专题：数列求和五大方法训练-2027届高三数学一轮复习

专题：数列求和必备五大方法（裂项相消、错位相减、分组求和、 并项求和、倒序相加)） (知识清单十重点习题十解题技巧) 题型1裂项相消法 题型2 错位相减法 题型3分组求和法 题型4并项求和法 题型5倒序相加法 。。。。。。。。 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】裂项相消法 基础知识 原理：把通项拆成两项之差，求和时中间项可以相互抵消 规律：1数量相等：消项后前边剩几项，后边就剩几项。 2位置相等：前边剩第几项，后边剩倒数第几项. 3符号相反：前面剩加法，后边剩减法. 常用公式：①等差型 111 1111 wo+D”ne士=分n士3 a,4m2-1-22n-2n+） 1 1「11 n(0n+10(n+2)2n(n+1Dn+10(n+2) 4) 1 1111 (5)n(n2-1)n(n-D(n+1)2(n-D)n n(n+1 1 (2n+1)(2n-1) 第1页 ②根式型 a)Vn+i+=Vn+1-n 1 an++万n+-a )V1-n-1) 1 ③指数型 2" (21-1)-(2”-1)11 (1)(2-10(2”-)(2-1(2"-1）2”-12-1 a8西司 3” n+2=2(n+1)-n=2_1）.1=1-1 nn+1)-2nn+0-2气nn+12n-2(m+）-2" (3) 111-1.11-1 注意：系数不相同就提系数：n(2n+4)2n(n+2)22nn+2, 【例1】已知等差数列a,的的”项和为5，且4=6,8=24 4求数列a}的通项公式 11 (2)求数列anaJ的前n项和Tn. 【练习1】已知正项等比数列a的前n项和为3，且4=2,8=14。 第2页 1求数列a的通项公式。 1 (2)设bn=log2an,求数列b,bJ的前n项和T,. 【练习2】已知数列a的前”项和为，且S=2-2(neN) 1求数列a}的通项公式： 1 (2)求数列log2 a,log2an1的前n项和T, 【练习3】己知数列a}满足4=2，且 eN) 1 (1)证明：数列anJ为等差数列： 第3页 (2)设b,=aa+,求数列b.}的前n项和Sn. 【拓展】在数列a中，4=2，a+a(a+可，求数列a}的通项公式： 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型2】错位相减法 基础知识 原理：若{a,}是等差数列，{b,}是等比数列，求数列{anm-bn}的前n项和S, ⊙g展开 Sn=ab+az:b2++an-r'bn-1+anbn ① 乘公比 qSn=arb2ta2bgt…tam'bataba② 错位相减 ①-②：得(1-g）Sn=a1b1ta2b2+…+an-bm-1tamb。 (arb2ta2rbgt…ta-1rb.+ab） =arbi+d(b2tbgt…+bn)-arba+1③ 求和 Sn=ar6r+d6,h,t+6,a*dl 1-q 第4页 注意：在写出S与qS的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确 写出Sn-qSn: 【例1】己知数列{a}的前n项和S.=2 2 n+l. (1求数列a,的通项公式： (2)若b,=a。2”,求数列b.}的前n项和T 【练习1】已知等比数列{a,}的前n项和为S,且20=，+1(aeN). 1求数列a}的通项公式： 2若。=(+)a,求数列么}的前”项和. 【练习2】已知等比数列a}中，4=3，a=81,数列满足=2g-1 1求{a和}的通项公式 第5页 2没.=助，求数列c的前”项和S 【练习3】已知数列 满足9=2a=2a,+2 (1)求证： 2” 为等差数列，并求出数列{a}的通项公式 nb=2n-,求数列，的前n项和为3 (2)设 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型3】分组求和法 基础知识 原理：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时 可用分组求和法，分别求和后相加减 第6页 abn士cn,{bn,{cn}为等差或等比数列 bn,n为奇数 an= cn,n为偶数， 分组求和 和 {bn,{cn)为等差或等比数列 【例1】已知数列a}是等比数列，4=2,4=16 1求a,的通项公式： 2求数列a,+2的前”项和， 【练习1】设等差数列a的前”项和为，且马=3,8=6。 1)求a的通项公式： (2)设b.=2%+a,求数列也.}的前n项和T. 【练习2】已知等比数列a满足4+4=3，a+a=24. (口求a的通项公式： 第7页 (2)设b,=a,+3n,求数列b}的前n项和S. 【练习3】已知等差数列a的首项41，公差为2，等比数列6}的首项4=1， an,n为奇数 公比为2，数列c}满足：6-b,为偶数n∈N) (1)依次写出数列的前6项； 2设数列的前项和为，求8。 第8页 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型4】并项求和法 基础知识 原理：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和 【例1】已知等差数列a的前”项和为，满足4+a,=14,,=0 1求数列a}的通项公式： (2)设bn=(-l)”a,求6+b+b++b0. 【练习1】已知各项都不相等的等差数列a},&=6,又“，“，“成等比数列. 1)求数列a的通项公式： 2设，=(-旷a,求数列，的前2n项和工m 第9页 【练习2】等差数列a,}的前n和为S,若4=1，S。=3a. (1)求数列{a的通项公式： (2)若b.=(-)a,求数列，}的前2n的和Im. 【练习3】已知单调递增的等差数列a的前”项和为，且4=3，S,8+1, S,-3 成等比数列. 1)求数列a的通项公式： 。=旷，数别的消a项和为，水. (2)若”ana 第10页 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型5】倒序相加法 基础知识 原理：如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求 这个数列的前项和即可用倒序相加法求解.将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加 时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法 【例1】设函数f(x)=1+n x,a=1 a=f0+}++aeN≥2刘 计算+1-的值. 2求数列a的通项公式. 【练习1】定义在R上的函数 第11页 re42=f)+/na=23 求S. 【练21巴商数内 a球得).02值 2求+-的值： 利用2的猫论球品+（器（园） 值 第12页 【练习3】已知数列a的前n项和=2-4eN）,函数因对在意的xeR 都有+0--1，数列满是=fo+日引+0 4求数列a,}的通项公式 2若数列满足，=a6,求数列6的前”项和 第13页 专题：数列求和必备五大方法（裂项相消、错位相减、分组求和、并项求和、倒序相加） （知识清单＋重点习题＋解题技巧） 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】裂项相消法 原理：把通项拆成两项之差，求和时中间项可以相互抵消 规律：1.数量相等：消项后前边剩几项，后边就剩几项. 2.位置相等：前边剩第几项，后边剩倒数第几项． 3.符号相反：前面剩加法，后边剩减法. 常用公式：①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） 【例1】已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出方程组，解出首项与公差从而得出通项公式；（2）利用裂项相消法将各项拆分化简即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d， 由得，由得，即， 所以有，解得，所以. （2）由题意得， 则. 【练习1】．已知正项等比数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式． (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，．(2)，． 【分析】根据等比数列前n项和公式结合裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意可知，若等比数列的公比，则，，不符合题意，所以等比数列的公比，                则，   即，解得或（舍），     所以． 故数列的通项公式为， （2）由（1）知，   所以，                ，  即．                