专题10 正多边形和圆十大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

专题10 正多边形和圆十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求正多边形中心角 题型02 求正多边形的边数 题型03 正多边形与圆中求角度 题型04 正多边形与圆中求面积 题型05 正多边形与圆中求周长 题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 题型07 正多边形与圆中求最值 题型08 尺规作图-正多边形 题型09 正多边形与圆中的规律问题 题型10 多边形与圆中的证明 ▌题型01 求正多边形中心角 1. 中心角定义：正 n 边形外接圆的圆心角，相邻两个顶点与圆心连线的夹角。 2. 核心公式：（为正多边形边数，）。 3. 拓展：正多边形中心角 = 外角； 4. 思路：已知边数直接套公式；若已知内角，可先求外角再求中心角。 【典例1】正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 【变式1-1】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．连接、，根据圆周角定理得到，即可得出答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接、， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1-2】若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（    ） A．45° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】根据正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，由已知边长与半径相等，可知一边所对的圆心角为，即得答案． 【详解】解：如图所示的正多边形中， ， 为等边三角形， ， 这个正多边形的中心角为． 故选B． 【点睛】此题主要考查正多边形的中心角概念，正确理解题意与中心角概念相结合是解此题的关键． 【变式1-3】如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指 南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图② 中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． 【答案】45 【分析】本题主要考查了正多边形的中心角，解题的关键是掌握中心角公式． 根据正多边形的中心角公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴正八边形的中心角为， 故答案为：． ▌题型02 求正多边形的边数 1. 已知中心角：； 2. 已知外角：； 3. 已知内角：先求外角 ，再 ； 4. 内角公式：正边形每个内角，列方程求解。 5. 注意：一定是大于等于 3 的正整数。 【典例2】如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 【变式1-1】一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 【答案】十二/12 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得． 【详解】解：∵正多边形的中心角是， ∴边数为， ∴这个多边形是正十二边形． 【变式1-2】如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 【变式1-3】如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． 【答案】十二 【详解】解：设正多边形的外接圆为，连接，． ， ， 而， ∴这个正多边形为正十二边形． ▌题型03 正多边形与圆中求角度 1. 基础角度公式 · 中心角： · 内角： · 外角： 2. 正多边形外接圆中，利用圆周角定理：圆周角 =对应圆心角（中心角）。 3. 常用工具：三角形内角和、等腰三角形（半径相等）、多边形内角和。 4. 做题思路：优先算出中心角，再推导圆周角、内角、夹角。 【典例3】如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 【变式1-1】如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的性质求和的度数，再根据是的中点求，进而求的度数，最后根据圆周角定理可得． 【详解】解：连接． ∵六边形是正六边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的相关计算是解题关键． 【变式1-2】如图，点O为正八边形的中心，则．的度数为___________． 【答案】 【分析】连接，根据正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：作正八边形的外接圆，连接，如图： ∴，F、O、B共线， 由圆周角定理得： ． 【变式1-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，连接AC，点F是的中点，过点D作⊙O的切线与AF的延长线相交于点G． （1）试判断AC与DG的位置关系，并说明理由． （2）求∠G的度数． 【答案】（1）AC∥DG，（2）22.5°． 【分析】（1）如图，连接OD，根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，根据切线的性质得到OD⊥DG，∠ODG＝90°，根据平行线的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，DA＝DC，求得∠CAD＝45°．根据平行线的自己看得到结论． 【详解】解：（1）AC∥DG， 理由：连接OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∵DG与⊙O相切于点D， ∴∠ODG＝90°， ∴∠AOD＝∠ODG， ∴AC∥DG； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，DA＝DC， ∴∠CAD＝45°． ∵点F是的中点， ∴， ∴∠CAF＝∠FAD＝22.5°， ∵AC∥DG， ∴∠G＝∠CAF＝22.5°． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． ▌题型04 正多边形与圆中求面积 1. 核心思想：正边形可以分割成n 个全等的等腰三角形，顶点都在圆心。 2. 面积公式：。 3. 拆分法：，单个等腰三角形面积。 4. 已知外接圆半径：把等腰三角形拆成两个全等直角三角形（为斜边，边心距、半边长为直角边），用勾股、三角函数求边长、边心距再算面积。 【典例4】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【答案】 【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为， 连接、， 过点作于点 多边形是正六边形 ， 是等边三角形 在中，由勾股定理得： 正六边形的面积为： ． 【变式1-1】如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C． 【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，根据三角形内角和定理可得∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，所以∠FEG＝90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而可以解决问题． 【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形， ∴CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°， ∴∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°， ∴∠FEG＝90°， ∵EF＝4， ∴EGEF， ∴△GEF的面积EF•GE4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质． 【变式1-2】圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，中心角等知识点，熟练掌握圆与正多边形相关性质是解题的关键． 连接，交于点，先求出，，设，则为等腰直角三角形，由勾股定理可求，由求出的面积，再乘以8即为圆的内接正八边形的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得，， ∵， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得， 解得：（舍负）， ∴， ∴圆的内接正八边形的面积为， 故答案为：． 【变式1-3】如图，正方形的剪去四个角后成为一个正八边形． （1）若正八边形的边长为2，则剪去四个角的面积和为 　 　； （2）若正方形的边长为2，求正八边形边长． 【答案】（1）4； （2）2． 【分析】（1）设剪去三角形的直角边长x，利用正八边形的边长为2，根据勾股定理可得，三角形的直角边长，进而求出剪去四个角的直角三角形面积和； （2）利用求线段和的方式可得原正方形的边长． 【详解】解：（1）∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， 设剪去△ABC边长AC＝BC＝x，可得： x2+x2＝4， 解得：x， ∴四个直角三角形面积和4＝4； 故答案为：4； （2）设正八边形的边长为y，，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为y， ∵正方形的边长为2， ∴2， 解得y＝2， ∴正八边形的边长为2． 【点睛】本题考查了正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题． ▌题型05 正多边形与圆中求周长 1. 周长公式：，为边数。 2. 解题关键：先求出一条边长。 3. 求边长常用：把中心、两个相邻顶点构成等腰三角形，作边心距垂直平分边长，得到直角三角形：斜边 = 外接圆半径，一个锐角 =中心角。 【典例5】如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（    ）    A． B． C．3 D．18 【答案】D 【分析】连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长，即可得到周长． 【详解】解：连接、，如图：    的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， ∴正六边形的周长为18， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于，从而得到是等边三角形． 【变式1-1】如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是 ．（用含a的代数式表示） 【答案】2a＋2a 【分析】过点A作AH⊥BF，垂足为H，先证△ABF为等腰三角形，求出∠ABH的度数，用含a的代数式表示出AH、BH，然后利用等腰三角形的三线合一，矩形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：过点A作AH⊥BF，垂足为H，如图所示： ∵ABCDEF是正六边形， ∴，△ABF为等腰三角形， 正六边形的每个内角度数为：， ， ， ， ，则， ， ， 又，，， ∴四边形BCEF为矩形， ， 故答案为：2a＋2a． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，熟悉这些性质定理是解决问题的关键． 【变式1-2】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是（　　） A． B． C． D．6+12 【答案】C． 【分析】根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AF，DF即可． 【详解】解：如图，连接OA，OF，OD，过点O作OM⊥DF于点M，则FM＝DMDF， ∵点O是正六边形ABCDEF的中心， ∴∠AOF60°， ∵OA＝OF， ∴△AOF是正三角形， ∴AF＝OA＝6， 在Rt△FOM中，∠OFM＝90°﹣60°＝30°，OF＝6， ∴FMOF＝3， ∴DF＝2FM＝6， ∴四边形ACDF的周长是2AF+2DF＝12+12， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 【变式1-3】如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 　 ． 【答案】（1）见详解；（2）18． 【分析】（1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出∠OCD＝90°即可； （2）得出以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出BC的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵AC＝CCD， ∴∠OAC＝∠ODC＝30°， ∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 即OC⊥CD， 又∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠BOC＝60°， ∴以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∴BCAB＝3， ∴以BC为边的圆内接正六边形的周长为3×6＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． ▌题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 1. 重要直角三角形模型（必考）： 将正多边形的中心、一个顶点、一条边的中点相连，得到直角三角形： · 斜边：外接圆半径 · 一条直角边：边心距（内切圆半径） · 另一条直角边：边长的一半 · 锐角：中心角 2. 勾股关系： 3. 做题套路：找到这个直角三角形，已知其中一个，求另外两个。 【典例6】如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴为等边三角形， ∵的半径等于3，即， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 【变式1-1】生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm， 【答案】B． 【分析】根据正六边形的性质，边长等于半径R，可得R＝4cm，连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长． 【详解】解：依题意一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则R＝4cm， 连接AC，过B作BD⊥AC于D； ∵AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD＝CD； ∵此多边形为正六边形， ∴∠ABC120°， ∴∠ABD60°， ∴∠BAD＝30°，AD＝42， ∴a＝2AD＝4cm． 故选：B． 【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解． 【变式1-2】如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，，过作于点，由正六边形内接于，则，，所以，是等边三角形，然后通过弧长公式求出，由等边三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于点， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：． 【变式1-3】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝5，求⊙O的半径． 【答案】5． 【分析】首先连接OA、OD、OC，由等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边，可求得∠AOC，∠AOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：连接OB、OD、OC，如图所示： ∵等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边， ∴∠AOC360°＝120°，∠AOD360°＝30°， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°， ∵OC＝OD， ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC＝ODCD5， 即⊙O的半径为5． 【点睛】此题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键． ▌题型07 正多边形与圆中求最值 1. 常见考法：圆上动点到正多边形定点 / 定线段的最大、最小距离。 2. 圆上点到定点最值：过圆心的直线，最远点 = 圆心距 + 半径；最近点 =。 3. 正多边形顶点都在外接圆上，动点也在圆上时，两点最大距离为直径。 4. 求点到线段最值：垂线段最短，结合边心距、半径综合计算。 5. 思路：优先画出外接圆，利用圆的最值模型，结合正多边形边长、边心距、半径计算。 【典例7】如图，已知正六边形的边长是6，点P是上一动点，则的最小值是 ．    【答案】12 【分析】易知点B关于的对称点为点F，连接交于点P，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：利用正多边形的性质可得点B关于的对称点为点F，连接交于点P， 那么有，此时最小．    ∵六边形是正六边形，对角线交于P， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，轴对称的性质，掌握正六边形的性质以及轴对称路线最短问题的解题方法是正确解答的关键． 【变式1-1】如图所示，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接OE，设点E性质至y轴正半轴时为点E′，首先得到当点E旋转至y轴正半轴上时DE最小，然后分别求得AD、OE′的长，最后求得DE′的长即可． 【详解】如图，连接OE，设点E性质至y轴正半轴时为点E′ ∵OE+DE≥OD， ∴D、E、O三点在一条直线上时DE有最小值， ∵点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点， ∴OE′=OE=2， ∵点D为BC中点，△ABC为边长为2的等边三角形， ∴BD=BC=1，AD⊥BC， ∴AD==， ∵点A的坐标为（0，6）， ∴OA=6， ∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=6-2-=4-， ∴在此过程中DE的最小值为4-， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，正确得出DE有最小值时点E的位置是解题关键． 【变式1-2】如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作 ，垂足为，连接.则长的最小值为 . 【答案】 【分析】先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值. 【详解】如图，连接OA、OD，取AB的中点G，连接GF，CG， ∵ABCD是圆内接正方形，， ∴， ∴， ∵AF⊥BE， ∴， ∴， ， 当点C、F、G在同一直线上时，CF有最小值，如下图： 最小值是：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键． 【变式1-3】已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是 ． 【答案】4﹣2． 【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于4-2小于等于4，由此即可判断． 【详解】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线， 观察图象可知点B，M间的距离大于等于4-2小于等于4， ∴B，M之间距离的最小值是4-2． 故答案为4-2． 【点睛】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度． ▌题型08 尺规作图-正多边形 1. 原理：在圆上截取相等的弦，弦相等则对应的中心角相等。 2. 常考：正四边形（正方形）、正八边形；正六边形、正三角形、正十二边形。 3. 正六边形：半径 = 边长，以圆半径为长度，在圆周依次截取得六个顶点。 4. 正四边形：作圆两条互相垂直的直径，依次连接四个端点。 5. 拓展：已作出正 n 边形，作各段弧中点，可得到正 2n 边形。 6. 作图要点：保留作图痕迹（圆弧）。 【典例8】已如：⊙O与⊙O上的一点A （1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF； （2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形． 【详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作； （2）四边形BCEF为矩形．理由如下： 连接BE，如图， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∴， ∴， ∴， ∴BE为直径， ∴∠BFE=∠BCE=90°， 同理可得∠FBC=∠CEF=90°， ∴四边形BCEF为矩形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质． 【变式1-1】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 【变式1-2】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 【变式1-3】已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． ▌题型09 正多边形与圆中的规律问题 1. 常见类型：边数递增，求角度、周长、面积的递推规律。 2. 基础：每增加一倍边数，利用直角三角形模型计算新的边长、边心距。 3. 方法：算出前 2--3 组结果，观察数字，归纳通项公式。 4. 核心工具：中心角公式、直角三角形（）、三角函数。 5. 注意：看清求的是第 n 个图形的角度、边长还是面积。 【典例9】如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为 ． 【答案】 【分析】连接，，，根据正六边形的性质可得，则为等边三角形，再根据切线的性质得，于是可得，利用正六边形的边长等于它的半径可得正六边形的边长，同理可得正六边形的边长，依此规律求解即可． 【详解】解：连接，，，如图所示， 六边形为正六边形， ， 为等边三角形， 正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ， ， 正六边形的边长， 同理可得正六边形的边长， 正六边形的边长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，解题的关键在于利用正六形边的一边与圆的两条半径可构成特殊的三角形——等边三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一个正六边形的边长． 【变式1-1】如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，规律型，点的坐标，坐标与图形变化-旋转，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点D的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2025次后顶点D的坐标即可． 【详解】解：边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，连接，如图，      ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由中，由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∵将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转， ∴4次一个循环， ∵， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第一次旋转后得到的的坐标相同， ∵过点作轴于P， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标为， 故选：D． 【变式1-2】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数； （2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表： 正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形 ∠BQM的度数 　 　 　 　 　 　 … 　　 　　 【答案】（1）60°． （2）90°，108°，120°，． 【分析】（1）根据等边三角形的性质、SAS定理证明△ABM≌△BCN，根据三角形的外角的性质求出∠BQM； （2）仿照（1）的结论，计算即可． 【详解】解：（1）在△ABM与△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠NBC， ∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ， ＝∠NBC+∠ABQ ＝∠ABM＝60°， ∴∠AQN＝60°． （2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小， 所以正方形中∠AQN＝90°， 正五边形中∠AQN＝108°， 正六边形中∠AQN＝120°， … 正n边形中∠AQN． 故答案为：90°，108°，120°，． 【点睛】本题考查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-3】如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． ▌题型10 多边形与圆中的证明 1. 正多边形判定： ①各边相等，各内角相等的多边形是正多边形； ②圆内接多边形：各边相等 ⇒ 是正多边形； ③圆外切多边形：各切点等分圆周 ⇒ 多边形为正多边形。 2. 证明思路：证弦相等⇒弧相等⇒中心角相等；弧相等⇒弦相等。 3. 常用性质：同圆中，相等的圆心角对应相等弦、相等弧；圆周角定理。 4. 辅助线：连接圆心到各顶点（半径），构造等腰三角形。 5. 常考：证明多边形是正多边形、证明线段相等、角度相等。 【典例10】如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由（1）可知，， ． 根据圆周角定理可知，， ， ． 【分析】（1）运用圆周角定理，可求出和的度数，再运用三角形内角和即可求得的度数； （2）根据度数分别证明，，即可得证． 【详解】（1）解：是正五边形的外接圆， 根据圆周角定理可知，， ． （2）略 【点睛】本题考查了正多边形和圆的关系，解题关键是灵活运用圆周角定理． 【变式1-1】已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形． 【答案】证明见解析 【详解】试题分析：要求证五边形AEBCF是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可． 试题解析： 连接BF，CE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°． 又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F， ∴AF=CF，AE=BE， ∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°， ∴ ， ∴AE=AF=BE=BC=FC， ∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA． ∴五边形AEBCF为正五边形． 【变式1-2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C． ​（1）求证：矩形ABCD是正方形； （2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 　　 ． 【分析】（1）连接AC，证明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后证明AB＝CB，即可解决问题； （2）根据勾股定理求出OC＝2，进而可以求出正方形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴AC是⊙O的直径， ∵EF与⊙O相切于点C， ∴AC⊥EF， ∵OE＝OF， ∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC， ∴∠AOF＝∠AOE， ∵OA＝OA， ∴△AOF≌△AOE（SAS）， ∴AF＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAE＝90°， ∴ACEF＝CF＝CE， ∴∠CAE＝45°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∴AB＝CB， ∴矩形ABCD是正方形； （2）解：∵OCAC，AC＝CF， ∴CF＝2OC， ∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2， ∴102＝OC2+4OC2， ∴OC＝2， ∴ABOC， ∴AB2＝10， ∴正方形ABCD的面积是10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，矩形的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，解题关键是利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 【变式1-3】如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E． （1）求证：PA＝PD； （2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：． 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，根据线段中点的定义PB＝PC，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接OE，OA，根据正六边形的性质得到∠AOE，根据等边三角形的性质得到∠AEO＝60°，连接PO并延长交AD于H，连接OD，根据圆心角、弦、弧的关系即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， ∵点P是边BC的中点， ∴PB＝PC， 在△ABP与△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（SAS）， ∴PA＝PD； （2）连接OE，OA， ∵AE是以点O为中心的正六边形的一边， ∴∠AOE， ∵OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AEO＝60°， 连接PO并延长交AD于H，连接OD， ∵PA＝PD．OA＝OD， ∴PH⊥AD， ∴∠BAH＝∠PHD＝90°， ∴AB∥PH， ∴∠EOP＝∠AEO＝∠AOE＝60°， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 正多边形和圆十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求正多边形中心角 题型02 求正多边形的边数 题型03 正多边形与圆中求角度 题型04 正多边形与圆中求面积 题型05 正多边形与圆中求周长 题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 题型07 正多边形与圆中求最值 题型08 尺规作图-正多边形 题型09 正多边形与圆中的规律问题 题型10 多边形与圆中的证明 ▌题型01 求正多边形中心角 【典例1】【答案】C 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】【答案】45 ▌题型02 求正多边形的边数 【典例2】【答案】B 【变式1-1】【答案】十二/12 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】十二 ▌题型03 正多边形与圆中求角度 【典例3】【答案】D 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】（1）AC∥DG，（2）22.5°． 【分析】（1）如图，连接OD，根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，根据切线的性质得到OD⊥DG，∠ODG＝90°，根据平行线的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，DA＝DC，求得∠CAD＝45°．根据平行线的自己看得到结论． 【详解】解：（1）AC∥DG， 理由：连接OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∵DG与⊙O相切于点D， ∴∠ODG＝90°， ∴∠AOD＝∠ODG， ∴AC∥DG； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，DA＝DC， ∴∠CAD＝45°． ∵点F是的中点， ∴， ∴∠CAF＝∠FAD＝22.5°， ∵AC∥DG， ∴∠G＝∠CAF＝22.5°． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． ▌题型04 正多边形与圆中求面积 【典例4】【答案】 【变式1-1】【答案】C． 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】（1）4； （2）2． 【分析】（1）设剪去三角形的直角边长x，利用正八边形的边长为2，根据勾股定理可得，三角形的直角边长，进而求出剪去四个角的直角三角形面积和； （2）利用求线段和的方式可得原正方形的边长． 【详解】解：（1）∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， 设剪去△ABC边长AC＝BC＝x，可得： x2+x2＝4， 解得：x， ∴四个直角三角形面积和4＝4； 故答案为：4； （2）设正八边形的边长为y，，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为y， ∵正方形的边长为2， ∴2， 解得y＝2， ∴正八边形的边长为2． 【点睛】本题考查了正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题． ▌题型05 正多边形与圆中求周长 【典例5】【答案】D 【变式1-1】【答案】2a＋2a 【变式1-2】【答案】C． 【变式1-3】 【答案】（1）见详解；（2）18． 【分析】（1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出∠OCD＝90°即可； （2）得出以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出BC的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵AC＝CCD， ∴∠OAC＝∠ODC＝30°， ∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 即OC⊥CD， 又∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠BOC＝60°， ∴以BC为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∴BCAB＝3， ∴以BC为边的圆内接正六边形的周长为3×6＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． ▌题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 【典例6】【答案】B 【变式1-1】【答案】B． 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】 【答案】5． 【分析】首先连接OA、OD、OC，由等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边，可求得∠AOC，∠AOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：连接OB、OD、OC，如图所示： ∵等边△ABC内接于⊙O，CD为内接正十二边形的一边， ∴∠AOC360°＝120°，∠AOD360°＝30°， ∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°， ∵OC＝OD， ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC＝ODCD5， 即⊙O的半径为5． 【点睛】此题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键． ▌题型07 正多边形与圆中求最值 【典例7】【答案】12 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】【答案】4﹣2． ▌题型08 尺规作图-正多边形 【典例8】 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF； （2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形． 【详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作； （2）四边形BCEF为矩形．理由如下： 连接BE，如图， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∴， ∴， ∴， ∴BE为直径， ∴∠BFE=∠BCE=90°， 同理可得∠FBC=∠CEF=90°， ∴四边形BCEF为矩形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质． 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． ▌题型09 正多边形与圆中的规律问题 【典例9】【答案】 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】 【答案】（1）60°． （2）90°，108°，120°，． 【分析】（1）根据等边三角形的性质、SAS定理证明△ABM≌△BCN，根据三角形的外角的性质求出∠BQM； （2）仿照（1）的结论，计算即可． 【详解】解：（1）在△ABM与△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠BAM＝∠NBC， ∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ， ＝∠NBC+∠ABQ ＝∠ABM＝60°， ∴∠AQN＝60°． （2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小， 所以正方形中∠AQN＝90°， 正五边形中∠AQN＝108°， 正六边形中∠AQN＝120°， … 正n边形中∠AQN． 故答案为：90°，108°，120°，． 【点睛】本题考查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． ▌题型10 多边形与圆中的证明 【典例10】 【答案】(1) (2) 证明：由（1）可知，， ． 根据圆周角定理可知，， ， ． 【分析】（1）运用圆周角定理，可求出和的度数，再运用三角形内角和即可求得的度数； （2）根据度数分别证明，，即可得证． 【详解】（1）解：是正五边形的外接圆， 根据圆周角定理可知，， ． （2）略 【点睛】本题考查了正多边形和圆的关系，解题关键是灵活运用圆周角定理． 【变式1-1】 【答案】证明见解析 【详解】试题分析：要求证五边形AEBCF是正五边形，就是证明这个五边形的五条边所对的弧相等进而得出即可． 试题解析： 连接BF，CE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°． 又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F， ∴AF=CF，AE=BE， ∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°， ∴ ， ∴AE=AF=BE=BC=FC， ∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA． ∴五边形AEBCF为正五边形． 【变式1-2】 【分析】（1）连接AC，证明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后证明AB＝CB，即可解决问题； （2）根据勾股定理求出OC＝2，进而可以求出正方形ABCD的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴AC是⊙O的直径， ∵EF与⊙O相切于点C， ∴AC⊥EF， ∵OE＝OF， ∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC， ∴∠AOF＝∠AOE， ∵OA＝OA， ∴△AOF≌△AOE（SAS）， ∴AF＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAE＝90°， ∴ACEF＝CF＝CE， ∴∠CAE＝45°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°， ∴AB＝CB， ∴矩形ABCD是正方形； （2）解：∵OCAC，AC＝CF， ∴CF＝2OC， ∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2， ∴102＝OC2+4OC2， ∴OC＝2， ∴ABOC， ∴AB2＝10， ∴正方形ABCD的面积是10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，矩形的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，解题关键是利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 【变式1-3】 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，根据线段中点的定义PB＝PC，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接OE，OA，根据正六边形的性质得到∠AOE，根据等边三角形的性质得到∠AEO＝60°，连接PO并延长交AD于H，连接OD，根据圆心角、弦、弧的关系即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， ∵点P是边BC的中点， ∴PB＝PC， 在△ABP与△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（SAS）， ∴PA＝PD； （2）连接OE，OA， ∵AE是以点O为中心的正六边形的一边， ∴∠AOE， ∵OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AEO＝60°， 连接PO并延长交AD于H，连接OD， ∵PA＝PD．OA＝OD， ∴PH⊥AD， ∴∠BAH＝∠PHD＝90°， ∴AB∥PH， ∴∠EOP＝∠AEO＝∠AOE＝60°， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 正多边形和圆十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 求正多边形中心角 题型02 求正多边形的边数 题型03 正多边形与圆中求角度 题型04 正多边形与圆中求面积 题型05 正多边形与圆中求周长 题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 题型07 正多边形与圆中求最值 题型08 尺规作图-正多边形 题型09 正多边形与圆中的规律问题 题型10 多边形与圆中的证明 ▌题型01 求正多边形中心角 1. 中心角定义：正 n 边形外接圆的圆心角，相邻两个顶点与圆心连线的夹角。 2. 核心公式：（为正多边形边数，）。 3. 拓展：正多边形中心角 = 外角； 4. 思路：已知边数直接套公式；若已知内角，可先求外角再求中心角。 【典例1】正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（    ） A．45° B．60° C．90° D．120° 【变式1-3】如图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，其早在战国时期就已被发明，也是如今指 南针的前身．图②是其部分示意图，已知司南中心为圆形，圆心为O，根据八个方位将圆形八等分（图② 中点A~H）且顺次连接点A~H构成正八边形，则该正八边形的中心角为 度． ▌题型02 求正多边形的边数 1. 已知中心角：； 2. 已知外角：； 3. 已知内角：先求外角 ，再 ； 4. 内角公式：正边形每个内角，列方程求解。 5. 注意：一定是大于等于 3 的正整数。 【典例2】如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【变式1-1】一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 【变式1-2】如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【变式1-3】如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为______________． ▌题型03 正多边形与圆中求角度 1. 基础角度公式 · 中心角： · 内角： · 外角： 2. 正多边形外接圆中，利用圆周角定理：圆周角 =对应圆心角（中心角）。 3. 常用工具：三角形内角和、等腰三角形（半径相等）、多边形内角和。 4. 做题思路：优先算出中心角，再推导圆周角、内角、夹角。 【典例3】如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，点O为正八边形的中心，则．的度数为___________． 【变式1-3】如图，正方形ABCD内接于⊙O，连接AC，点F是的中点，过点D作⊙O的切线与AF的延长线相交于点G． （1）试判断AC与DG的位置关系，并说明理由． （2）求∠G的度数． ▌题型04 正多边形与圆中求面积 1. 核心思想：正边形可以分割成n 个全等的等腰三角形，顶点都在圆心。 2. 面积公式：。 3. 拆分法：，单个等腰三角形面积。 4. 已知外接圆半径：把等腰三角形拆成两个全等直角三角形（为斜边，边心距、半边长为直角边），用勾股、三角函数求边长、边心距再算面积。 【典例4】（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）． 【变式1-1】如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则△GEF的面积为（　　） A．2 B．3 C． D． 【变式1-2】圆的内接正方形边长为2，则该圆的内接正八边形的面积为 ． 【变式1-3】如图，正方形的剪去四个角后成为一个正八边形． （1）若正八边形的边长为2，则剪去四个角的面积和为 　 　； （2）若正方形的边长为2，求正八边形边长． ▌题型05 正多边形与圆中求周长 1. 周长公式：，为边数。 2. 解题关键：先求出一条边长。 3. 求边长常用：把中心、两个相邻顶点构成等腰三角形，作边心距垂直平分边长，得到直角三角形：斜边 = 外接圆半径，一个锐角 =中心角。 【典例5】如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为（    ）    A． B． C．3 D．18 【变式1-1】如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是 ．（用含a的代数式表示） 【变式1-2】如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是（　　） A． B． C． D．6+12 【变式1-3】如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延长AB到D，连接CD，AC＝CD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）以BC为边的圆内接正多边形的周长等于 　 ． ▌题型06 正多边形与圆中求边心距、边长 1. 重要直角三角形模型（必考）： 将正多边形的中心、一个顶点、一条边的中点相连，得到直角三角形： · 斜边：外接圆半径 · 一条直角边：边心距（内切圆半径） · 另一条直角边：边长的一半 · 锐角：中心角 2. 勾股关系： 3. 做题套路：找到这个直角三角形，已知其中一个，求另外两个。 【典例6】如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【变式1-1】生活中处处有数学，多边形在生活中的应用更是不胜枚举．如图是一个正六边形的螺帽，它的边长是4cm，则这个正六边形的半径R和扳手的开口a的值分别是（　　） A．2cm， B．4cm， C．4cm， D．4cm， 【变式1-2】如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O的内接正十二边形的一边，CD＝5，求⊙O的半径． ▌题型07 正多边形与圆中求最值 1. 常见考法：圆上动点到正多边形定点 / 定线段的最大、最小距离。 2. 圆上点到定点最值：过圆心的直线，最远点 = 圆心距 + 半径；最近点 =。 3. 正多边形顶点都在外接圆上，动点也在圆上时，两点最大距离为直径。 4. 求点到线段最值：垂线段最短，结合边心距、半径综合计算。 5. 思路：优先画出外接圆，利用圆的最值模型，结合正多边形边长、边心距、半径计算。 【典例7】如图，已知正六边形的边长是6，点P是上一动点，则的最小值是 ．    【变式1-1】如图所示，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作 ，垂足为，连接.则长的最小值为 . 【变式1-3】已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是 ． ▌题型08 尺规作图-正多边形 1. 原理：在圆上截取相等的弦，弦相等则对应的中心角相等。 2. 常考：正四边形（正方形）、正八边形；正六边形、正三角形、正十二边形。 3. 正六边形：半径 = 边长，以圆半径为长度，在圆周依次截取得六个顶点。 4. 正四边形：作圆两条互相垂直的直径，依次连接四个端点。 5. 拓展：已作出正 n 边形，作各段弧中点，可得到正 2n 边形。 6. 作图要点：保留作图痕迹（圆弧）。 【典例8】已如：⊙O与⊙O上的一点A （1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由． 【变式1-1】如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【变式1-2】如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【变式1-3】已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． ▌题型09 正多边形与圆中的规律问题 1. 常见类型：边数递增，求角度、周长、面积的递推规律。 2. 基础：每增加一倍边数，利用直角三角形模型计算新的边长、边心距。 3. 方法：算出前 2--3 组结果，观察数字，归纳通项公式。 4. 核心工具：中心角公式、直角三角形（）、三角函数。 5. 注意：看清求的是第 n 个图形的角度、边长还是面积。 【典例9】如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为 ． 【变式1-1】如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2025次旋转后，顶点D的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-2】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数； （2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表： 正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形 ∠BQM的度数 　 　 　 　 　 　 … 　　 　　 【变式1-3】如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． ▌题型10 多边形与圆中的证明 1. 正多边形判定： ①各边相等，各内角相等的多边形是正多边形； ②圆内接多边形：各边相等 ⇒ 是正多边形； ③圆外切多边形：各切点等分圆周 ⇒ 多边形为正多边形。 2. 证明思路：证弦相等⇒弧相等⇒中心角相等；弧相等⇒弦相等。 3. 常用性质：同圆中，相等的圆心角对应相等弦、相等弧；圆周角定理。 4. 辅助线：连接圆心到各顶点（半径），构造等腰三角形。 5. 常考：证明多边形是正多边形、证明线段相等、角度相等。 【典例10】如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 【变式1-1】已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形． 【变式1-2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F在一条直线上，EF与⊙O相切于点C． ​（1）求证：矩形ABCD是正方形； （2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是 　　 ． 【变式1-3】如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E． （1）求证：PA＝PD； （2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $