26.4实际问题与二次函数【培优练习】2026-2027学年人教版九年级数学上册
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内容正文：
专题03 实际问题与二次函数【培优】（解析）
26.3实际问题与二次函数
1、二次函数的实际应用一般步骤：
① 定变量：确定题目中的自变量、因变量；
② 找关系：根据公式、题意梳理两个变量的等量关系；
③ 列式子：整理化简，得到二次函数解析式；
④ 定范围：根据实际意义，确定自变量取值范围.
2、二次函数与几何图形面积问题
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系（周长/面积关系、勾股定理等），将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。
3、二次函数解决销售利润问题
计算公式：
①每件的利润=销售单价-成本单价；
②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。
利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：
① 辨情境：区分涨价/降价，梳理单件利润、销量变化；
② 建模型：根据总利润公式列二次函数解析式；
③ 定范围：根据销量、价格非负确定自变量范围；
④ 求最值：利用顶点公式求最值，验证顶点是否在取值范围.
4、二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题
① 建系：根据图形特征，选择顶点、中点、端点为坐标原点，建立平面直角坐标系
（优先选择让顶点在坐标轴上、对称建系，简化计算）；
② 找点：结合题目已知数据，转化出抛物线上关键点的坐标；
③ 求式：根据坐标特点，选择顶点式、交点式、一般式，用待定系数法求二次函数解析式；
④ 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。根据问题需求，代入自变量或函数值计算，结合实际范围取舍结果，规范作答.
【题型一】 图形问题
【例题】（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为．
(1)用含的式子表示的长为 ；
(2)的长的取值范围是 ；
(3)求修建的矩形停车场的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)该矩形停车场的最大面积为
【思路引导】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得；
（2）结合图形容易判断，解不等式即可；
（3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值．
【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：由图可知，,
∴，解得；
（3）解：，
∵，
∴该二次函数的图象开口向下，
∴当时，取得最大值．
答：该矩形停车场的最大面积为．
【变式1】把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
(1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由见解析
【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为，根据“长方形盒子的底面积为”列方程求解；
（2）设剪掉的正方形的边长为，根据“侧面积为”列方程求解
（3）列出侧面积S关于正方形的边长y的二次函数，根据二次函数的性质进行求解．
【详解】（1）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得，
，
解得或（不符合题意，舍去）
∴剪掉的正方形的边长为；
（2）解：设剪掉的正方形的边长为，根据题意得，
，
解得或
∴剪掉的正方形的边长为或；
（3）解：侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为，理由如下：
由（2）可得，
长方形盒子的侧面积，
∴当时，为最大值，
∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为，此时正方形的边长为．
【变式2】综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】(1)15米；
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．
（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，
根据题意得
∴
∵，
∴当时，有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【变式3】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若改造后观花道的面积为，求x的值；
(3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
【答案】(1)
(2)x的值为1
(3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为
【分析】（1）利用长方形的面积计算公式得出y与x的函数关系式；
（2）将代入函数解析式求出x的值；
（3）利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）解：由题意可得：，
则，
即，
解得：，，
经检验得：不合题意，舍去，
答：x的值为1；
（3）解：
，
当时，y随x的增大而减小，
故当时，y最大，，
即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为．
【题型二】 动态几何问题
【例题】如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：___，____． （用含t的代数式表示）；
(2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？
(3)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)；；
(2)1秒后
(3)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.
【思路引导】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；
（3）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可.
【规范解答】（1）解：由题意，得，
∴；
（2）解：∵，，，
∴的面积，
解得或，
当时，（不符合题意，舍去）；
∴，
答：1秒后，的面积等于；
（3）解：当点运动到点时，秒；
由题意，，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而增大，
∵，
∴当时，的值最大为；
故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.
【变式1】如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，求面积最小值.
【分析】设的面积为，根据面积公式求出，根据勾股定理求出，结合得到，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：设的面积为，
由题意得：，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
当为时，的面积最小，且最小值为．
【变式2】如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当长为是多少时时，四边形的面积最大．
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知设四边形的面积为S，为x，则，进而得到关系式，求出最值即可，根据已知得到二次函数关系是解答本题的关键．
【详解】解：设，四边形的面积为S，则，
则，
∵，
∴有最大值，
当时，四边形的面积最大，
即当时，四边形的面积最大，
【变式3】如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动，若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动，图是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象点为图象的最高点，求平行四边形的面积．
【分析】由题意可知：：：，设，则，过点作垂直于的延长线于点，过点作垂直于的延长线于点，由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为，得出，则，在中，，得出，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解．
【详解】解：由题意可知：：：，设，则，
如图，过点作垂直于的延长线于点，
，则， ，
在中，，
，
则，化简得：，
由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为，
，
，
为正数，
，
，则，
如图，过点作垂直于的延长线于点，
在中，，则，
，
，
．
【题型三】 销售利润问题
【例题】（2026·湖北武汉·中考真题）（区间外定点最值）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．
市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等．
信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件．
成本核算：
(1)分别求制作一件A品和一件B品的成本．
模型建立：
(2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)．
方案设计：
(3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案．
【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元
(2)
(3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大
【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可；
（2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式；
（3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，
由题意可知：，
解得：，
经检验：是原方程的根，符合题意，
故，
答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元；
（2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件，
∴A品的销量为：(件)，
∴B品的销量为：(件)，
∴，
答：w关于的函数解析式为：；
（3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元，
∴，
解得：，
又∵且，即，
∴，
∵，，
∴当时，w随着x的增大而减小，
∴当时，．
此时，，总成本等于1400元，
答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大．
【变式1】（2026·山东青岛·中考真题）（区间内最值与求参）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表：
产量（万件）
…
15
18
20
…
总成本（万元）
…
285
336
360
…
（总利润=总销售额－总成本）
(1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式；
(2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？
(3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？
【答案】(1)
(2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元
(3)m的最小值是24
【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式；
（2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润；
（3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值．
【详解】（1）解：将和代入 得：
解得：
总成本与产量之间的函数关系式为．
（2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得：
．
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
距离对称轴比距离对称轴远，
当时，取得最大值，
．
答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元．
（3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得：
对称轴为直线．
总利润随着产量的增大而增大，且，
对称轴，
解得：．
的最小值为．
【变式2】（区间内取整最值与求参）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能低于50元且不得高于65元），设每件商品的售价上涨x元，（x为正整数）每个月的销售量为y件．
（1）则y与x的函数关系式为：y＝210﹣10x（0＜x≤15） ；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品都有a（a＞0）元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，求a的取值范围．
【详解】解：（1）由题意得：
y＝210﹣10x（0＜x≤15），
故答案为：y＝210﹣10x（0＜x≤15）；
（2）设月利润为w，依题意得：
w＝（210﹣10x）（50+x﹣40）
＝﹣10x2+110x+2100＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5（0＜x≤15且x为正整数），
∵a＝﹣10＜0，
∴当 x＝5.5时，w有最大值2402.5，
∵0＜x≤15且x为正整数，
当x＝5时，50+x＝55，w＝﹣10×（5﹣5.5）2+2402.5＝2400（元），
当x＝6时，50+x＝56，w＝﹣10×（6﹣5.5）2+2402.5＝2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
（3）由题意得：w＝（210﹣10x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣10（x﹣21）（x+10﹣a），
∴函数图象的对称轴为：直线x，
∵售价每件不低于58元时，
∴x≥58﹣50＝8，
又∵0＜x≤15且x为整数，
∴8≤x≤15，且x为整数，w随x的增大而减小，
∴8，
解得0＜a≤5，
∴a的取值范围为0＜a≤5．
【变式3】（关联变量利润和）某工厂用东莞本地生产的钢材加工甲、乙两种产品．现有20吨钢材，计划全部用于加工这两种产品．经市场调研发现：
加工甲产品的利润p（元）与使用钢材量x（吨）的关系为：p＝﹣100x2+2000x，
加工乙产品的利润q（元）与使用钢材量y（吨）的关系为：q＝3000y，
（1）若用x吨钢材加工甲产品，用剩余钢材加工乙产品，求总利润W与x的函数关系式；
（2）如何分配钢材，可使总利润最大？最大利润是多少？
【思路点拨】（1）根据题意可得加工乙产品用（20﹣x）吨钢材，由W＝p+q 即可解答；
（2）利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）用x吨钢材加工甲产品，
W＝p+q＝﹣100x2+2000x+3000（20﹣x）＝﹣100x2﹣1000x+60000（0≤x≤20）；
总利润W与x的函数关系式为：W＝﹣100x2﹣1000x+60000（0≤x≤20）；
（2）W＝﹣100x2﹣1000x+60000＝﹣100（x+5）2+62500，
∵﹣100＜0，0≤x≤20
∴当x＝0时，W取最大值，最大值为60000元，
答：20吨钢材全部用于加工乙产品时，可使总利润最大，最大利润是60000元．
【变式4】（分段函数取最值）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件9元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示：
(1)求与之间的函数关系式；
(2)设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足的关系式为：．设小强第天创造的利润为元．求小强第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)小强第天创造的利润最大，最大利润是元
【分析】（1）由图象分两种情况分别求与之间的函数关系式即可；
（2）分两种情况分别求出w的函数解析式，根据函数的形式作答即可．
【详解】（1）解：由图象得，当时，；
当时，设，
由题意可得，
解得：，．
综上可得，与之间的函数关系式为：；
（2）解：当时，，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值为：（元）；
当时，，
可知当时，有最大值，最大值为（元），
综上可知，第天时，利润最大，最大值为元，
小强第天创造的利润最大，最大利润是元．
【题型四】 抛物线实物模型（拱桥、隧道、投篮、喷水等）
考察01 过桥问题
【例题】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）设，则，得出纵坐标为：，即，确定，再根据题意得出，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：轴垂直平分，，
，，
由题意得，
设该抛物线的函数表达式为，将代入，
，
解得：
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图所示：
设，
∴，
∴点E的横坐标为x，
∴纵坐标为：，即，
∴，
∵灯饰C与其水中倒影之间的距离，
∴，
∵灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为，，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
∴．
【变式1】如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米，
(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式．
(2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？
【分析】本题主要考查二次函数的应用，包括待定系数法求解析式等知识；
（1）设抛物线解析式为，根据题意解出、，抛物线顶点坐标为且过点，设抛物线的解析式为，可求出的值，确定表达式．
（2）由（1）得抛物线解析式，若汽车的右侧离开隧道右壁不至于碰到隧道的顶部，则令，解得，然后根据题意得解；
灵活运用二次函数性质解决实际问题是解题的关键．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
由题意知，隧道的最大高度为米；米，米，
由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，
则有，
，，
抛物线的解析式为，
（2）由题意得，
当时，，
，．
当或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时，
当时，此时刚好违反交通规则，
汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，
的取值范围是．
考察02 高度分析
【例题】鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：
0
9
12
15
18
21
…
0
5
…
(1)根据表中数据预测足球落地时，______m；
(2)求h关于s的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
（3）把代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，
抛物线关于对称，
当时，，
时，；
（2）由（1）知，抛物线关于对称，设，
把代入上述解析式，
，解得，
（3）当，
∴，
∴守门员不能成功防守．
【变式1】（2026·广东茂名·二模）【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内．
【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点．
(1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式；
(2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）；
(3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？
【答案】(1)
(2)米
(3)要把喷泉喷头升高2米．
【分析】（1）理解题意，先设该抛物线的函数表达式为，再运用待定系数法求出解析式，即可作答．
（2）理解题意，把代入计算，再结合在轴的正半轴，故半径的长为米．
（3）理解题意，设要把喷泉喷头升高米，得出升高后的抛物线的解析式为，把整理得出的代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
∵最高点时的坐标为，
∴设该抛物线的函数表达式为，
把代入，得
解得，
∴
（2）解：由（1）得，
依题意，把代入，
得
整理得
解得，
∵在轴的正半轴，
∴．
∴半径的长为米．
（3）解：由（1）得，
设要把喷泉喷头升高米，
依题意，升高后的抛物线的解析式为
∵水流落点距离中心恰好为5米，
∴
把代入，
得
整理得
解得
∴要把喷泉喷头升高2米．
考察03 落点问题
【例题】（2026·广东深圳·模拟预测）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题：
水平距离
0
2
4
5
6
8
9
竖直高度
2
2
(1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m；
(2)求图中抛物线的解析式；
(3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由；
【答案】(1)2，
(2)
(3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下：
把代入，
得，
解得或（不符合题意，舍去），
∵，
∴邓同学在此次训练中能得到满分；
(4)m的值为或
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
（1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标；
（2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可；
（4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值，
通过图表可得：当时，，
则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米，
由当时，；当时，可得：
对称轴为直线，
则当时，实心球在空中取得最大高度，
通过图表可得：当时，，
则实心球在空中的最大高度是米；
（2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为，
则，
抛物线的解析式为，
将代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
【变式1】如图，某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为．
(1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式；
(2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）先根据图象得出该抛物线顶点为，设，代入即可作答；
（2）设第一次落地点为B，令，则，解方程即可求解．
【详解】（1）由题意可知：该抛物线顶点为，
∴，
把的坐标代入解析式，得，
解得，
∴函数关系式为；
（2）没有出界，理由如下：
设第一次落地点为B，令，则，
解之得：（舍），，
∵，
∴排球第一次落地没出界．
考察04 抛物线实物建系
【例题】窑洞是黄土高原、黄河中游特有的民居形式.如图,某窑洞口的截平面下部为矩形EFGH ,上部为抛物线的一部分.已知下部矩形的长EF为4米,宽HE 为2米,窑洞口的最高点P离地面EF 的距离为4米.
（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，P 点的坐标为______;
（2）求（1）中所建坐标系中抛物线的表达式;
（3）若在窑洞口的上部安装一个矩形窗户ABCD （窗户的边框忽略不计）,使得点A,B在下部矩形的边上,点C,D在抛物线上,且AB=2BC ,则这个窗户的宽BC 为多少米?
【答案】（1）法一（0,2）法二（2,2）
【变式1】一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；
(2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
(3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到）
【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
（1）建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解；
（2）水位上涨了2米时，则，求出对应的x的值即可；
（3）货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解．
【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：
则，，
抛物线的顶点坐标为，，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，则，
解得：，
，
∴水面上升2米后的水面宽度为米，
（3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，
∵货船的高为米，宽为米，
∴米，，
设米，则米，
∴点的坐标为，
将代入，得：
解得，
∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米．
【题型五】 其他问题
【例题】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表
刹车时车速（千米/时）
刹车距离（米）
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
(2)结合图象，当前方障碍物与车的距离为米时，为了人与车的安全，此时该车的车速最高为________千米/时（保留整数）；
(3)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
(4)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为米，已知这条高速公路限速千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
解：将刹车距离代入函数表达式，
整理得，
解得正根，
∵，
∴事故发生时汽车没有超速行驶．
【分析】（）依题意描点连线即可．
（）先求刹车距离二次函数解析式，将代入解方程，取合理整数得安全最高车速；
（）由图像判断为过原点二次函数，代入两组数据解方程组，求出函数关系式；
（）把刹车距离代入函数算出车速，和限速对比判断是否超速．
【详解】（1）解：根据表格数据，依次描出点 ，
再用平滑曲线依次连接各点即可得到函数大致图象；
（2）解：由图象形状可判断为二次函数，且时，因此设，代入、，
得：，
解得，
因此表达式为；
当时，
整理得，
解得
为保证安全，最高车速保留整数为千米/时；
（3）解：由图象形状可判断为二次函数，且时，因此设，代入、，
得：，
解得，
因此表达式为；
（4）略
【变式2】（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征．
【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．
为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解．
(1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值；
(2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系；
(3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可；
（2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可；
（3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，即，
∴抛物线的表达式为，
将点代入得：，
解得．
（2）解：∵点的坐标，
∴由题意得：点的坐标为，
将点代入得：，
解得．
（3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称，
∴轴，
∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为，
∴，，
∴抛物线的表达式为，
由（2）已得：，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
①当时，
在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∴在内，当时，取得最小值，最小值为，
又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，
∴，
解得，
∴；
②当时，
在内，随的增大而减小，
∴在内，当时，取得最小值，最小值为，
又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，
∴，
解得，
∴；
综上，此时的值为或．
【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践
“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
(1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为．
①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度．
【答案】(1)①；②
(2)丙的平均速度为
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可；
②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可；
（2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可．
【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为，
∴将点代入解析式得：，
解得：，
∴关于的函数表达式为；
②由题意可得：当时，则有，
解得：；
当时，则有，
解得：；
∵花枪在下落过程中，即，
∴当时，；当时，，
∴的取值范围为．
（2）解：当花枪落地时，则有，
∴，
解得：（舍去），
∴花枪落地所需的时间为，
∴丙的平均速度为；
答：丙的平均速度为．
【变式3】某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，：时该桥梁上车辆共计辆，累计驶入车辆数(单位：辆)与累计驶出车辆数(单位：辆)随统计时间(单位：)变化的结果如表所示：
统计时间
累计驶入车辆数辆
累计驶出车辆数辆
在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数与之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数与之间看作一次函数关系．
(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？
(3)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始分钟时(即：时)，交通事故解除，驶出桥梁的车辆每增加辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？
【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用
（1）分别设出关于的函数解析式和关于的函数解析式，然后用待定系数法求解析式即可；
（2）根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数，列出方程，解方程即可；
（3）当，根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数列出函数解析式，由函数性质求最大值，再与比较即可．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
把，，代入解析式得：
，
解得，
关于的函数解析式为；
设关于的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得，
关于的函数解析式为；
（2）当时，
即，
解得
从第分钟将触发拥堵黄色预警；
（3）设桥梁上车辆累计辆，
当时，，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
，
不会触发拥堵红色预警．
【课后作业】
1.
在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设．
(1)若围成花园的面积为，求的值．
(2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？
【答案】(1)12或16
(2)
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可；
（2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得，
即x的值是12或16；
（2）解：设矩形花园的面积为，则，
，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
由题意，得解得．
当时，取得最大值，．
答：能围成的花园的最大面积是．
2.
（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（ ）
A．1米 B．2米 C．3米 D．4米
【答案】C
【分析】设长为米，由图可得，横档的长为米，表示出透光面积并结合二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设长为米，
由图可得，横档的长为米，
∴透光面积为
，
，
当时，取得最大值，最大值为．
3.
如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ．
【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键．根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值，
∴当时，有最小值，且最小值为，
故答案为：，．
4. 已知，如图正方形的边长为，点是边上一个动点（不与，重合），连接，过点作交于点，设，．求与间的函数关系式，并求的最大值．
【答案】当时，有最大值
【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的解析式与最值、函数图象的画法，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质是解题的关键．
（1）先利用正方形的性质和垂直条件证明与相似，再根据相似三角形对应边成比例列出等式，推导出与的函数关系式，最后通过配方法或顶点公式求出二次函数在给定区间内的最大值．
（2）根据第（1）小题得到的函数关系式（），选取区间内的若干值，计算对应的值，列出表格，然后在平面直角坐标系中描点、连线，画出函数图象．
【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴ （），
∵ ，
∴有最大值，
∴当时，有最大值．
5. 随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价x超过14元/kg时，此农产品下市不再销售．
（1）当x≥10时，求日销售数量y关于销售单价x的函数关系式；
（2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润．
【思路点拨】（1）依据题意，当x≥10时，设日销售数量y关于销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），又图象过（10，50），（14，42），则，从而计算可以得解；
（2）依据题意，设日销售利润为W元，单件利润为（x﹣5）元/千克，可分两段讨论，从而可以计算得解．
【详解】解：（1）由题意，当x≥10时，设日销售数量y关于销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
又∵图象过（10，50），（14，42），
∴．
∴．
∴所求函数关系式为y＝﹣2x+70；
（2）由题意，设日销售利润为W元，单件利润为（x﹣5）元/千克，可分两段讨论：
①当8≤x≤10时，此时y＝50，
∴利润W＝50（x﹣5）＝50x﹣250，
∵k＝50＞0，
∴W随x增大而增大，
∴当x＝10时，Wmax＝50×10﹣250＝250（元）；
②当10≤x≤14时，此时y＝﹣2x+70，
∴利润W＝（x﹣5）（﹣2x+70）
＝﹣2x2+80x﹣350
＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）﹣350
＝﹣2（x﹣20）2+450．
∵﹣2＜0且10≤x≤14，
∴当x＝14时，W取最大值，最大值为378．
答：此农产品销售单价定为每千克为14元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润是378元．
6. (24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数，设公司获得的总利润为元．（提示：总利润=每件利润×销售量）
(1)求与之间的函数关系式；
(2)根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？
(3)若总利润为元时，销售单价是多少？
【答案】(1)
(2)时，的值最大，最大值为
(3)总利润为元时，销售单价是或元
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；
（1）根据总利润每件利润销售量即可列出与之间的函数关系式；
（2）根据（1）的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解；
（3）令，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
（2）解：由（1）可得
当时，取得最大值为：，
答：时，的值最大，最大值为
（3）解：依题意，
方程整理得：
解得：
答：总利润为元时，销售单价是或元．
7. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答．
（2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴．
8. 2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知：
①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：；
②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米；
③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度．
(1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式；
(2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号）
(3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？
【答案】(1)
(2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米．
(3)能
【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解；
（2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论．
（3）分别计算，的函数值，进一步判断即可．
【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，
把代入得，，
解得，
∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为．
（2）解：令，则，
解得，，
根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去，
∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米．
（3）解：当时，则，
当时，则，
∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门．
9. (24-25九上·广东惠州惠东县·期中)综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）
【解决问题】
(1)大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；
(2)探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围；
(3)拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值．
【答案】(1)
(2)
(3)18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）如图（见解析），先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）求出当时，的值，再结合函数图象即可得；
（3）根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植，由此即可得．
【详解】（1）解：如图，由题意得：，，，，
∴，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：当时，则，
解得或，
在图象中标出如下：
结合函数图象可知，当时，种植点的横坐标的取值范围为．
（3）解：∵为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个），
∴在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植的数量为（棵），
∴最左边一棵苗木种植点的横坐标，
答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为．
10. (24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)根据以下素材，探索完成任务．
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1
该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2
当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）任务一：；任务二：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元
【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出方程和函数解析式是解答的关键．
任务一：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可；
任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元，根据题意列出y关于x的函数表达式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为a，根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为；
任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元，
根据题意，得 ，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为12250，
答：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元．
11. 我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一
租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
材料二
某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆．
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；
租用B型客车，租车费用打八折．
材料三
租车公司最多提供10辆A型客车；
学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少?
【答案】(1)A型客车每辆载客量为人，B型客车每辆载客量为人；
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是元．
【分析】（1）设A型客车每辆载客量为人，则B型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人，
根据题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴（人）．
∴A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人．
（2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，
根据题意得，
解得，
设本次研学活动学校的租车总费用为元，
则，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，
又∵，
∴时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小，
又∵m取正整数，
∴的可能取值为，，，，，
∵，，，
∴当时，取得最小值，最小值为（元），
∴本次研学活动学校的最少租车费用是元．
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专题03 实际问题与二次函数【培优】
26.3实际问题与二次函数
1、二次函数的实际应用一般步骤：
① 定变量：确定题目中的自变量、因变量；
② 找关系：根据公式、题意梳理两个变量的等量关系；
③ 列式子：整理化简，得到二次函数解析式；
④ 定范围：根据实际意义，确定自变量取值范围.
2、二次函数与几何图形面积问题
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系（周长/面积关系、勾股定理等），将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。
3、二次函数解决销售利润问题
计算公式：
①每件的利润=销售单价-成本单价；
②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。
利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：
① 辨情境：区分涨价/降价，梳理单件利润、销量变化；
② 建模型：根据总利润公式列二次函数解析式；
③ 定范围：根据销量、价格非负确定自变量范围；
④ 求最值：利用顶点公式求最值，验证顶点是否在取值范围.
4、二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题
① 建系：根据图形特征，选择顶点、中点、端点为坐标原点，建立平面直角坐标系
（优先选择让顶点在坐标轴上、对称建系，简化计算）；
② 找点：结合题目已知数据，转化出抛物线上关键点的坐标；
③ 求式：根据坐标特点，选择顶点式、交点式、一般式，用待定系数法求二次函数解析式；
④ 运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。根据问题需求，代入自变量或函数值计算，结合实际范围取舍结果，规范作答.
【题型一】 图形问题
【例题】（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为．
(1)用含的式子表示的长为 ；
(2)的长的取值范围是 ；
(3)求修建的矩形停车场的面积的最大值．
【变式1】把一边长为的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
(1)要使折成的长方形盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(2)折成的长方形盒子的侧面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没有，说明理由．
【变式2】综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【变式3】国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)若改造后观花道的面积为，求x的值；
(3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．
【题型二】 动态几何问题
【例题】如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：___，____． （用含t的代数式表示）；
(2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？
(3)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？
【变式1】如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，求面积最小值.
【变式2】如图，四边形中的两条对角线，互相垂直，，当长为是多少时时，四边形的面积最大．
【变式3】如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动，若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动，图是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象点为图象的最高点，求平行四边形的面积．
【题型三】 销售利润问题
【例题】（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．
市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等．
信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件．
成本核算：
(1)分别求制作一件A品和一件B品的成本．
模型建立：
(2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)．
方案设计：
(3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案．
【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元
(2)
(3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大
【变式1】（2026·山东青岛·中考真题）（区间内最值与求参）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表：
产量（万件）
…
15
18
20
…
总成本（万元）
…
285
336
360
…
（总利润=总销售额－总成本）
(1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式；
(2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？
(3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？
【变式2】（区间内取整最值与求参）某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元时，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能低于50元且不得高于65元），设每件商品的售价上涨x元，（x为正整数）每个月的销售量为y件．
（1）则y与x的函数关系式为：y＝210﹣10x（0＜x≤15） ；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品都有a（a＞0）元的其它费用，商家发现当售价每件不低于58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，求a的取值范围．
【变式3】（关联变量利润和）某工厂用东莞本地生产的钢材加工甲、乙两种产品．现有20吨钢材，计划全部用于加工这两种产品．经市场调研发现：
加工甲产品的利润p（元）与使用钢材量x（吨）的关系为：p＝﹣100x2+2000x，
加工乙产品的利润q（元）与使用钢材量y（吨）的关系为：q＝3000y，
（1）若用x吨钢材加工甲产品，用剩余钢材加工乙产品，求总利润W与x的函数关系式；
（2）如何分配钢材，可使总利润最大？最大利润是多少？
【变式4】（分段函数取最值）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件9元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示：
(1)求与之间的函数关系式；
(2)设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足的关系式为：．设小强第天创造的利润为元．求小强第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
【题型四】 抛物线实物模型（拱桥、隧道、投篮、喷水等）
考察01 过桥问题
【例题】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度．
【变式1】如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米，
(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式．
(2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？
考察02 高度分析
【例题】鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：
0
9
12
15
18
21
…
0
5
…
(1)根据表中数据预测足球落地时，______m；
(2)求h关于s的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【变式1】（2026·广东茂名·二模）【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内．
【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点．
(1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式；
(2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）；
(3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？
考察03 落点问题
【例题】（2026·广东深圳·模拟预测）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题：
水平距离
0
2
4
5
6
8
9
竖直高度
2
2
(1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m；
(2)求图中抛物线的解析式；
(3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由；
【变式1】如图，某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为．
(1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式；
(2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由．
考察04 抛物线实物建系
【例题】窑洞是黄土高原、黄河中游特有的民居形式.如图,某窑洞口的截平面下部为矩形EFGH ,上部为抛物线的一部分.已知下部矩形的长EF为4米,宽HE 为2米,窑洞口的最高点P离地面EF 的距离为4米.
（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，P 点的坐标为______;
（2）求（1）中所建坐标系中抛物线的表达式;
（3）若在窑洞口的上部安装一个矩形窗户ABCD （窗户的边框忽略不计）,使得点A,B在下部矩形的边上,点C,D在抛物线上,且AB=2BC ,则这个窗户的宽BC 为多少米?
【变式1】一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：
(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；
(2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
(3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到）
【题型五】 其他问题
【例题】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表
刹车时车速（千米/时）
刹车距离（米）
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
(2)结合图象，当前方障碍物与车的距离为米时，为了人与车的安全，此时该车的车速最高为________千米/时（保留整数）；
(3)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
(4)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为米，已知这条高速公路限速千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
【变式2】（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征．
【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）．
为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解．
(1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值；
(2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系；
(3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值．
【变式2】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践
“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）．
(1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为．
①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式；
②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
(2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度．
【变式3】某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，：时该桥梁上车辆共计辆，累计驶入车辆数(单位：辆)与累计驶出车辆数(单位：辆)随统计时间(单位：)变化的结果如表所示：
统计时间
累计驶入车辆数辆
累计驶出车辆数辆
在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数与之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数与之间看作一次函数关系．
(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？
(3)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始分钟时(即：时)，交通事故解除，驶出桥梁的车辆每增加辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？
【课后作业】
1.
在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设．
(1)若围成花园的面积为，求的值．
(2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？
2.
（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（ ）
A．1米 B． 2米 C．3米 D．4米
3.
如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ．
4. 已知，如图正方形的边长为，点是边上一个动点（不与，重合），连接，过点作交于点，设，．求与间的函数关系式，并求的最大值．
5. 随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价x超过14元/kg时，此农产品下市不再销售．
（1）当x≥10时，求日销售数量y关于销售单价x的函数关系式；
（2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润．
【思路点拨】（1）依据题意，当x≥10时，设日销售数量y关于销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），又图象过（10，50），（14，42），则，从而计算可以得解；
（2） 依据题意，设日销售利润为W元，单件利润为（x﹣5）元/千克，可分两段讨论，从而可以计算得解．
6. (24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数，设公司获得的总利润为元．（提示：总利润=每件利润×销售量）
(1)求与之间的函数关系式；
(2)根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？
(3)若总利润为元时，销售单价是多少？
7. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
8. 2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知：
①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：；
②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米；
③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度．
(1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式；
(2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号）
(3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？
9. (24-25九上·广东惠州惠东县·期中)综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．
【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）
【解决问题】
(1)大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式；
(2)探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围；
(3)拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值．
10. (24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)根据以下素材，探索完成任务．
素材1
随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2
该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1
该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2
当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？
11. 我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一
租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
材料二
某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆．
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；
租用B型客车，租车费用打八折．
材料三
租车公司最多提供10辆A型客车；
学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少?
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