第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第7节 正弦定理 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦正弦定理及解三角形核心考点，按“基础知识-公式结论-应用类型”逻辑架构，涵盖解三角形、边角关系、面积计算、形状判断等高考高频题型，通过考点梳理、方法指导、典例精讲及分层练习，系统构建解题思路，助力学生突破难点。 讲义突出数学思维与几何直观培养，如“已知两边及对角”通过图形分析解的情况，结合三角函数公式推理边或角的齐次问题，设置基础到综合的针对练习，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第7节 正弦定理 一、基础知识 1．三角形的性质 ①三角形内角和定理：，，； ②大边对应大角，小边对应小角，等边对应等角． 2．常见角的函数值 ，． ，． 二、常用基本公式及结论 1．（其中是的外接圆半径）. 2．，，；，，；，，；． 3．． 4．底高． 5．；；. ；；；． 6．，． 7．；． 8．； ． 9．；. 10．；；； ；；；；；；；． 11．，其中，常取锐角． 12．， ． 13．射影定理：，，． 三、应用举例 1．解决“已知两角及任意一边长”问题 【典例 1】在中，已知，，，求，，． 【解析】由三角形内角和定理，得，由正弦定理，得 ，即，解得，． 【反思研究】两分式分子分母可以交叉相乘，同等地位的数可以约分． 【针对练习1-1】在中，已知，，，解此三角形． 【解析】由三角形内角和定理，得，由正弦定理，得，即，解得，． 【针对练习1-2】在中，已知，，，求. 【解析】由三角形内角和定理，得，由正弦定理，得，即，解得． 【针对练习1-3】位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【解析】如图，，，由正弦定理得， 所以，故此时甲船距离灯塔海里．故选B． 2．已知两边长及其中一边的对角 【典例2】(1)在中，已知，，，解此三角形； （2）在中，已知，，，求． 【解析】（1）由正弦定理，得，即，解得，又，所以，所以，从而，解得． （2）由正弦定理，得，即，解得，又，所以，所以或． 当时， ，；当时，，． 【反思研究】在中，已知，，，则解的情况如下： 固定，射线固定，点的位置未知，但长度已知,所以只需确定点的位置即可，根据，，的大小判断： 若，如图7，以点为圆心，长为半径作画弧，此时刚好与圆弧相切，切点为点，由切点的唯一性知，唯一． 显然，若，与圆弧相离，此时点不存在，故满足条件，，的不存在． 若，如图8，满足条件的三角形有两个，即和; 若，如图9，图10，满足条件的三角形有且只有一个． 【针对练习2-1】在中，已知，，，解此三角形. 【解析】由正弦定理，得，即，解得，又，所以，所以，从而，所以． 【针对练习2-2】在中，已知，，，求. 【解析】由正弦定理，得，即，解得，又， 所以，所以． 【针对练习2-3】在中，已知，，． （1）求的大小；（2）求的面积． 【解析】（1）由及正弦定理，得， 因为，，所以，又，所以． （2）由正弦定理，得，即，得，又，所以或．当时，，所以；当时，，所以． 综上知，的面积为或． 3．边或角的齐次问题（比例或倍数问题） 【典例3】在中，已知，且，求角． 【解析】方法1：由及正弦定理，得 ，所以，即 ，化简为，又，所以，所以，得，由，得，所以，即，解得，所以． 方法2：由及射影定理，得，即，由余弦定理，得，即，又，所以，由余弦定理，得，所以． 【针对练习3-1】（正弦定理三角函数基本关系）在中，角所对的边分别为．已知，求角． 【解析】方法1：由及正弦定理，得，即，得，所以，又，所以． 方法2：由及正弦定理，得，即 ，所以，即． 【针对练习3-2】（正弦定理诱导公式）在中，角所对的边分别为，，，且，求角． 【解析】由及正弦定理，得 ．又，所以，所以，即． 因为，所以，所以，即，又，所以． 【针对练习3-3】（正弦定理辅助角公式）在中，角所对的边分别为，，．已知，求角． 【解析】由，得，即，化简、整理得，即，因为，所以，得． 【针对练习3-4】（正弦定理二倍角公式）在中，已知，且，求． 【解析】方法1：因为，所以，化为，所以，又，所以． 方法2：，所以，因为，所以， 又，，所以，即，从而，又，所以，解得． 【针对练习3-5】在中，，求的值． 【解析】由及正弦定理，得 ，即，所以，又由正弦定理，得． 【针对练习3-6】在中，，，则 ． 【解析】由三角形内角和定理，得，由正弦定理，得 ． 【针对练习3-7】在中，若，则角的大小为________． 【答案】． 【解析】由题意及正弦定理，得，所以 ，化为，即，又，所以，得． 【针对练习3-8】在中，若，则下列各式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设及正弦定理，得，所以， 所以，所以，即．故选D． 【针对练习3-9】在中，若，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理可得：， 所以，所以，又因为,所以,所以，因为，所以，又因为 所以．故选C． 【针对练习3-10】在中，“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不必要条件，又不充分条件 【答案】C 【解析】等价于，等价于．在中，，所以等价于，由正弦定理得等价于，等价于，故“”是“”的充要条件．故选C． 【针对练习3-11】设中，已知，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理得，即，解得，， ，则． 故选B． 【针对练习3-12】在中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为 ；的最大值是 . 【解析】由及正弦定理，得，又，故，所以，又，所以，所以，从而 ，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，所以当时，取得最大值． 【针对练习3-13】在中，设角所对的边分别为，已知． （1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【解析】（1），因为，所以，于是由，因为，所以，因此有． （2）由正弦定理得，所以，所以 ，所以，因为为锐角三角形，得解得，所以，所以，所以，所以． 4．三角形形状的判断 【典例4】在中，，且，判断的形状． 【解析】由及正弦定理，得,所以,由，即，所以，即，故为等腰直角三角形． 【针对练习4-1】在中，，判断的形状． 【解析】由，得，由正弦定理，得，所以，所以为直角三角形． 【针对练习4-2】在中，，判断的形状． 【解析】方法1：由及正弦定理，得 ，即，所以，所以，故为直角三角形． 方法2：由及射影定理，得，所以，所以，故为直角三角形． 方法3：由及余弦定理，得，即，所以，故为直角三角形． 【针对练习4-3】在中，，判断的形状． 【解析】方法1：由及正弦定理，得，所以 ，所以，所以为等腰三角形． 方法1：由及余弦定理，得，化简得，所以，所以为等腰三角形． 【针对练习4-4】在中，若，判断的形状. 【解析】由及正弦定理，得 ，所以，所以，故为直角三角形． 【针对练习4-5】在中，若，则是 （ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由倍角公式及正弦定理，得，所以，即，所以，所以，所以，因为，所以，所以．所以为直角三角形．故选A． 【针对练习4-6】在中，下列说法错误的是 （ ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是直角三角形 【答案】B 【解析】在选项A中，由及正弦定理，得，所以，即，所以，即一定是等腰三角形，故A说法正确． 在选项B中，由及正弦定理，得，所以，即，又，，所以，或，所以，或，所以是等腰或直角三角形．故B说法错误． 在选项C中，由及正弦定理，得，即，又，所以，所以，得，即一定是直角三角形，故C说法正确． 在选项D中，由及正弦定理，得 所以，化为 ，所以，即，又，所以，或，由三角形内角和定理，得，所以，或，即一定是直角三角形，故D说法正确． 故选B． 5．三角形的面积问题 【典例5】已知，，，求的面积． 【解析】由正弦定理，得，即，所以，又，所以，从而，所以． 【针对练习5-1】已知的面积为，且，，求． 【解析】由，得，即，所以或． 【针对练习5-2】已知，，，求． 【解析】由，得，所以． 【针对练习5-4】已知，，求的面积． 【解析】，所以，由，得，所以，从而． 6．利用正弦定理证明重要结论 【典例6】证明射影定理：在中，为边上的高，则． 证明：由，得． 【针对练习6-1】证明三角形面积公式：的面积，为外接圆半径． 证明：． 【针对练习6-2】证明三角形内角平分线定理：在中，是的平分线． 求证：． 证明：在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，两式相比，得，即． 【针对练习6-3】在中，的角平分线交于，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可作图如下：因为的角平分线为，则，由，则，代入数据可得，化简可得， 解得．故选B． 【针对练习6-4】在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为，若，则的最小值为 （    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 则有，化简得，即． 所以，当且仅当即时等号成立，此时取最小值为． 故选C．    1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 三角函数与解三角形、平面向量 第7节 正弦定理 一、基础知识 1．三角形的性质 ①三角形内角和定理：，，； ②大边对应大角，小边对应小角，等边对应等角． 2．常见角的函数值 ，． ，． 二、常用基本公式及结论 1．（其中是的外接圆半径）. 2．，，；，，；，，；． 3．． 4．底高． 5．；；. ；；；． 6．，． 7．；． 8．； ． 9．；. 10．；；； ；；；；；；；． 11．，其中，常取锐角． 12．， ． 13．射影定理：，，． 三、应用举例 1．解决“已知两角及任意一边长”问题 【典例 1】在中，已知，，，求，，． 【反思研究】两分式分子分母可以交叉相乘，同等地位的数可以约分． 【针对练习1-1】在中，已知，，，解此三角形． 【针对练习1-2】在中，已知，，，求. 【针对练习1-3】位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．已知两边长及其中一边的对角 【典例2】(1)在中，已知，，，解此三角形； （2）在中，已知，，，求． 【反思研究】在中，已知，，，则解的情况如下： 固定，射线固定，点的位置未知，但长度已知,所以只需确定点的位置即可，根据，，的大小判断： 若，如图7，以点为圆心，长为半径作画弧，此时刚好与圆弧相切，切点为点，由切点的唯一性知，唯一． 显然，若，与圆弧相离，此时点不存在，故满足条件，，的不存在． 若，如图8，满足条件的三角形有两个，即和; 若，如图9，图10，满足条件的三角形有且只有一个． 【针对练习2-1】在中，已知，，，解此三角形. 【针对练习2-2】在中，已知，，，求. 【针对练习2-3】在中，已知，，． （1）求的大小；（2）求的面积． 3．边或角的齐次问题（比例或倍数问题） 【典例3】在中，已知，且，求角． 【针对练习3-1】（正弦定理三角函数基本关系）在中，角所对的边分别为．已知，求角． 【针对练习3-2】（正弦定理诱导公式）在中，角所对的边分别为，，，且，求角． 【针对练习3-3】（正弦定理辅助角公式）在中，角所对的边分别为，，．已知，求角． 【针对练习3-4】（正弦定理二倍角公式）在中，已知，且，求． 【针对练习3-5】在中，，求的值． 【针对练习3-6】在中，，，则 ． 【针对练习3-7】在中，若，则角的大小为________． 【针对练习3-8】在中，若，则下列各式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【针对练习3-9】在中，若，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【针对练习3-10】在中，“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不必要条件，又不充分条件 【针对练习3-11】设中，已知，则（    ） A． B． C．或 D． 【针对练习3-12】在中，角，，的对边分别为，，，且，则的值为 ；的最大值是 . 【针对练习3-13】在中，设角所对的边分别为，已知． （1）求；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 4．三角形形状的判断 【典例4】在中，，且，判断的形状． 【针对练习4-1】在中，，判断的形状． 【针对练习4-2】在中，，判断的形状． 【针对练习4-3】在中，，判断的形状． 【针对练习4-4】在中，若，判断的形状. 【针对练习4-5】在中，若，则是 （ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【针对练习4-6】在中，下列说法错误的是 （ ） A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是直角三角形 D．若，则一定是直角三角形 5．三角形的面积问题 【典例5】已知，，，求的面积． 【针对练习5-1】已知的面积为，且，，求． 【针对练习5-2】已知，，，求． 【针对练习5-4】已知，，求的面积． 6．利用正弦定理证明重要结论 【典例6】证明射影定理：在中，为边上的高，则． 【针对练习6-1】证明三角形面积公式：的面积，为外接圆半径． 【针对练习6-2】证明三角形内角平分线定理：在中，是的平分线． 求证：． 【针对练习6-3】在中，的角平分线交于，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习6-4】在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为，若，则的最小值为 （    ） A．6 B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $