（1）①甲：在上找一点E，连接AE、CE并分别做它们的中垂线，即作△AEC的外心，故甲正确； 乙：由切线长定理可知，OA为切线，且OA＝OC，故OC也为⊙P的切线，易知AOCP为正方形（证明见②），故乙正确； 故选：C； ②如图1，连接PC、OC， ∵AP＝OA＝OC＝PC＝2， ∴四边形AOCP为菱形， 而∠PAO＝90°， ∴四边形AOCP为正方形， ∴，∠CAO＝45°； （2）作OE⊥AC于F，交劣弧于E，如图2， ∵沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即 ∴， ∵OE⊥AC， ∴AF＝CF， 在Rt△OAF中，OA＝2，OF＝1， ∴， ∴； （3）连接CB，作D关于AC的对称轴点D'在⊙O上，并连接AD'、CD'，如图3， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠CAO＝25°， ∴∠B＝65°， 由圆内接四边形的性质得到∠AD'C+∠B＝180°， 可得：∠ADC＝∠AD'C＝115°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CAO﹣∠ADC＝40°． 17．（2024秋•越秀区校级月考）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　） A． B．4 C．6 D． 【解答】解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图， ∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心， ∴AB垂直平分OC， ∴AC＝AO， 而OA＝OC， ∴OA＝AC＝OC， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°，∠OAD＝30°， ∴cm， ∴cm， ∵OD⊥AB， ∴AD＝BD， ∴AB＝2AD＝4cm． 故选：D． 18．（2021•蔡甸区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示： 由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：， ∴AC＝CD＝DE， ∴CM＝EM， ∵E是BC的中点， ∴CMBC， ∵AB是半圆O的直径， ∴AC⊥BC， ∵DM⊥BC， ∴DM∥AC， ∴ADAB， 设∠ABC＝α，则∠ACF＝α， ∵AC＝CD， ∴AD＝2AF， ∵AF＝AC•sinα，AC＝AB•sinα， ∴AD＝2AB•sin2α， ∴AB＝2AB•sin2α， ∴sinα，即， ∴AB＝2AC，BCAC， ∴cosα， ∴BC：AB； 故选：B． 19．（2026•泗洪县模拟）如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝6，则弦BC的长是　4　 ． 【解答】解：作CH⊥AD于H，连接OC、AC、CD，如图， ∵以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D， ∴AC弧与CDB弧所在的圆为等圆， ∴， ∴CA＝CD， ∴AH＝DH＝2， 在Rt△OCH中，OC＝5，OH＝3， ∴CH＝4， 在Rt△ACH中，AC2， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC4． 故答案为4． 20．如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，再将弧BD沿AB折叠后与CB相交于点E，若，且AB＝10，则CB的长为 　4　 ． 【解答】解：如图，∵，且AB＝10， ∴AD＝4，BD＝6， 作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′， 可得A、C、A′三点共线， ∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称， ∴AB＝A′B， ∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10． 而A′C•A′A＝A′D′•A′B， 即A′C•2A′C＝4×10＝40． 则A′C2＝20， 又∵A′C2＝A′B2﹣CB2， ∴20＝100﹣CB2， ∴CB＝4， 故答案为：4． 21．（2011秋•嘉兴期末）如图圆的半径为10，将圆的劣弧AB沿弦AB翻折后所得圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　） A．10 B． C． D． 【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA． ∵OD⊥AB， ∴AB＝2AD， ∵ODOA10＝5， ∴AD5， ∴AB＝2AD＝2×510． 故选：C． 22．（2023•淮南一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点． （1）如图①，将沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，，则⊙O的半径为 　2　 ； （2）如图②，将沿弦BC翻折，交AB于D，把沿直径AB翻折，交BC于点E． （Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则∠B的度数为 　22.5°　 ； （Ⅱ）如图③，连接DE，若AB＝10，OD＝1，求线段DE的长． 【解答】解：（1）如图①，过点O作OM⊥AC，垂足为M，交圆于点N，则AM＝MCAC， ∵将沿弦AC翻折，交AB于D，点D与圆心O重合， ∴OM＝MNON， 在Rt△AOM中，sin∠OAM， ∴∠OAM＝30°， ∴OA2， ∴⊙O的半径为2， 故答案为：2； （2）（Ⅰ）如图②，连接CA、CD、DE， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， 学科网（北京）股份有限公司 $