1.2 菱形的性质与判定 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册《1.2菱形的性质与判定》课后巩固卷，通过基础巩固、中档提升、综合探究三层设计，实现从单一知识点到综合应用的进阶，培养几何直观、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（单选8题）|菱形性质（角度/对角线/面积）、判定条件、折叠验证|以折叠剪纸（题5/9）强化空间观念，直接考查核心概念| |中档（填空5题）|对角线计算、动态最值、实际应用（衣帽架/指南针）|结合勾股定理（题11）与垂线段最短（题13），培养推理能力| |综合（解答4题）|尺规作图、旋转探究、平行四边形与菱形转化|通过旋转综合题（题15）与探究性证明（题17），发展创新意识|

1.2 菱形的性质与判定 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 2．关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．邻边相等 D．对角线相等 3．如图，在菱形中，与交于点O，，，则菱形的面积为（　　）    A．20 B．24 C．28 D．48 4．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后，得到的四边形一定是（   ）    A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 6．如图，菱形的两条对角线交于点，若，，则的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，是边长为2的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，，得到四边形，它的周长记作．则（   ） A．4 B．2 C． D．1 二、填空题 9．你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这个四边形一定是__________(填形状)． 10．四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 11．如图所示衣帽架由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节、之间的距离．已知调节完之后、间的距离为，、间的距离为，则与之间的距离为________． 12．指南针，古代叫司南．如图所示的指南针，其磁针可以看作菱形，若的长度为，的长度为，则的面积为___________． 13．如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形．若，，则的最小值为__________． 三、解答题 14．如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，中，，，，对角线、交于O点，将直线绕点O顺时针旋转，分别交、于点E、F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)猜想：当绕点O顺时针旋转多少度时，四边形是菱形． 16．综合与实践． 如图1，将两个全等的三角尺与三角尺如图摆放（与重合），其中，，． （1）如图2，固定三角尺不动，将三角尺沿方向平移至图2位置，分别连接，．则四边形的形状为______； （2）如图3，在图2的基础上，将三角尺沿方向继续平移，当四边形是菱形时，分别连接，． ①请判断此时四边形的形状，并说明理由； ②若，则四边形的周长为______． 17．在学习了平行四边形的性质后，小明和小红进行了拓展探究，如图，在平行四边形中，点E是上的一点，且，连接． (1)尺规作图：作的平分线交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据（1）中作图，小明同学猜测四边形是菱形，小红同学写出了如下不完整的证明过程，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴______ ∵在平行四边形中，，∴，∴______，∴， ∵，∴______，∵在平行四边形中，．∴， ∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形． 小明和小红经过进一步探究发现，与具有特殊的位置关系，并且与平行四边形的内角大小无关．他们总结出了以下结论：平行四边形的任意一组相邻内角的平分线______． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B D B A A B 1．【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形的性质得出，，，确定，得出，再由菱形的性质求解即可． 【详解】：解：∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴． 2．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】根据菱形性质进行判断即可． 【详解】解：A．菱形对角线互相平分，故选项正确，不符合题意； B．菱形对角线互相垂直，故选项正确，不符合题意； C．菱形邻边相等，故选项正确，不符合题意； D．菱形的对角线不一定相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 3．【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形的对角线互相平分，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴菱形的面积为； 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相平分，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键． 4．【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】本题考查剪纸问题，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会动手操作． 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．用到的知识点为：四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：由第三个图可以看出：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形，那么所得到图形的 4 条边都是所剪直角三角形的斜边．故得到的四边形是菱形． 故选：B． 6．【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】先根据菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴在中，， ∴． 7．【答案】A 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据作图可得四边形为菱形，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 四边形为菱形， ， ． 8．【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定与性质是解题的关键． 先得到四边形为平行四边形，通过证明得到，继而可知四边形为菱形，而可得为等边三角形，则，那么，同理可证明为菱形，且，那么． 【详解】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴， ， ∵取边中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 同理可证明为菱形，且， ∴， 故选：B． 9．【答案】菱形 【知识点】证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】本题主要考查了剪纸问题以及菱形的判定，直接利用折叠方法结合菱形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形， 那么所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边，即四条边都相等， 故此四边形是菱形． 故答案：菱形 10．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 11．【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，面积，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出菱形的边长及面积，即可求出菱形的高，根据图形可知与之间的距离是菱形的高的3倍，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图, 有， ∴，，， ∴， 设菱形的高为h，则 ， 即， ∴与之间的距离为． 故答案为． 12．【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半． 【详解】解：∵磁针可以看作菱形，的长度为，的长度为， ∴菱形的面积为， ∴的面积为． 13．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长、垂线段最短 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， ∵菱形， ∴，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 14．【答案】如图，点即为所求． 【知识点】作线段(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】由作图可得，，则四边形是菱形 【详解】解：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交，交点即为点． 15．【答案】(1)见解析 (2) (3)当旋转角时，四边形是菱形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据定理得出，由此可得出结论； （2）在中由勾股定理求的长，再利用求出的长，即可得出结论； （2）连接，，与互相平分可知，当时四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1） 证明：∵平行四边形中，， ， 在和中， ，； （2）解：在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）当旋转角时，四边形是菱形，理由如下： 连接，，   四边形平行四边形， ， 由（1）知，， ， 四边形是平行四边形， 由（2）知，， 又， ， ， 四边形是菱形， 即在旋转过程中，四边形能是菱形，此时绕点O顺时针旋转的度数是． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 16．【答案】（1）平行四边形；（2）①菱形，理由见解析；② 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、平移综合题(几何变换)、全等三角形的性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据即可证得四边形是平行四边形； （2）①连接交BE于点O，根据可证得四边形是平行四边形，再根据四边形是菱形，得到，进一步得到，进而证得四边形是菱形；②根据四边形是菱形和∠ABC=30°，可求得BC，进而可求得 ，再根据四边形是菱形即可求得周长． 【详解】解：（1）四边形ABDE的形状为平行四边形，理由如下： ∵平移过程中， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①四边形的形状是菱形． 理由如下： 如图，连接交BE于点O， ∵平移过程中， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴AF=AC=1, ∵∠ABC=30°， ∴BC=2， ∴， ∵四边形是菱形， ∴AB=BD=DE=AE=， ∴四边形ABDE的周长为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题． 17．【答案】(1)如图，为所求作： (2)；；；互相垂直 【知识点】根据等角对等边证明边相等、作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质与判定定理和菱形的性质与判定定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $