1.2 菱形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版九年级上册

北师大版（2024）九年级上册 1.2 菱形的性质与判定 同步练习 一、选择题 1．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为(　　) A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm 2．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为(　　) A．40 B．24 C．20 D．15 3．如图，在矩形中，，连接，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交、于点、.结论中：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则.其中错误的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA=OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB=2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为 A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 5．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A．6 B．9 C．12 D．16 6．如图所示的是菱形网格窗的一部分（网格窗中每个菱形边长相同），若两个固定点间的距离AB＝BC＝24 cm，∠1＝60°，则每个小菱形的边长为（　　） A．12 cm B．24 cm C．16 cm D．20 cm 7．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接，若四边形的周长是16，则的长为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，如果把三角形ABC的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点C'，连结BC'，则线段BC'与线段AC的关系是 A．垂直 B．相等 C．平分 D．垂直且互相平分 9．如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）.在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案： 小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处. 小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点. 两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（ ） A．两个方案都能 B．小聪的方案 C．小明的方案 D．两个方案都不能 10．如图，在中，按以下步骤作图：①在图1中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；②在图1的基础上，在图2中，以为圆心画弧，交于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接． 已知，，则四边形的周长为（ ） A．7 B．12 C．14 D．16 11．如图，在中，，，是边上的中线，把线段沿着方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接，，与相交于点O，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④的面积为四边形面积的一半.其中正确结论的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，连结CE，AF，B'是点B关于CE的对称点，D'是点D关于AF的对称点，已知B'，D'都在对角线AC上，且EF⊥AC.记∠ADC的度数是α，∠DAF的度数是β，则α与β满足的关系式是 A．α=5β B．α-β=90° C．α+β=135° D．α+3β=180° 二、填空题 13．如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为__________ . 14．如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、.若，四边形的面积为15，则的长为 __________ . 15．如图，在平行四边形中，，，.点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为 __________ . 16．如图，在△ABC中，AB=AC，分别以C，B为圆心，取AB的长为半径作弧，两弧交于点D.连接BD，AD.若∠ABD=130°，则∠CAD=__________ . 17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于E，AE平分∠BAC，AO=CO，AD=DC，下面结论： ①AC=2AB；②△ABO是等边三角形；③S△ADC=3S△ABE；④DC=2BE，其中正确的结论有__________ （填序号）. 三、解答题 18．如图，中，O为AC的中点，E为上一点，过点A作交延长线于点D，连接. （1）求证：四边形是平行四边形 （2）当满足什么条件时，四边形是菱形?并说明理由. （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为_______. 19．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，. (1) 求证：四边形是菱形； (2) 若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积. 20．如图，四边形中，，点E为的中点，射线交的延长线于点F，连接. (1) 求证：四边形是菱形； (2) 若，求的长. 21．(1)如图①所示，在四边形中，，对角线交于点，平分。求证：四边形是菱形； (2)如图②所示，点是菱形边上一点，将四边形沿着翻折得到四边形，若点恰好落在边的中点处，且，求菱形的周长。 22．直线与轴交于点，与轴交于点，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点在轴负半轴上，直线经过点，交轴于点.     (1) 请直接写出点，点，点的坐标，并求出的值； (2) 点是线段上的一个动点（点不与、重合），经过点且平行于轴的直线交于，交于.当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3) 点是轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，为何值时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？ 北师大版（2024）九年级上册 1.2 菱形的性质与判定 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为(　　) A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm 【答案】A 【解析】如图，连接AC，BD相交于点O， ∵四边形ABCD的四边相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，S四边形ABCD＝AC·BD， ∴×24BD＝120，解得BD＝10 cm，∴OA＝12cm，OB＝5cm， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝＝13(cm)， ∴四边形ABCD的周长＝4×13＝52(cm). 2．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为(　　) A．40 B．24 C．20 D．15 【答案】B 【解析】∵∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD. ∵O是BD的中点，∴BO=DO. 又∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD. ∴AB=CD，又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD. 在Rt△ABO中，BO=BD=×8=4，AO===3. ∵AC=2AO=6， ∴四边形ABCD的面积=×6×8=24. 3．如图，在矩形中，，连接，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，直线分别交、于点、.结论中：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则.其中错误的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】设交于点 由作图知，垂直平分 在矩形中， 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 ∴③错误 平分 ∴④正确. 综上，错误的结论只有1个. 4．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA=OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB=2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长为 A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 【答案】C 【解析】根据作图可知AC=BC=OA， 因为OA=OB， 所以OA=OB=BC=AC， 所以四边形OACB是菱形， 因为AB=2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2， 所以AB·OC=×2OC=4， 解得OC=4 cm. 5．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】C 【解析】对角线互相垂直平分的四边形为菱形， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长为. 6．如图所示的是菱形网格窗的一部分（网格窗中每个菱形边长相同），若两个固定点间的距离AB＝BC＝24 cm，∠1＝60°，则每个小菱形的边长为（　　） A．12 cm B．24 cm C．16 cm D．20 cm 【答案】B 【解析】如图： ∵四边形ADHE和四边形BEIF是全等的菱形，∴AD＝AE＝BE， 又∵∠1＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE＝AB＝24 cm. 7．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接，若四边形的周长是16，则的长为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形是菱形 ∵四边形的周长是16， ∴ ∵点M，N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B. 8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，如果把三角形ABC的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点C'，连结BC'，则线段BC'与线段AC的关系是 A．垂直 B．相等 C．平分 D．垂直且互相平分 【答案】D 【解析】如图，连结CC'，AC'，BC'，设AC，BC'交于点O， ∵正方形网格中，每个小正形的边长为1， 由勾股定理得，AB=BC=CC'=AC'== ∴四边形ABCC'是菱形， ∴AC⊥BC'，OA=OC，OB=OC'， ∴线段BC'与线段AC垂直且互相平分. 9．如图，对折等边纸片，展开铺平，折痕为（如图1），再折叠纸片，使点，都落在上，且与点重合，折痕分别为和（如图2）.在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案： 小聪说：将纸片沿向上折叠，使得点落在点处. 小明说：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点. 两种方案折叠后均展开铺平，连结，，则以上方案中折出的四边形为正方形的是（ ） A．两个方案都能 B．小聪的方案 C．小明的方案 D．两个方案都不能 【答案】A 【解析】连接，因为是等边三角形，所在直线是的一条对称轴， 由折叠方法可知：，，、是关于的对称， ∴，，即是的垂直平分线，， 小聪的方案，将纸片沿向上折叠，使得点落在点处， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形； 小明方案，将对折，使得角两边与重合，折痕交于点. ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是是正方形； 综上所述：两种方案中折出的四边形为正方形； 故选A. 10．如图，在中，按以下步骤作图：①在图1中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；②在图1的基础上，在图2中，以为圆心画弧，交于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接． 已知，，则四边形的周长为（ ） A．7 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【解析】如图2中，由作图可知平分，平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 同法可证， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 四边形的周长． 故选：B． 11．如图，在中，，，是边上的中线，把线段沿着方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接，，与相交于点O，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④的面积为四边形面积的一半.其中正确结论的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】∵在，是边上的中线，， ∴， 由平移可得，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，①正确，故符合要求； ∵四边形为菱形， ∴为中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，②正确，故符合要求； ∵四边形为菱形， ∴， ∴，③正确，故符合要求； ∵是的中线， ∴， 由菱形的性质可得， ∴，④正确，故符合要求； 综上，正确的结论个数为4， 故选：A. 12．如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，连结CE，AF，B'是点B关于CE的对称点，D'是点D关于AF的对称点，已知B'，D'都在对角线AC上，且EF⊥AC.记∠ADC的度数是α，∠DAF的度数是β，则α与β满足的关系式是 A．α=5β B．α-β=90° C．α+β=135° D．α+3β=180° 【答案】D 【解析】如图，连结BB'，DD'， ∵B'是点B关于CE的对称点，D'是点D关于AF的对称点， ∴CE垂直平分BB'，AF垂直平分DD'， ∴CB'=CB，AD'=AD， ∵B'，D'都在对角线AC上， ∴∠ACE=∠BCE=∠ACB，∠CAF=∠DAF=∠CAD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，AB∥CD， ∴∠ACB=∠CAD， ∴∠ACE=∠CAF， ∴CE∥AF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形， ∴AF=CF， ∴∠CAF=∠ACF=∠BAC， ∴∠CAF=∠BAC=∠DAF=β， ∵∠ADC+∠BAD=180°，且∠ADC=α，∠BAD=3∠DAF=3β， ∴α+3β=180°. 二、填空题 13．如图，在平行四边形 中，对角线交 于 O，已知 ，， ，那么点 O 到的距离为__________ . 【答案】 【解析】如图，过点作于点， 由题意知， ，， ∵ ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴平行四边形 是菱形， ∴， ∵， ∴， 即点 O 到的距离为. 14．如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、.若，四边形的面积为15，则的长为 __________ . 【答案】3 【解析】设与相交于点D，如图： 由题意得，， 四边形是菱形， ∵菱形的面积为15， ∴ 解得. 15．如图，在平行四边形中，，，.点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为 __________ . 【答案】 【解析】∵四边形是平行四边形，，且， ∴，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴点C关于的对称点为点A，， ∴， ∴， 过点A作于点， ∴点A，N，M三点共线时，此时取最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴. 16．如图，在△ABC中，AB=AC，分别以C，B为圆心，取AB的长为半径作弧，两弧交于点D.连接BD，AD.若∠ABD=130°，则∠CAD=__________ . 【答案】25° 【解析】如图，连接CD， 由题意和作法可知AB=AC=BD=CD， 所以四边形ABDC是菱形，∠BAD==×(180°-130°)=25°， 所以∠CAD=∠BAD=25°. 17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AE∥CD交BC于E，AE平分∠BAC，AO=CO，AD=DC，下面结论： ①AC=2AB；②△ABO是等边三角形；③S△ADC=3S△ABE；④DC=2BE，其中正确的结论有__________ （填序号）. 【答案】①②④ 【解析】因为AD∥BC，AE∥CD， 所以四边形AECD是平行四边形， 因为AD=DC， 所以四边形AECD是菱形， 所以AE=EC=CD=AD， 所以∠EAC=∠ECA， 因为AE平分∠BAC， 所以∠EAB=∠EAC， 所以∠EAB=∠EAC=∠ECA=30°， 所以BE=AE，AC=2AB，结论①正确； 因为AO=CO，∠ABC=90°， 所以AB=AO， 因为∠EAB=∠EAC=30°， 所以∠BAO=60°， 所以△ABO是等边三角形，结论②正确； 因为四边形AECD是菱形， 所以S△ADC=S△AEC=AB·CE，S△ABE=AB·BE， 因为BE=AE=CE， 所以S△ADC=2S△ABE，故结论③错误； 因为DC=AE，BE=AE， 所以DC=2BE，结论④正确. 综上所述，正确的结论有①②④. 三、解答题 18．如图，中，O为AC的中点，E为上一点，过点A作交延长线于点D，连接. （1）求证：四边形是平行四边形 （2）当满足什么条件时，四边形是菱形?并说明理由. （3）在（2）的条件下，若，则四边形的面积为_______. 【答案】解：（1）∵， ∴， 在和中 , ∴， ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形. （2）当是以为底等腰三角形时，四边形是菱形；理由如下： ∵是以为底等腰三角形， ∴, ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形. （3）∵四边形是菱形， ∴,， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：. 故答案为24. 19．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，. (1) 求证：四边形是菱形； (2) 若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积. 【答案】(1) 证明：是的垂直平分线，，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； (2) 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴. 20．如图，四边形中，，点E为的中点，射线交的延长线于点F，连接. (1) 求证：四边形是菱形； (2) 若，求的长. 【答案】(1) 证明：∵∴ ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴=2. 21．(1)如图①所示，在四边形中，，对角线交于点，平分。求证：四边形是菱形； (2)如图②所示，点是菱形边上一点，将四边形沿着翻折得到四边形，若点恰好落在边的中点处，且，求菱形的周长。 【答案】(1)证明：因为， 所以。 因为平分，所以， 所以，所以。 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形。 又因为， 所以四边形是菱形。 (2)解：因为四边形是菱形， 所以。 因为四边形沿着翻折得到四边形，且恰好为的中点， 所以。 设，则， 所以， 所以。 因为， 所以， 解得（负值已舍去）， 所以， 所以菱形的周长为。 22．直线与轴交于点，与轴交于点，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点在轴负半轴上，直线经过点，交轴于点.     (1) 请直接写出点，点，点的坐标，并求出的值； (2) 点是线段上的一个动点（点不与、重合），经过点且平行于轴的直线交于，交于.当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3) 点是轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，为何值时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1) 与轴交于点，与轴交于点， 当时，，则， 当时，即，解得，则， ，， 由勾股定理得，， 四边形是菱形， ， ， ，， 将代入得，， ； (2) ， ， 当时，即，解得，则， ， 点，经过点且平行于轴的直线交于，交于， 令，解得，则， 令，解得，则， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， ； (3) 以点、、、为顶点的四边形是菱形， 是等腰三角形， ，， ，， 当时，， ，解得（负值已舍去）， 当时，， 点与重合， ； 当时，， ，解得， 综上：或或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形. 学科网（北京）股份有限公司 $