所以数列的前n项和，． 【练习2】已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用公式可求的通项公式； （2）裂项相消法可求数列的前项和. 【详解】（1）因为，当时，， 当时，， 检验，当时，，也满足．所以． （2）因为，， ， ． 【练习3】．已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由，所以， 所以，所以数列是以为公差，首项为的等差数列； （2）由（1）有，所以， 所以， 所以. 【拓展】在数列中，，，求数列的通项公式； 【答案】（1） 【分析】利用累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意，得，由累加法可得： 当时，. 也适合上式，即 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型2】错位相减法 原理：若是等差数列，是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． 注意：在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确 写出； 【例1】已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2). 【分析】（1）利用来求通项公式，但要注意首项是否满足； （2）利用错位相减法来求和即可. 【详解】（1）由题意得：. 当时，， 因为，不满足上式，所以 （2）由（1）可得 所以当时，，① ，② ①②，得， 所以可得：， 当时，也满足上式，即. 【练习1】已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用之间的关系，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，，即，① 当时，， ， 是等比数列，∴公比②将②代入①得：， 是以2为首项，3为公比的等比数列，. （2）依题意，， ， ③. ④. 由③-④得， ， ， . 【练习2】已知等比数列中，，，数列满足. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先求出公比，即可求出的通项公式，再代入得到的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，， 则，解得，所以，又，所以； （2）由（1）可得， 所以， 则， ，则. 【练习3】已知数列满足. (1)求证：为等差数列，并求出数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和为. 【答案】(1)由. 则数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）得， 则. 于是， 上两式相减得： ， 所以. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型3】分组求和法 原理:：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 【例1】已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）数列是等比数列，，，得数列的公比满足，解得. 则的通项公式为. （2）将数列的前项和分成等比数列和等差数列分别求和. 则. 【练习1】设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式，计算出等差数列的基本量，即可求得通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法，求得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则得，解得，； （2） ， 的前n项和 ． 【练习2】已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. （2）由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 【练习3】已知等差数列的首项，公差为2，等比数列的首项，公比为2，数列满足：. (1)依次写出数列的前6项； (2)设数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，，即可求得答案； （2）结合（1）的结果，利用分组求和法即可求解. 【详解】（1）由题意得，， 则，，，， ，． （2）中奇数项为，偶数项为． 奇数项：，， 和为． 偶数项：，，首项为，公比为，项数为6， 和为． 故． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型4】并项求和法 原理：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 【例1】已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)； (2)30 【分析】（1）设出公差，根据通项公式和求和公式基本量得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）分组求和，得到答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 【练习1】已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求得，然后可得通项公式； （2）利用并项求和法可求． 【详解】（1）因为为各项都不相等的等差数列，所以设数列的公差为， 又因为，，，成等比数列. 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以 . 【练习2】等差数列的前和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式、求和公式求，即可. （2）利用分组求和法和并项求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得，又，所以， ，因此数列的通项公式. （2）由得 所以数列的前的和． 【练习3】已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公差为，利用等比中项概念与等差数列前n项和的基本量运算可求得，从而可写出通项公式；（2）利用裂项相消法与分组求和法即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 因为成等比数列，所以， 由于， 所以，化简得. 解得或，又，所以. 故数列的通项公式为； （2）由（1）得，则， 则， 所以， 则 . 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型5】倒序相加法 原理：如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法 【例1】设函数，． (1)计算的值． (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）直接计算可得答案； （2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案. 【详解】（1）； （2）由题知，当时，， 又，两式相加得 ， 所以，又不符合， 所以. 【练习1】定义在上的函数． 求． 【答案】(1) 【分析】由题意得，结合倒序相加法即可求解； 【详解】由于，即， 所以，解得． 【练习2】已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】（1）将，代入函数解析式求，将，代入函数解析式求； （2）将相应的自变量值代入函数解析式化简即可求解； （3）借助（2）中的结论即可求解. 【详解】（1） ； （2）； （3）设 则， 所以由（2）知， 所以. 【练习3】已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn (2) 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式，∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加，可得，. （2）由（1），可得， 则 两式相减，可得 ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $