精品解析：江苏盐城市东台市第一教育联盟2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测数学试题

江苏省盐城市东台市第一教育联盟2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测 数学试卷 （满分：120分，考试用时：100分钟，考试范围：第一章结束） 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 4. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 5. 在如图所示的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 6. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知和都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，在中，，，点D为的中点，则_____． 10. 如图，，点在线段上，，，则________． 11. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 12. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 13. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 14. 如图，中，，平分交于点D，，，则的面积是___________． 15. 如图，在中，是的角平分线，于点，若的面积等于，，，则_____． 16. 在平面内，到三边距离相等的点有_____________个． 三、解答题（共10题，共72分） 17. 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 已知：如图，是内一点． 求证：． 19. 如图，在和中，，E，F分别是对角线 ，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长 ． 20. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 21. 如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． （1）求证：． （2）已知，，则的长为__________． 22. 如图，在和中，，，，线段与线段相等吗？请说明理由． 23. 如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 24. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 25. 如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． （1）吗？说明理由； （2）若的周长为，cm，求长． 26. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省盐城市东台市第一教育联盟2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测 数学试卷 （满分：120分，考试用时：100分钟，考试范围：第一章结束） 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分别对A、B、C、D各选项的线段进行判断即可得答案． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形，故A错误． B、∵， ∴不能组成三角形，故B错误． C、∵， ∴不能组成三角形，故C错误． D、∵， ∴能组成三角形，故D正确． 2. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】解：根据题意，是符合题意的． 3. 如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 4. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具．现只能拿能两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：拿①②或②④可以根据“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 5. 在如图所示的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】A 【解析】 【分析】分别以为公共边或以为公共边，找出与有一条公共边且全等的所有格点三角形即可． 【详解】解：如图，以为公共边且与全等的三角形是； 以为公共边且与全等的三角形有； 此外，没有以为公共边且满足条件的三角形， ∴与有一条公共边且全等的格点三角形有4个． 6. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 7. 如图所示，已知和都是等边三角形，下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键； 由可证明，从而可判断①正确；证明得，结合可判断⑤正确；由得，当时，，从而，否则，可判断②错误；由⑤及可判断③正确；分别是△和△的外角，结合，，可得，进而判断④正确． 【详解】解：①和都是等边三角形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ⑤， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， △是等边三角形， 故结论⑤正确； ②∵， ∴， 当时，， ∴， 当不垂直时，， ∴， 故结论②错误； ③△是等边三角形， ， ， ， 故结论③正确； ④是△和△的外角， ， 又， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④⑤，共4个． 故选：． 8. 已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】①连接，利用等边对等角，即可证得：，；则，据此即可求解； ②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断； ③首先证明，则，； ④证明且，即可证得是等边三角形； 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故④正确 ∴正确的结论有：①③④． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，在中，，，点D为的中点，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记直角三角形斜边中线性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵，点为的中点， ， 故答案为：7． 10. 如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 11. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定添加条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 12. 如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】观察图形可知所在的三角形为等腰直角三角形，故；通过证明，得出与相等，结合直角三角形两锐角互余可得，从而求解 ． 【详解】 解：设小正方形的边长为1 如图， 在中，，，  是等腰直角三角形．  ． 在和中， ， ．  ． 在中，， ． ． 13. 如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 【答案】18 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ． 14. 如图，中，，平分交于点D，，，则的面积是___________． 【答案】18 【解析】 【分析】作于点，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分，， ∴， ∴． 15. 如图，在中，是的角平分线，于点，若的面积等于，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，利用角平分线的性质得到，再根据的面积等于与的面积之和列式计算即可． 【详解】解：过点作于， ∵是的角平分线，， ∴， ∴，即， 解得． 16. 在平面内，到三边距离相等的点有_____________个． 【答案】4 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：如图，外角平分线的交点共有3个，内角平分线的交点有1个， 所以到三边距离相等的点共有个． 三、解答题（共10题，共72分） 17. 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路的距离相等，在内部确定车站的位置点P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P的位置． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，到两个村庄C，D的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，到两条公路的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】略 18. 已知：如图，是内一点． 求证：． 【答案】 证明：延长BP交AC于点D， 在△ABD中，PB+PD＜AB+AD① 在△PCD中，PC＜PD+CD② ①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD， 即PB+PC＜AB+AC， 即：AB+AC＞PB+PC． 【解析】 【详解】试题分析：首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论． 试题解析：略 19. 如图，在和中，，E，F分别是对角线 ，的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长 ． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵，E是对角线的中点， ∴，， ∴， ∵F是对角线的中点， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质． （1）连接，，利用直角三角形斜边中线定理得到，，由上述结论可知，得到是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一性质得到； （2）根据，先求出和的长度，由根据三角形两内角之和等于另一个角的外角，得到，随即判断出的形状，最后可求得的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵，E是对角线的中点，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 20. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 21. 如图，为的角平分线，点E在的延长线上，，连接． （1）求证：． （2）已知，，则的长为__________． 【答案】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）1 【解析】 【分析】（1）利用三角形的角平分线的定义以及即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 22. 如图，在和中，，，，线段与线段相等吗？请说明理由． 【答案】解：相等，理由如下： ， ， 即， 在和中， ，，， ， ． 【解析】 【分析】利用证明三角形全等，三角形全等对应的边相等． 【详解】略 23. 如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 【答案】3 【解析】 【分析】设，先证明得到，，再证明得到，进而列方程求得x的值即可． 【详解】解：设, 是角平分线，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ∴， ∵，， ∴，解得 即． 24. 如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 25. 如图，中，的垂直平分线交于点F，交于点E，且，连接． （1）吗？说明理由； （2）若的周长为，cm，求长． 【答案】（1）解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证； （2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：的周长为， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又， ， 即， 长为． 26. 数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）60 【解析】 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $