专题11 反比例函数的应用（10大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题11 反比例函数的应用 题型01 物理学科中的应用（电阻） 题型02 物理学科中的应用（压强） 题型03 物理学科中的应用（密度） 题型04 物理学科中的应用（做功） 题型05 反比例函数应用之分段函数 题型06 反比例函数应用之视力问题 题型07 反比例函数应用之温度问题 题型08 反比例函数应用之几何面积问题 题型09 反比例函数应用之行程问题 题型10 物理学科中的应用（杠杆） ▌题型01 物理学科中的应用（电阻） 【典例1】当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． (1)写出用电阻表示电流的函数表达式． (2)某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是多大？ (3)某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是多大？ (4)如果电路中有一滑动变阻器，怎样操作才能使电路中的电流I随电阻R的减小而逐渐增大？ 【变式1-1】一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【变式1-2】家庭电路电压U恒为，用电器功率，电阻，满足． (1)写出关于的函数解析式； (2)若电阻取值范围为，求功率变化范围． 【变式1-3】图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． ▌题型02 物理学科中的应用（压强） 【典例1】工人师傅要在刚刚浇注过的水平水泥地面上进行作业，为了不破坏地面，常常要在地面上铺垫一些木板．某工人的重力是，不计木板的重力． (1)写出用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式． (2)如果此工人站立时双脚与地面的接触面积约是，那么他对地面的压强约是多大？ (3)如果木板的面积是，此工人站在木板上对地面的压强是多大？ (4)为什么工人师傅铺垫木板后，地面就不容易被破坏？请说明理由． 【变式1-1】在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【变式1-2】探究某物理实验小组研究气体的压强p（单位：）与体积V（单位：）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据如表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 体积 20 18 16 14 12 10 压强 100 112 123 145 163 201 回顾“探究”，回答以下问题： (1)表中的有些数对只能近似满足函数解析式（），即如图中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ (2)结合“探究”和问题（1）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤． 【变式1-3】某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ ▌题型03 物理学科中的应用（密度） 【典例1】气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ 【变式1-1】【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-2】某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式1-3】浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． ▌题型04 物理学科中的应用（做功） 【典例1】在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示． (1)当力F为时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【变式1-1】某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【变式1-3】在功W（单位：J）一定的条件下，功率P（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，P与t之间的函数关系如图所示．当60≤t≤80时，P的整数值可以是　 　 ．（写出一个满足条件的值即可） ▌题型05 反比例函数的应用之分段函数 【典例1】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【变式1-1】生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示时温度降到的时刻． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟________小时，能满足上述要求． 【变式1-2】多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 【变式1-3】研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线 上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学 生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． ▌题型06 反比例函数的应用之视力问题 【典例1】已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【变式1-1】根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 【变式1-2】近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式； (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距． 【变式1-3】综合与实践：在有限的空间内检测视力问题． 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的书房． （1）如图1，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离平面镜ABEF　 　 米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力值V和该行字母E的长度a之间的关系是一种函数模型，字母E的长度a如图2所示，视力表上部分视力值V和字母E的长度a的部分对应数据如下表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的长度a（说明理由），并求出视力值V与字母E长度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的长度a的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ ▌题型07 反比例函数应用之温度问题 【典例1】如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【变式1-1】老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【变式1-2】教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【变式1-3】小琪新购买了一台智能冰箱，通过搜集相关资料，她得到如下数据： ①图1是某品牌冰箱，耗电功率为0.2千瓦．当冷冻室温度为﹣4℃时，冰箱压缩机运行；当温度下降到﹣20℃时，停止运行，温度上升；当温度上升到﹣4℃时，冰箱压缩机再次运行，如此循环； ②冰箱冷冻室温度y（℃）与时间x（min）的关系如图2所示．当0≤x≤4时，一次函数的解析式为　 　；当4≤x≤t时，y是x的反比例函数，解析式为　 　． ③冰箱每天的耗电量（度）＝耗电功率（千瓦）×每天的运行时间（小时）．该冰箱的广告中声称：每天耗电不超过1度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？请说明理由．（忽略特殊情况的耗电量） ▌题型08 反比例函数应用之几何面积问题 【典例1】在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．设矩形的相邻两边长分别为x，y． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【变式1-1】矩形的面积为20，则长y与宽x的函数关系式为 ． 【变式1-2】如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙和一段栅栏围了一个矩形空地，面积为60m2，设与墙垂直的边 的长度为xm，与墙平行的边的长度为ym． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）现有两种方案：x＝5或x＝6，试选择合理的设计方案，并求此栅栏的总长． 【变式1-3】乡村振兴战略推进中，某地依托北斗导航技术优化农田规划，技术员用边长为1的正方形定位模块拼出五连格L形测量组件，用于直角三角形高标准农田片区ABC的边界校准，其中∠C＝90°，∠B＝30°，测量组件的顶点D、E、F、G恰好贴合农田三边（如图1），为精准测算种植面积提供数据支持． （1）基础问题：请求出这块直角三角形高标准农田的面积． （2）问题提出与解决： 技术员将L形测量组件接入北斗定位坐标系，让农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（x＜0）的图象经过测量组件顶点D，试求该反比例函数的解析式，为定位数据传输提供基础模型． ▌题型09 反比例函数应用之行程问题 【典例1】汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【变式1-1】今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【变式1-2】“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【变式1-3】某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． (2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． (3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． ▌题型10 物理学科中的应用（杠杆） 【典例1】如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【变式1-1】古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（　　） A．F B．F C．F D．F 【变式1-2】如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【变式1-3】“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由 木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤组、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100cm 的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂 一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧 秤的示数y（N）是关于x（cm）（弹簧秤与中点O的距离）的反比例函数．已知当x＝20时，y＝30． （1）求y关于x的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值； （3）若弹簧秤的最大量程是100N，求x的取值范围． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 反比例函数的应用 题型01 物理学科中的应用（电阻） 题型02 物理学科中的应用（压强） 题型03 物理学科中的应用（密度） 题型04 物理学科中的应用（做功） 题型05 反比例函数应用之分段函数 题型06 反比例函数应用之视力问题 题型07 反比例函数应用之温度问题 题型08 反比例函数应用之几何面积问题 题型09 反比例函数应用之行程问题 题型10 物理学科中的应用（杠杆） ▌题型01 物理学科中的应用（电阻） 【典例1】当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． (1)写出用电阻表示电流的函数表达式． (2)某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是多大？ (3)某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是多大？ (4)如果电路中有一滑动变阻器，怎样操作才能使电路中的电流I随电阻R的减小而逐渐增大？ 【答案】(1)（）． (2)． (3)． (4)减小滑动变阻器接入电路的电阻，可使电流随电阻的减小而逐渐增大． 【分析】（1）根据当电压一定时，电流与电阻成反比例列出函数表达式即可； （2）把代入函数表达式即可求出答案； （3）把代入函数表达式即可求出答案； （4）根据当电压一定时，电流与电阻成反比例进行解答即可． 【详解】（1）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例．某电路中的电压为． ∴（）； （2）解：当时，， 即某电烙铁的电阻为，接入电路后，通过它的电流是； （3）解：当时，，解得， 即某家用电器，当通过它的电流为时才能正常工作．这件家用电器的电阻是； （4）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例． ∴减小滑动变阻器接入电路的电阻，可使电流随电阻的减小而逐渐增大． 【变式1-1】一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 【答案】D 【分析】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 【变式1-2】家庭电路电压U恒为，用电器功率，电阻，满足． (1)写出关于的函数解析式； (2)若电阻取值范围为，求功率变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，即可得出关于的函数解析式； （2）根据反比例函数的图像与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 ． （2）解：由，得到 ， ∴随着的增大而减小， 当时，；当时，． ∴当时，． 【变式1-3】图为某电子秤的实物图，图为其工作电路图，其工作原理为：电源两端电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知：①可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）满足图所示的一次函数关系；②定值电阻，总电阻；③电路中的电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例；④当在电子秤上放置质量为的物体时，电流表显示电流为． (1)求可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间满足的函数关系式； (2)求电流（单位：）与总电阻（单位：）之间满足的函数关系式； (3)已知该电子秤正常工作的电流范围为（单位：），求该电子秤可称量物品的最大质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的一次函数解析式为，代入图3给出的两组坐标点，求解待定系数得到函数关系式． （2）设关于的反比例函数解析式为，先利用已知条件时的值，结合第一步得到的与的关系求出对应的，再计算总电阻，代入反比例式求解，得到与的函数关系式． （3）因为电流越大总电阻越小，越小则物体质量越大，所以取电流最大值，代入与的关系式求出最小总电阻，再减去得到对应的，最后代入与的关系式求出最大质量． 【详解】（1）解：设关于的一次函数为． 由图3可知，该函数过点和： 把代入， 得； 把和代入， 得， 解得． ∴函数关系式为：． （2）解：已知与成反比例，设（为定值，对应电源电压）． 当物体质量时，代入（1）的结论， 得， 总电阻， 此时． 将、代入反比例式， 得． ∴函数关系式为：． （3）解：由可知，随的增大而减小：电流越大，总电阻越小，由知，对应的物体质量越大， ∴最大质量对应电流最大值． 把代入， 得， 解得总电阻； 由， 得； 把代入， 得， 解得， ∴电子秤可称量的最大质量为． ▌题型02 物理学科中的应用（压强） 【典例1】工人师傅要在刚刚浇注过的水平水泥地面上进行作业，为了不破坏地面，常常要在地面上铺垫一些木板．某工人的重力是，不计木板的重力． (1)写出用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式． (2)如果此工人站立时双脚与地面的接触面积约是，那么他对地面的压强约是多大？ (3)如果木板的面积是，此工人站在木板上对地面的压强是多大？ (4)为什么工人师傅铺垫木板后，地面就不容易被破坏？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)铺垫木板后，工人对地面的压力大小不变，受力面积增大. 根据，压力一定时，受力面积越大，压强越小，因此地面不容易被破坏. 【分析】（1）根据压强、受力面积、压力之间的关系得到用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式； （2）将工人站立时双脚与地面的接触面积代入函数关系式即可求出压强； （3）把木板的面积代入函数关系式即可求出工人站在木板上时对地面的压强； （4）因为铺垫木板后，工人对地面的压力大小不变，受力面积增大，根据压强与受力面积之间的函数关系式即可解释地面不容易被破坏的原因． 【详解】（1）解：根据压强、受力面积、压力之间的关系可得：， 用受力面积表示此工人对地面压强的函数表达式为； （2）解：当工人站立时双脚与地面的接触面积约是， 工人对地面的压强为； （3）解：当工人站在面积为的木板上时， 对地面的压强是； （4）解：铺垫木板后，工人对地面的压力大小不变，受力面积增大， 根据，压力一定时，受力面积越大，压强越小， 地面不容易被破坏. 【变式1-1】在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 【变式1-2】探究某物理实验小组研究气体的压强p（单位：）与体积V（单位：）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据如表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 体积 20 18 16 14 12 10 压强 100 112 123 145 163 201 回顾“探究”，回答以下问题： (1)表中的有些数对只能近似满足函数解析式（），即如图中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ (2)结合“探究”和问题（1）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤． 【答案】(1)以往所学函数，变量对应值都精确满足解析式，对应点全部在函数图像上；本题是实验采集的实际数据，存在实验误差，数据仅近似符合函数关系，点不会完全落在函数图像上，函数是用来近似刻画变量的变化规律的 (2)建立函数模型解决实际问题一般步骤： ①收集实际问题中的变量对应数据； ②画出散点图，观察散点分布，判断变量间函数类型； ③确定函数模型，求出函数解析式； ④检验模型，看解析式和实际数据的吻合程度； ⑤利用这个函数模型分析、预测实际问题 【分析】（1）对比理论函数与实际实验数据的差别，理论题的数据严格满足式子，实际实验存在误差，只能近似符合函数； （2）按照本题从采集实验数据，画散点图，选函数类型，求解析式，检验，应用的完整流程，归纳建立函数模型的通用步骤． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ 【答案】(1) (2)120千帕 【分析】（1）设反比例函数为，将A点坐标代入求解即可； （2）把立方米代入计算即可． 【详解】（1）解：设反比例函数为， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：把立方米代入中，得千帕． ▌题型03 物理学科中的应用（密度） 【典例1】气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ 【答案】(1) (2) (3) (4) ①这些气体的体积增大时，密度变小；②． 【分析】（1）根据题意，结合密度公式可得函数表达式为； （2）把代入函数表达式求解即可； （3）把代入函数表达式求解即可； （4）根据列表，描点，连线即可画出函数图像；①根据函数图像即可解答；②根据图像以及反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，即函数表达式为． （2）解：当时，． 答：当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为． （3）解：当时，，解得：． 答：要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为的储气罐． （4）解：函数的图像是反比例函数在第一象限的一支， 列表： V …… 1 2 3 4 5 6 7 …… …… 7 1 …… 描点，连线如下： ①∵在第一象限，V增大，ρ减小， ∴这些气体的体积增大时，密度变小； ②∵容积不超过2m3，即， 当时，，且V越小，ρ越大， ∴，即把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度的范围为． 【变式1-1】【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ， ∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系， ∴，解得：， 由两种液体混合后密度公式可得： ， 解得：． 【变式1-2】某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 【变式1-3】浮力式密度计是测量液体密度的仪器（如图1），通常是一个密封的玻璃管，底部有重物，上部有刻度，把它放入液体中，它会竖直漂浮．密度计上与液面平齐的刻度为浸没深度h（单位：），且液体密度（单位：）是浸没深度h（单位：）的反比例函数．小明在家里制作简易浮力式密度计（如图2），经过测量与查阅资料得到浸没深度h与液体密度的对应关系（如下表）． 酒精 水 蜂蜜 浸没深度h（） 17.5 14 10 液体密度（） m 1 n (1)求出关于h的函数解析式； (2)________，________； (3)如果该简易密度计能竖直漂浮的最小浸没深度为，最大浸没深度为，求该密度计能测量的液体密度的范围． 【答案】(1) (2)0.8；1.4 (3) 【分析】（1）因为已知是的反比例函数，所以先设反比例函数的一般形式为，再将表格中水的、代入，求出常数，即可得到关于的函数解析式． （2）因为已经得到函数解析式，所以将酒精对应的代入解析式可求出，将蜂蜜对应的代入解析式可求出． （3）因为随的增大而减小，所以将最小浸没深度代入解析式得到最大密度，将最大浸没深度代入解析式得到最小密度，即可确定的范围． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把，代入，得， 解得， 反比例函数解析式为． （2）解：将酒精的浸没深度代入解析式，得， 将蜂蜜的浸没深度代入解析式，得； （3）解：当时，； 当时，， 该密度计能测量的液体密度的范围为． ▌题型04 物理学科中的应用（做功） 【典例1】在力F（单位：N）的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），则力F所做的功W（单位：J）满足．当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示． (1)当力F为时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将图像上点的坐标代入公式，直接计算功W即可； （2）把定值功代入公式变形，写出s关于F的反比例函数解析式并注明自变量范围即可； （3）根据位移小于列出不等式，结合求解出力的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可知，当时， ∴； （2）解：∵且， ∴； （3）解：由题意得，即 ， 解得． 【变式1-1】某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的表达式特征排除错误选项，通过待定系数法计算比例系数，验证后确定函数解析式． 【详解】解：∵功率与做功时间近似存在反比例函数关系， ∴设函数解析式为（为常数，）， ∵选项中的函数为正比例函数形式，不符合反比例关系， ∴排除， 将，代入，得， ∴函数解析式为，对应选项，代入其余各组值验证，计算所得值均与实验值近似相符． 【变式1-2】汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【分析】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 【变式1-3】在功W（单位：J）一定的条件下，功率P（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，P与t之间的函数关系如图所示．当60≤t≤80时，P的整数值可以是　 　 ．（写出一个满足条件的值即可） 【分析】先求出反比例函数的解析式，根据增减性，求出P的范围即可． 【解答】解：由题意P 把（40，30）代入，得W＝30×40＝1200， ∴P， ∴当t＝60时，P20，当t＝80时，P15， ∴当60≤t≤80时，15≤P≤20， ∴P的值可以是18， 故答案为：18． ▌题型05 反比例函数的应用之分段函数 【典例1】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【答案】(1)6 (2)线段的函数关系式为，双曲线的函数关系式为 (3)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题 【分析】本题结合分段函数的图像性质分步求解，先根据图像给出的特殊点坐标求出各段函数解析式，再通过等式计算即可． （1）分别计算第6分钟和第30分钟对应的注意力指数数值，比较两个数值的大小即可； （2）根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式； （3）分别在段和段计算注意力指数的时间点，再求得时长，将该时长与需要讲题的15分钟进行比较即可． 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中； （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为； （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 【变式1-1】生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示时温度降到的时刻． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟________小时，能满足上述要求． 【答案】(1)， (2)小时 (3) 【分析】（）利用待定系数法求出函数的解析式，再根据题意求出自变量取值范围即可； （）分别求出段和段温度为的时刻，再相减即可； （）求出温度不低于的时间，进而即可求解． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为， 将和代入，得， 解得， ∴线段的函数解析式为， 设双曲线的函数解析式为， 将代入，得， ∴， 当时，， ， 段的函数解析式为； （2）解：令， 解得， 段温度为 时刻为时， 令， 解得， ∴段温度为 的时刻为时， ∵（小时）， ∴大棚在时内，温度不低于 的时长为小时； （3）解：由题意知，日出时间为时，大棚气温是，符合要求， 由（）得，时后，大棚气温低于 ， ∴符合要求的时间只有（小时）， ∴至少需要推迟（小时）． 【变式1-2】多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案； （2）结合所求解析式，把代入求出答案． 【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 【变式1-3】研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【分析】（1）设出反比例函数的解析式，根据图中数据用待定系数法求解析式即可； （2）求出AB解析式，得到y≥36时，x，由反比例函数y可得y≥36时，x≤25，根据2515，即可得到答案． 【解答】解：（1）设反比例函数的关系式为y（20≤x≤45）， 由图知，反比例函数过点C（20，45）， 代入解析式得45 解得k＝900， ∴反比例函数的关系式为y， 当x＝45时，y20， 故A点对应的指标值为20； （2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得： ， 解得， ∴AB的解析式为yx+20， 当y≥36时，x+20≥36，解得x， 由（1）得反比例函数的解析式为y， 当y≥36时，36，解得x≤25， ∴x≤25时，注意力指标都不低于36， 而2515， ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． ▌题型06 反比例函数的应用之视力问题 【典例1】已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 【变式1-1】根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 【答案】20 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，利用待定系数法求出的值，将值代入求解即可． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数， ∴设该函数为， 将，代入，得， 解得， ， 当时，，解得． 【变式1-2】近视眼镜镜片的度数（单位：度）是关于镜片焦距（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示． (1)求近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式； (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距． 【答案】(1) (2)其焦距为0.2米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数为， 由图象可知，图象经过点，即当时，， 代入得：， 解得， ∴近视眼镜镜片的度数关于镜片焦距的函数解析式为； （2）解：将代入得： ， 解得， ∴其焦距为0.2米． 【变式1-3】综合与实践：在有限的空间内检测视力问题． 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务； 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的书房． （1）如图1，若将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离平面镜ABEF　1.2　 米处； （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力值V和该行字母E的长度a之间的关系是一种函数模型，字母E的长度a如图2所示，视力表上部分视力值V和字母E的长度a的部分对应数据如下表所示： 位置 视力值V a的值（mm） 第1行 0.1 70 第5行 0.25 28 第8行 0.5 14 第14行 2 3.5 ①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的长度a（说明理由），并求出视力值V与字母E长度a之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母E的长度a的值12.5mm，请问该行对应的视力值是多少？ 【分析】（1）由轴对称的性质即可得到答案． （2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式． ②把a＝12.5，代入V，即可得到答案． 【解答】解：（1）5﹣3.8＝1.2（米）， ∴测试线应画在距离墙ABEF1.2米处， 故答案为：1.2． （2）①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7， ∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系． 设V， 把a＝70，V＝0.1，代入得到k＝7， ∴视力值V与字母宽度a的函数关系是V． ②把a＝12.5，代入V，得V＝0.56， ∴该行对应的视力值是0.56． ▌题型07 反比例函数应用之温度问题 【典例1】如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 【变式1-1】老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 【变式1-2】教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【详解】（1）略 （2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）略 【变式1-3】小琪新购买了一台智能冰箱，通过搜集相关资料，她得到如下数据： ①图1是某品牌冰箱，耗电功率为0.2千瓦．当冷冻室温度为﹣4℃时，冰箱压缩机运行；当温度下降到﹣20℃时，停止运行，温度上升；当温度上升到﹣4℃时，冰箱压缩机再次运行，如此循环； ②冰箱冷冻室温度y（℃）与时间x（min）的关系如图2所示．当0≤x≤4时，一次函数的解析式为y＝﹣4x﹣4　 ；当4≤x≤t时，y是x的反比例函数，解析式为　　 ． ③冰箱每天的耗电量（度）＝耗电功率（千瓦）×每天的运行时间（小时）．该冰箱的广告中声称：每天耗电不超过1度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？请说明理由．（忽略特殊情况的耗电量） 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先判断，然后根据题意和题目中的数据，可以计算出每天的耗电量，再与1比较大小即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设一次函数的解析式为y＝kx+b； 把（0，﹣4）和（4，﹣20）代入得 ， 解得， y＝﹣4x﹣4； 当4≤x≤t时，y是x的反比例函数，设解析式为y， 把（4，﹣20）代入得k＝﹣80， 解析式为； 故答案为：y＝﹣4x﹣4；； （2）每天耗电不超过1度电符合实际， 理由：将y＝﹣4代入，可得， 解得x＝20， 即每20分钟，运行4分钟， ∴该冰箱的每天耗电量为： （千瓦时）， ∵， ∴每天耗电不超过1度电符合实际． ▌题型08 反比例函数应用之几何面积问题 【典例1】在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．设矩形的相邻两边长分别为x，y． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的面积相等得出答案； （2）当时求出x，再结合可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 即； （2）解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象位于第一象限，且函数值y随着x的增大而减小． 当时，， 解得， ∴当时，． 【变式1-1】矩形的面积为20，则长y与宽x的函数关系式为 ． 【分析】根据矩形的面积公式可得，进而可得． 【解答】解：由题意得：，则． 【变式1-2】如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙和一段栅栏围了一个矩形空地，面积为60m2，设与墙垂直的边的长度为xm，与墙平行的边的长度为ym． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）现有两种方案：x＝5或x＝6，试选择合理的设计方案，并求此栅栏的总长． 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝60，变形后即可得出结论； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x＝5和x＝6时的y值，结合墙长11m，即可得出应选x＝6的设计方案，再将其代入2x+y中即可求出此栅栏的总长． 【解答】解：（1）依题意得：xy＝60， ∴y与x的函数关系式为y． 故答案为：y． （2）当x＝5时，y12， ∵12＞11， ∴不符合题意，舍去； 当x＝6时，y10， ∵10＜11， ∴符合题意，此栅栏总长为2x+y＝2×6+10＝22． 答：应选择x＝6的设计方案，此栅栏总长为22m． 【变式1-3】乡村振兴战略推进中，某地依托北斗导航技术优化农田规划，技术员用边长为1的正方形定位模块拼出五连格L形测量组件，用于直角三角形高标准农田片区ABC的边界校准，其中∠C＝90°，∠B＝30°，测量组件的顶点D、E、F、G恰好贴合农田三边（如图1），为精准测算种植面积提供数据支持． （1）基础问题：请求出这块直角三角形高标准农田的面积． （2）问题提出与解决： 技术员将L形测量组件接入北斗定位坐标系，让农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（x＜0）的图象经过测量组件顶点D，试求该反比例函数的解析式，为定位数据传输提供基础模型． 【分析】（1）解直角三角形FCG，求出CF，CG，解直角三角形ADG，求出AG的长，进而求出AC的长，进而求出BC的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）过D作DE⊥x轴于点E，证明△BAO∽△CBF，△ADE∽△BAO，进而求出D点坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式即可． 【解答】解：（1）如图所示： 由题意知GD＝2，GF＝4，GF∥AB，∠B＝30°， ∴∠CFG＝∠B＝30°，∠A＝60°， ∴，， ∴，， ∴， ∴此直角三角形的面积为； （2）农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（x＜0）的图象经过测量组件顶点D， 如图所示：过D作DE⊥x轴于点E， 由题意知，AB＝1，AD＝4，CF＝1，BF＝3， ∠DAB＝∠ABF＝∠CFB＝∠AOB＝∠DEA＝90°， ∴， ∵∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠CBF， ∴∠BAO＝∠CBF， ∴△BAO∽△CBF， ∴，即， 解得，， 同理△ADE∽△BAO， ∴， 即， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． ▌题型09 反比例函数应用之行程问题 【典例1】汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行驶时速度不超过100千米/小时），、的一组对应值如下表： （千米/小时） 40 50 60 75 80 （小时） 7.50 6.00 5.00 4.00 3.75 (1)根据表中的数据，可以将与看成 函数关系，其函数表达式为 ； (2)汽车上午从甲地出发，请通过计算说明在上午之前能否到达乙地． 【答案】(1)反比例， (2)不能到达乙地 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系， 设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵11时30分9时（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行驶时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【变式1-1】今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【答案】(1) (2)学生步行的平均速度至少为 (3)②③ 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 【变式1-2】“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 【变式1-3】某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． (2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． (3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 【答案】(1)； (2)不能， ∵从 到 总时间为 ， ，提前到达需要的半小时为 ， ∴可用于行驶的时间为 ， 当 时，所需行驶时间 ， ， 小芳不能在预定的时间内到达火车站； (3) 【分析】（1）根据表格数据判断 与 满足反比例关系，用待定系数法求出函数解析式，再结合 的限制得到自变量 的取值范围； （2）先计算出小芳可用于行驶的总时间，再求出平均速度为 时所需的行驶时间，比较后判断是否能按时到达； （3）利用反比例函数的性质，当 在给定范围内时，计算得到对应 的取值范围． 【详解】（1）观察表格数据可知 与 的乘积为定值， ∴设，     将 ， 代入得 ， 由题知 ， ∴ ， 解得 ， ∴平均速度 关于行驶时间 的函数解析式为 ； （2）略； （3）， ∴当 时， 随 的增大而减小， ∵ ， ， 即 ． ▌题型10 物理学科中的应用（杠杆） 【典例1】如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】(1)反比例函数，； (2)解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【分析】（1）根据表格数据可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）略． 【变式1-1】古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（　　） A．F B．F C．F D．F 【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案． 【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴1200×0.5＝Fl，整理得：， 故选：B． 【变式1-2】如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 【变式1-3】“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤组、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长100cm的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点O的距离保持不变时，弹簧秤的示数y（N）是关于x（cm）（弹簧秤与中点O的距离）的反比例函数．已知当x＝20时，y＝30． （1）求y关于x的函数表达式； （2）移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值； （3）若弹簧秤的最大量程是100N，求x的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和x的取值范围计算即可； （3）根据题意列不等式并求其解集即可． 【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y（k为常数，且k≠0）， 将x＝20，y＝30代入y， 得30， 解得k＝600， ∴y关于x的函数表达式为y． （2）100÷2＝50（cm）， ∴0≤x≤50， ∵600＞0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝50时y值最小，y最小12． 答：弹簧秤的示数y的最小值为12N． （3）根据题意，得100（0≤x≤50）， 解得x≥6， ∵0≤x≤50， ∴6≤x≤50． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $