精品解析：四川达州市宣汉县黄金初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情检测数学试题

宣汉县黄金初级中学2026-2027学年九年级上学期 第一次学情检测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，这是某商店售卖的花架简图，其中，则的长为（） A. B. C. D. 4. 如图，点P是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 27 D. 54 5. 若一元二次方程的常数项是0，则的值是（　　） A. 2或 B. 2 C. D. 4 6. 如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 7. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 10. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是______． 11. 若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________． 12. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 13. 如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则____________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 15. 如图，在菱形中，过点A作于点E，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 16. 如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 17. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 18. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则三角形的周长为__________． 20. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 21. 在正方形中，=6，连接，，是正方形边上或对角线上一点，若=2，则的长为____________ . 22. 如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于________． 23. 在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 25. 在正方形中，点E是边上一动点（不含端点B、C）． （1）如图1，，，连接． ①求证：； ②求证：． （2）如图2，N为的中点，连接，求证：； （3）如图3，若，直接写出的最小值． 26. 用四根一样长的木棍搭成菱形，点P是线段上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线上取一点M，连接，使． 【操作探究一】 （1）如图1，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，则______，______； 【操作探究二】 （2）如图2，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在菱形中，，．若点P在直线上，点M在射线上，且当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣汉县黄金初级中学2026-2027学年九年级上学期 第一次学情检测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形与矩形的性质，从边、角、对角线三方面，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意； B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意； C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意； D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形与矩形的性质是解题的关键． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，根据配方法的基本步骤：移项、配方（等式两边同时加上一次项系数一半的平方）、变形为完全平方式求解即可． 【详解】解： 移项得 即． 故选：D 3. 如图，这是某商店售卖的花架简图，其中，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． 由，得出利用相似三角形性质，可求出的长． 【详解】解：∵， 即 ∴的长是． 故选：C． 4. 如图，点P是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 27 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明． 由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 5. 若一元二次方程的常数项是0，则的值是（　　） A. 2或 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程程的常数项为0， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 6. 如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 7. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：A． 8. 如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的性质得到相关边和角的关系，由折叠的性质，结合等边对等角可得，根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ，， 沿折叠，点落在上的点处， ， ， 又， ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 如果，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， ，整理得， ． ，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得：，， 将结果代入所求式子得：． 10. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，则有，然后根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 11. 若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程无解， ∵，，， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 12. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理；作于P，于Q，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于P，于Q， ∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转得，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）用配方法，配方写成完全平方形式，直接开平方求出方程的两个根； （2）用公式法，确定、、，先算判别式，代入求根公式求解； （3）先移项，整体提公因式，用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：已知， 则，即， 可得， 解得，． 【小问2详解】 解：已知， 则，，， ， 可得， 解得，． 【小问3详解】 解：已知， 则， ， 可得， 即或， 解得，． 15. 如图，在菱形中，过点A作于点E，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ∴，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的四条边相等，设，由得，在直角中根据勾股定理，得出方程求解，计算矩形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，在矩形中，， ∴在直角中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴矩形的面积． 16. 如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1） （2）21万元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 18. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点B在的垂直平分线上 （2）当时，的长度等于 （3）存在，当时，使得的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程、三角形三边关系的应用，先解一元二次方程得出，，再根据三角形三边关系判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：，， 当第三边为时，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 当第三边为时，，满足三角形三边关系，符合题意，此时周长为． 故答案为： 20. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，再根据菱形的面积即可得出. 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，， ， ， ． 故答案为： 21. 在正方形中，=6，连接，，是正方形边上或对角线上一点，若=2，则的长为____________ . 【答案】2或或 【解析】 【分析】根据题意分情况画出符合题意的图形，然后针对每一个图形利用勾股定理进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°， ∴AC=BD=6； 如图1，当点P在AD上时， ∵AP+PD=AD=6，PD=2AP， ∴AP=2； 如图2，当点P在AB上时， ∵∠PAD=90°， ∴AP2+AD2=DP2， ∵AD=6，PD=2AP， ∴AP2+36=4AP2， ∴AP=； 如图3，当点P在AC上时，作PN⊥AD于点N， 设AN=x，则有DN=6-x，PN=x， 由勾股定理得AP=x，PD=， ∵PD=2AP， ∴=2x， ∴x=或x=（不符合题意，舍去）， ∴AP=x=， 当点P在其余边或对角线上时，不存在可以使PD=2AP的点， 综上，AP的长为2，，， 故答案为2或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用等，难度较大，解题的关键是正确画出符合题意的图形． 22. 如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，图形的剪拼，根据四块图形的特点，找出可以重合的边，拼接出正方形并得到正方形的边长是解题的关键． 观察图形可得，两个直角梯形的斜腰重合在一起可以组成一个长为，宽为的矩形，两个直角三角形的斜边重合可以组成一个长为，宽为的矩形，两个矩形放在一起恰好可以组成一个边长为的正方形，然后根据剪拼前后两个图形的面积不变列式求解即可． 【详解】解：如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为， 根据剪拼前后图形的面积相等可得，， 由题意得，， 故可得：， 整理得，， 解得：（舍去）． 故答案为：． 23. 在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在点的下方和点在点的上方两种情况，求解即可． 【详解】解：当点在点的下方， 如图所示，过作于， ， ，而为中点， ∴， ∴， ，， 又， ， ， ∴ ， ， ， 在中，； 当点在点的上方， 如图所示，过作于， 同理可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】（1）证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 25. 在正方形中，点E是边上一动点（不含端点B、C）． （1）如图1，，，连接． ①求证：； ②求证：． （2）如图2，N为的中点，连接，求证：； （3）如图3，若，直接写出的最小值． 【答案】（1） ①证明：在正方形中，，． ∵， ∴． ∴． ∴．即：， ②证明：在上取点G，使，连接， ∵，，． ∴，． ∴． 又∵， ∴ ∴． （2） 证明：延长到，使．连接． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． 在四边形中，． ∴． ∴ 由（1）知，． ∴． ∴，． ∴， ∴ ∵，． ∴，． ∴，． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质，结合同角的余角相等，即可得证；②在上取点G，使，连接，证明，即可得出结论； （2）延长到，使．连接，证明，得到，进而得到，得到，证明，推出为等腰直角三角形，三线合一，推出，，即可得证； （3）作，交的延长线于点，过E作于，则，得到当D、E、K三点共线时，的值最小，垂线段最短，得到当时，的值最小，此时的值最小，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：①略 ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作，交的延长线于点，过E作于，则． ∴． ∴当D、E、K三点共线时，的值最小， ∵在上， ∴当时，的值最小，此时的值最小， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，两点之间线段最短以及垂线段最短，熟练掌握正方形的性质，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 26. 用四根一样长的木棍搭成菱形，点P是线段上的动点（点P不与点D和点C重合），在射线上取一点M，连接，使． 【操作探究一】 （1）如图1，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，则______，______； 【操作探究二】 （2）如图2，调整菱形，使，当点M在菱形外时，在射线上取一点N，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在菱形中，，．若点P在直线上，点M在射线上，且当时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2），理由如下： 四边形是菱形，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图2，作交于，则，， 在中，，， ， ， ； （3）或． 【解析】 【分析】（1）证明得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）证明得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到； （3）当时，点和点重合，再分两种情况：当点在线段的延长线时，过点作于点；当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点；利用等腰直角三角形的性质以及锐角三角形函数进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， 故答案为：，； （2）略 （3）当时，点和点重合， 如图3，当点在线段的延长线时，过点作于点， 设， ，， 为等腰直角三角形， ， 四边形是菱形，，，， ，， 由菱形的对称性及可得， 在中，，， ， ， ， ， ； 如图4，当点在的延长线上时，过点作交的延长线于点， 设，同①可得：，， ， ， ， 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $