2.5.2圆与圆的位置关系课时作业设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修第一册 2.5.2《圆与圆的位置关系》课时作业设计 一、作业设计说明 1. 设计依据 本课时是“直线和圆的方程”章节的收尾内容，承接直线与圆的位置关系，下启圆锥曲线。课标要求：能根据给定圆的方程判断圆与圆的位置关系；能用代数方法研究几何问题，体会数形结合、转化与化归思想。作业设计紧扣“直观想象、数学运算、逻辑推理”等核心素养，兼顾基础巩固与综合创新。 2. 学情分析 学生已掌握圆的标准方程、一般方程及直线与圆的位置关系，具备利用圆心距与半径和差判断两圆位置关系的知识基础。但在多圆综合、动态轨迹、新定义阅读理解、定点定值等问题上，仍需通过分层作业提升。 3. 作业目标 （1）能准确判断两圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系。 （2）会求相交两圆的公共弦方程、弦长、垂直平分线，会求两圆的公切线。 （3）能利用两圆位置关系解决含参范围、轨迹、新定义、定点定值等综合问题。 （4）在解题中发展数形结合、转化化归、分类讨论等数学思想。 4. 作业结构 层级 题号 题型 建议用时 要求 基础巩固 1—5 单选题 20分钟 必做 能力提升 6—9 多选题、填空题 15分钟 必做 拓展探究 10—11 解答题 20分钟 选做或小组合作 总建议用时：45—55分钟。难度分布：容易题约30%，中档题约50%，较难题约20%。 二、作业内容 【基础巩固】 一、单选题 1．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．如图，半径为1的与半径为2的内切于点A，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点P从A点出发随着的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（   ） A．C是半径为的圆 B．C是半径为1的圆 C．C是长度为2的线段 D．C是长度为4的线段 4．圆与圆相交得到公共弦，则（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使，则圆心C的横坐标a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【能力提升】 二、多选题 6．点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 7．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．的“欧拉线”方程为 B．圆M上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆M上，则的最小值是 D．若圆M与圆有公共点，则 三、填空题 8．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________. 9．已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 【拓展探究】 四、解答题 10．在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 11．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 三、参考答案与解析 1．C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．A 【分析】利用两圆心连线即是两圆公共弦的垂直平分线，结合两点式直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 3．D 【分析】作圆运动后的某圆，设此时与圆相切于点，点从运动到，通过题设运动中的等量关系结合弧长公式得到即可得到的轨迹求解. 【详解】圆运动到，设此时与圆相切于点，点从运动到， 易知，所以， 所以， 所以的轨迹为圆中过，的直径，长度为4． 故选：D 4．C 【分析】得到公共弦的方程，然后计算到该弦的距离，最后使用圆的弦长公式计算即可. 【详解】由题可知： 所以公共弦的方程为 则到该弦的距离为 所以 故选：C 5．D 【分析】先求得圆的方程，再利用求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围. 【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为， 则圆的方程， 设，由， 可得，整理得， 则圆与圆有公共点， 则， 即，解之得. 故选：D 6．BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 7．BD 【分析】A选项：根据题意，得出等腰欧拉线为底边上的中线或高线，利用点斜式求出直线方程；B选项，利用圆心到直线的距离及圆的半径作出判断；C选项利用的几何意义来求出最小值；D选项用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围. 【详解】因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在底边上的中线或高线上，设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直，由、可得：的中点，即，，所以，故的方程为：，即，选项A错误； 因为与圆相切，故，又圆心到的距离，所以圆M上存在三个点到直线的距离为，B选项正确；点在圆M上，表示圆上的点与的连线的斜率，当连线与圆相切且位于圆的下方时（如图所示），此时，最小，设直线：，由，解得：，因为，所以，即的最小值是，C选项错误； 圆的圆心坐标为，半径，则要想圆M与圆有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故，解得：，故D选项正确. 故选：BD 8．（答案不唯一，或均可以） 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，易得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为或或. 故答案为：（答案不唯一，或均可以） 9． 【详解】由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 10．(1) (2)相交， 【分析】（1）利用圆的几何性质-弦的中垂线经过圆心，结合题设条件求得圆心和半径，即得圆的方程； （2）先利用两圆的位置关系判断即得圆C与圆相交，根据两圆的方程求出过两交点的直线方程.再由圆的弦长公式，计算即得弦长. 【详解】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 ,   则由，解得，        ∴圆心，半径,                     ∴圆的方程为； （2）由圆得：    ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 11．(1) (2)（i）； （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 【分析】（1）根据“伴随点”的定义得出点满足的方程即可求出点所在曲线的方程； （2）（i）由“共生点”定义可求直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线，可得其方程； （ii）易知圆H的方程为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线和圆的方程利用韦达定理得出的表达式，由其为定值解得的值可得结论. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）略 四、作业评价量表 评价维度 评价标准 自评 互评 师评 完成度 必做题全部完成，选做题有尝试 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 正确率 基础题正确率≥80%，综合题有思路 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 规范性 方程化简、结论表述、作图规范 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 思维深度 能多角度思考，有错题归因 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 订正反思 用红笔订正，写出关键错因 ☆☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆ 等级：A（15—13星）、B（12—10星）、C（9—7星）、D（6星以下）。 五、设计反思 本作业设计以“圆与圆的位置关系”为核心，按“基础—能力—拓展”分层，覆盖判断位置关系、公共弦、公切线、轨迹、新定义、定点定值等典型问题。基础题强调通性通法，能力题突出多选辨析与含参讨论，拓展题指向数学抽象与创新应用。建议教师根据学情，将第11题作为小组合作探究题，课堂展示“伴随点”“共生点”的转化过程，进一步提升学生的数学建模与逻辑推理素养。 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $