第7节 函数的图象讲义-2027届高三数学一轮复习

第7节 函数的图象 课标要求： 1． 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 2． 会画简单的函数图象； 3． 会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 描点法作函数的图象 （1） 确定函数的定义域； （2） 化简函数的解析式； （3） 讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）； （4） 列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线． 2． 函数变换法作函数的图象 （1） 平移变换 1 → （）：图象向左平移个单位； 2 → （）：图象向右平移个单位； 3 → （）：图象向上平移个单位； 4 → （）：图象向下平移个单位． 口诀：左加右减、上加下减，平移变换不改变图象的形状与大小，只改变位置． （2） 对称变换 1 关于轴对称： → （把值取反）； 2 关于轴对称： → （把替换为）； 3 关于原点对称： → （关于原点对称即奇函数的定义）； 4 关于直线对称： → （互为反函数的两个函数图象关于直线对称，例如和（，且））． （3） 翻折变换（绝对值） 1 ：保留轴上方的图象不变，将轴下方的图象沿轴翻折到上方； 2 ：保留轴右侧的图象不变，将轴右侧的图象沿轴翻折到左侧，所得的图象关于轴对称（即偶函数）． （4） 伸缩变换 1 → （，）：横坐标变为原来的倍，纵坐标不变； 2 → （，）：纵坐标变为原来的倍，横坐标不变． 二、重点汇总 1．常用结论 （1）与的图象关于直线对称，特别地，与关于（轴对称）； （2）方程解的个数问题，有时候会转化为两个函数的交点个数问题，借助函数图象，数形结合求解． 2．易错提醒 （1）图象的左右平移仅仅是针对于本身的变化，如果的系数不是，常需把系数提出来，再进行变换； （2）图象的上下平移仅仅是针对于而言，利用“上加下减”进行变换； （3）注意区分函数图象本身的对称性和两个函数的对称性：与的图象关于直线对称，若对任意的满足，则函数的图象关于直线对称； （4）在利用函数图象解决问题时，需要注意端点（最值点）处能否取到的问题，否则容易导致答案错误． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到的．（　　） （2）当时，函数的图象与函数的图象相同．（　　） （3）函数与函数的图象关于轴对称．（　　） （4）若对一切成立，则关于直线对称．（　　） （5）函数与函数（，）的图象相同．（　　） （6）函数与函数的图象关于直线对称．（　　） 2．函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．是偶函数，单调递增区间是 B．是偶函数，单调递减区间是 C．是奇函数，单调递增区间是 D．是奇函数，单调递减区间是 4．函数的图象与关于直线对称，再把的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则_________． 5．函数与函数的图象关于直线_________对称． 6．已知函数的图象过点，则的图象过点_________，的图象过点_________． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 作函数的图象 【考法分析】重点考查对描点法、函数变换法作函数图象的方法的掌握，能够绘制常见基本函数的图象． 【典例1】画出下列函数的图象： （1） ； （2） ； （3） 【变式1】画出下列函数的图象： （1） ； （2） （3） 【思维点拨】（1）描点法作图：当函数的解析式（或变形后的解析式）是熟悉的基本函数时，就可以根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出； （2） 图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．需要注意的是平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 考点二 函数图象的识别 【考法分析】是高考的常考题型，重点掌握分析函数图象的方法：如特殊点的值、函数的性质等．主要题型有：根据解析式判断函数的大致图象和根据函数的大致图象判断解析式． 【典例2】（1）函数的部分图象大致是（　　） A． B． C． D． （2）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（1）当时，函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． （2）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】函数图象的识别主要关注以下几个方面： （1） 函数的定义域，特别需要注意函数无定义的地方，通过定义域可以得到函数图象的大致范围； （2） 函数的奇偶性和单调性，通过函数的奇偶性和单调性可以判断函数图象的大致走势； （3） 特殊点的函数值，特定范围内函数的正负性． 考点三 函数图象的应用 【考法分析】利用函数的交点个数求方程根的个数，结合函数的图象解不等式、求参数范围等． 【典例3】（1）已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（　　） A． B． C． D． （2）设函数的定义域为，且满足．若对任意，都有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（1）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足，在区间上单调递减，，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． （2）已知，函数，若，使得关于的不等式，则实数的取值范围是_________． 【思维点拨】（1）当不等式问题不能使用代数法求解或用代数法求解比较困难，但对应函数的图象可作时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，进而利用数形结合思想求解； （2）利用图象求参数时，要准确分析函数图象的特点，借助函数图象，把原问题转化为数量关系比较明确的问题． 课后练习 1、 单选题 1． 函数的图象如图所示，那么函数的图象是（　　） A． B． C． D． 2． 已知，把函数的图象向上平移个单位，得到的图象；把函数图象上所以点的横坐标变为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 3． 函数的大致图象为（　　） A． B． C． D． 4． 函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5． 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 6． 将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，则的大致图象为（　　） A． B． C． D． 7． 已知函数，则图象上关于原点对称的点有（　　） A．对 B．对 C．对 D．对 8． 已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2、 多选题 9． 下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 10． 对于函数，下列说法正确的是（　　） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．没有最小值 11． 下列可能是函数，其中的图象的是（　　） A． B． C． D． 3、 填空题 12． 设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图象如图所示，则_________． 13． 已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，，则实数的取值范围是_________． 14． 定义域为的函数，满足，若当时，函数的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】函数的图象向左平移个单位得到函数． （2）× 【解析】设，则当时，，，两个函数的图象不相同． （3）× 【解析】函数与函数的图象关于轴对称． （4）√ 【解析】根据函数图象的对称性可知结论正确． （5）× 【解析】设，则，，因为，，所以，两个函数的图象不相同． （6）× 【解析】两个函数的图象关于直线对称． 2．D 【解析】函数是奇函数，选项B、C错误； 当时，，为增函数，选项D正确． 3．D 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， ， ∴函数为奇函数，选项A、B错误； ， 函数的大致图象如下： 单调递增区间是和， 单调递减区间是，选项D正确． 4． 【解析】，由题意， ∴． 5． 【解析】函数与函数的图象关于直线对称． 6． 【解析】函数与函数的图象关于轴对称， ∴函数的图象过点， 函数与函数的图象关于轴对称， ∴函数的图象过点． 【典例1】（1），其图象为的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得，如图所示： （2）函数的图象，由函数保留轴上以及轴上方的图象，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： （3）函数的图象，由函数保留轴上以及轴右侧的部分，将轴左侧的图象替换成轴右侧的图象关于轴对称的图象，得到的图象如图所示： 【变式1】（1）的图象如图所示： （2）函数的图象，由函数保留轴上以及轴右侧的部分，将轴左侧的图象替换成轴右侧的图象关于轴对称的图象，得到图象，再将其向右平移个单位得到，如图所示： （3）函数的图象，由函数的图象向左平移个单位长度，再保留轴及其上方的部分不变，将轴下方部分翻到轴上方得到，如图所示： 【典例2】（1）B 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， ， ∴函数是偶函数，选项A错误； 当时，，，，选项B正确． （2）A 【解析】函数是奇函数，且当时，，且不单调， 对于选项B，，为偶函数，选项B错误； 对于选项C，函数在处无定义，选项C错误； 对于选项D，，在上单调递增，选项D错误． 【变式2】（1）B 【解析】当时，且，选项A、C错误； 当时，，，选项B正确，选项D错误． （2）C 【解析】由函数图象知，函数是奇函数， 对于选项A，定义域为，关于原点对称，，为偶函数，选项A错误； 对于选项B，当时，，，，与图象不符，选项B错误； 对于选项D，当时，，单调递减，选项D错误． 【典例3】（1）B 【解析】∵函数是定义在上的偶函数，补充函数的图象如图所示： 表示函数的图象向右平移个单位， 结合函数图象可知，当时，， 当或时，， ∴当或时，， ∴的解集为． （2）A 【解析】当时，， 当时，，， 当时，，， 同理，当，， 以此类推，当时，都有． 函数在上的图象如图所示： 有图可知，，，解得， 即对任意，都有， ∴实数的取值范围是． 【变式3】（1）D 【解析】由得的图象关于直线对称， 又，∴，∴， 由在上单调递减得在上单调递增， 画出的大致图象如图所示： 结合图象及可得或， 解得或， ∴不等式的解集为． （2） 【解析】，则定义域为， ∴的图象是取与图象位于下方的部分， 则函数的图象如图所示（实线部分）： 当时，显然在上单调递减，此时， ∵，使得关于的不等式成立，∴， 令，则， 结合图象可得的解集为或， ∴实数的取值范围是． 课后练习 1．C 【解析】由图象可知过点， ∴函数过点，选项C正确． 2．D 【解析】由题意，， ，由得． 3．B 【解析】函数的定义域为，关于原点对称， ， ∴函数为奇函数，选项A错误； 当时，，， ∴，选项C、D错误，选项B正确． 4．D 【解析】有图可知，，∴， ∴， 若，则，与图象不符， ∴，∴，∴， ∴，解得， ∴不等式的解集为． 5．A 【解析】有图象知，函数是奇函数， 对于选项B，当时，，不符合图象，选项B错误； 对于选项C，当时，，不符合图象，选项C错误； 对于选项D，定义域为，关于原点对称，且为偶函数，选项D错误． 6．A 【解析】由题意，， ∴的定义域为，关于原点对称， ，为偶函数，选项B、C错误； 当时，，选项D错误，选项A正确． 7．C 【解析】点关于原点对称的点为， 即时，， 即， 函数与的图象如图所示： 由图象可知两个函数有个交点， ∴图象上关于原点对称的点有对． 8．C 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以，， 结合函数在上单调递增， 的图象由的图象向右平移个单位得到， 画出与的图象如图所示： 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，此时，不符合题意； ∴不等式的解集为． 9．ACD 【解析】对于选项A，，， ∴的图象可由的图象向左平移个单位得到，选项A正确； 对于选项B，不妨设，即， 即，∴、且， 不存在这样的，，选项B错误； 对于选项C，， ∴的图象可由的图象向左平移个单位得到，选项C正确； 对于选项D，， ∴的图象可由的图象向上平移个单位得到，选项D正确． 10．AC 【解析】，定义域为，关于原点对称， 且， ∴为偶函数，选项A正确、选项B错误； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，选项C正确； ，∴，的最小值为，选项D错误． 11．BCD 【解析】函数的定义域为，选项A错误； 当、时，，其图象为B选项； 当，，时，，其图象为C选项； 当，，时，，其图象为D选项． 12． 【解析】由图可知，定义域为， ∴，，∴， 图象过点，∴，∴， ∵，∴， ∴当时，， 结合对勾函数的单调性，当时单调递增， ∴，即，，∴． 13． 【解析】函数是定义在上的奇函数，则， 当时，， 当时，，∴， ∴， 当时，在上单调递增， 又，∴，满足条件； 当时，显然成立； 当时，的图象由的图象向右平移个单位得到， 如图所示， ，， 表示的图象在图象的下方（重合）， ∴，解得， ∴实数的取值范围是． 14． 【解析】的定义域为，关于原点对称， ，∴，故为奇函数， 由图象可知，当时，，当时，， 结合奇函数的性质，当时，，当时，， 函数的图象由函数向左平移个单位得到， ∴当时，，当时，， 令，则， ∴当或时，，当时，， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴不等式的解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $