第二章 等式性质与不等式性质5种高频考点专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式性质五大高频考点，以题载知构建从实际抽象到逻辑证明的完整训练体系，强化数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用不等式表示不等关系|3例+3变式|实际情境转化|从生活问题抽象为不等式模型，培养数学眼光| |作差法比较大小|3例+3变式|代数式大小比较|通过作差变形判断符号，强化数学思维| |判断不等式正确性|3例+3变式|性质辨析（多选）|结合性质判断命题真伪，构建逻辑体系| |求取值范围|4例+4变式|范围综合应用|利用性质进行不等关系传递，提升推理严谨性| |证明不等式|3例+3变式|逻辑推理证明|从基本性质到综合证明，发展数学表达能力|

等式性质与不等式性质5种高频考点专项训练 等式性质与不等式性质5种高频考点专项训练 考点目录 用不等式表示不等关系 作差法比较代数式的大小 利用不等式的性质判断所给不等式是否正确 利用不等式的性质求取值范围 由不等式的性质证明不等式 考点一 用不等式表示不等关系 例1．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 例3．（25-26高一上·北京昌平·阶段检测）配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 变式1．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 变式2．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 考点二 作差法比较代数式的大小 例1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 例2．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 例3．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 变式1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 变式2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·安徽安庆·期中）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点三 由已知条件判断所给不等式是否正确 例1．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测·多选）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2．（26-27高一上·福建泉州·开学考试·多选）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   例3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测·多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1．（25-26高二下·江西南昌·期末·多选）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2．（25-26高一下·陕西咸阳·期末·多选）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·云南文山·阶段检测·多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 考点四 利用不等式的性质求取值范围 例1．（25-26高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·广东清远·期中）已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，则的取值范围是__________. 例4．（25-26高一上·河南·期中）已知，，则的取值范围为_____. 变式1．（25-26高一上·浙江台州·期中）实数，满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 变式4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知，，则的取值范围为___________． 考点五 由不等式的性质证明不等式 例1．（25-26高一上·山东威海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 例2．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 例3．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 变式1．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 变式2．（25-26高一上·四川广元·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 变式3．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 2 学科网（北京）股份有限公司 $等式性质与不等式性质5种高频考点专项训练 等式性质与不等式性质5种高频考点专项训练 考点目录 用不等式表示不等关系 作差法比较代数式的大小 利用不等式的性质判断所给不等式是否正确 利用不等式的性质求取值范围 由不等式的性质证明不等式 考点一 用不等式表示不等关系 例1．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 例2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 例3．（25-26高一上·北京昌平·阶段检测）配制两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂种药需甲料5毫克，乙料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克，若、两种药至少各配一剂，应满足的条件是________. 【答案】 【详解】设两种药分别配剂，则. 即. 变式1．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　） A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 【答案】C 【分析】人跑开的路程应大于100米，可得结论. 【详解】导火线燃烧的时间为s，人在这段时间跑的路程为4×m． 由题意可得4×＞100. 故选：C. 变式2．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【详解】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 变式3．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）某矿山车队有4辆载重为的甲型卡车和7辆载重为的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，如果设每天派出甲型卡车辆，乙型卡车辆，则满足上述所有不等关系的不等式组为________. 【答案】 【详解】根据题意得，需要满足如下不等关系：①， ，化简为②， 又③，④,且；⑤ 由①、②、③、④、⑤组成不等式组，即. 考点二 作差法比较代数式的大小 例1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 例2．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 例3．（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以 ， 所以. 故选：B. 变式1．（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A 变式2．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 变式3．（25-26高一上·安徽安庆·期中）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法可得答案. 【详解】若， 则. 故选：B. 考点三 由已知条件判断所给不等式是否正确 例1．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测·多选）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】A.∵，， 又∵，∴ 即，故A错误； B.∵，∴，又∵，∴，故B正确； C.∵，∴，又∵，∴，故C正确； D.∵，又，， ∴，∴，即，故D错误. 例2．（26-27高一上·福建泉州·开学考试·多选）已知为实数，下列命题中一定成立的是（   ） A．若，则   B．若，则   C．若 且  ，则   D．若，则   【答案】ACD 【详解】已知，不等式两边同时加上同一个实数，不等式方向不变，所以，正确； 已知，当时，，错误； 已知且，不等式两边同时乘同一个负数，不等式方向改变，即，正确； 已知，对于正数，分母越大，分数越小，即，正确. 例3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测·多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误； B选项，若，则，所以，所以B选项正确； C选项，若，则，所以C选项错误； D选项，若，则，则，所以D选项正确. 变式1．（25-26高二下·江西南昌·期末·多选）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 变式2．（25-26高一下·陕西咸阳·期末·多选）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的基本性质即可得 【详解】选项A ，已知，（由得），根据同向不等式的可加性： ，因此恒成立，A正确； 选项B ，已知，两边同时除以正数，不等号方向不变：，化简得，即恒成立，B正确； 选项C ，举反例：取，满足，此时，，，C错误； 选项D ，作差比较： ， 分析符号：，（，故），分母为正； ，，分子，因此差为正，即恒成立，D正确. 变式3．（25-26高一上·云南文山·阶段检测·多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】使用不等式的性质进行分析. 【详解】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. 考点四 利用不等式的性质求取值范围 例1．（25-26高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 例2．（25-26高一上·广东清远·期中）已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】，，，. 故选：C. 例3．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由，所以，又，所以， 所以， 故答案为：. 例4．（25-26高一上·河南·期中）已知，，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，将目标式表示为，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】依题意，，由，得， 由，得，两式相加得：， 所以的取值范围为. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·浙江台州·期中）实数，满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】不等式性质：    . 故选：D. 变式2．（25-26高一上·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的范围，再结合不等式性质可求的范围. 【详解】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即， 综上可知， 故选：B. 变式3．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【分析】先将变形为，再分别求出和的范围，利用同向不等式的可加性，即可得到的取值范围. 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 变式4．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知，，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由不等式的性质可直接求得结果. 【详解】因为，，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 故答案为：. 考点五 由不等式的性质证明不等式 例1．（25-26高一上·山东威海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【答案】(1) 不等式为或； 证明如下： ， 因为， 故，故. (2) 由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 【分析】（1）由题意写出不等式，作差可证明； （2）由（1）可得不等式，由不等式性质即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 【答案】(1) 因为，， 由题设，，得. 因此. (2) （ⅰ）若，则.即. 因为，所以，由（1）得. （ⅱ）若，则， 即. 因为，所以， 于是. 因此. 综上，的充要条件是. 【分析】（1）要证，只需证，平方后结合条件即可证明； （2）分别证充分性和必要性即可. 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）（1）已知且，比较与的值的大小，并说明理由； （2）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】（1），理由如下： 因为 故：当且时，； 当或时，. （2），理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 【分析】（1）利用作差法，即可求解； （2）通过不等式的性质，即可求解. 【详解】（1），理由略； （2），理由略. 变式1．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【答案】（1）证明： 方法一：，， ， ． 方法二：， ． 方法三： ， ， ， 即． （2）证明： 方法一：， ， ， ． ， . 方法二：， ， ， ， ． ， ． 【分析】（1）方法一：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法二：由，利用， 对进行放缩，即可证明； 方法三：由，利用，即可证明； （2）方法一：由，利用，即可证明； 方法二：由，利用，即可证明； 【详解】（1）略； （2）略. 变式2．（25-26高一上·四川广元·阶段检测）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. (2) (3)因为， 由（1）中的结论，可得， 所以， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以， 综上可得. 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【详解】（1）略 （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）略 变式3．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1) 证明：∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； (2) 证明：. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）略 （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $