1.4.2距离与夹角的综合应用 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2距离与夹角的综合应用 课时作业 1．人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 2．一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直． 如果公共边，则异面直线与的距离是（  ） A． B．A C． D． 3.生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美， 也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥， 其所有棱长都为6，且交于点O，点E在线段上，且， 则的重心G到直线的距离为（  ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且满足，则点到直线的距离为___________． 5．在长方体中，点E，F分别在上，且. (1)求证：； (2)当时. （i）求到平面AEF的距离； （ii）求平面AEF与平面的夹角的余弦值. 6．如图，在正方体中，分别是棱，，，的中点. (1)求证：四点共面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 7．如图，四边形，ADCB和是三个全等的直角梯形，D为公共直角顶点，其上底为，每个梯形的下底长和垂直于底边的腰长相等且为上底长的2倍． (1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)求平面与平面的夹角的正弦值． 1.4.2距离与夹角的综合应用 课时作业参考答案 1.B【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为,2,， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成角为， 则, 2．C【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： .∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 3．B【详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 因为所有棱长都为6，所以，， 所以，，，，， 因为为的重心，所以. 设，，， 因为，所以，即. 因为，， 则G到直线的距离.故选：B 4．以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。过作交于则根据可知，点坐标为 向量在向量的投影向量的模 则点到直线的距离为 5.(1)证明：因为，所以， 因为，所以， 又，平面，故平面，又平面，所以； （2）以点为原点，分别以直线、、为、、轴，建立空间直角坐标系， 由得， （i）由（1）知是平面的一个法向量，， 所以到平面AEF的距离为； （ii），， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以，又是平面的一个法向量， 所以，设平面和平面的夹角为， 则.即平面AEF与平面的夹角的余弦值为. 6．(1)证明如下：如图，取的中点    连接, 因为分别是棱，，，的中点， 易得,,所以,所以四点共面， 又,所以， 则四点共面， 而过不共线的三点的平面具有唯一性， 则平面与平面重合，∴四点共面. （2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形的边长为 则 则， 设是平面的法向量，则， 取,则所以，所以与平面所成角的正弦值为 （3）由（2）知平面的法向量，又 所以点到平面的距离为， 即到平面的距离为 7．（1）因为为三个直角梯形公共直角顶点，所以以为原点，三条两两垂直的方向作为轴建立坐标系，如图，设梯形的上底边长为1，根据题意，下底边长、垂直底边的腰长均为2， 所以.则 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. ，因此，又平面，所以平面. （2）因为平面，所以为平面的法向量， 设两平面的夹角为，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $