精品解析：云南省墨江第一中学2026-2027学年高二上学期9月作业检测数学试题

墨江一中2028届高二年级上学期作业检测 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，所以，所以，，所以. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算，结合复数的几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 4. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】因为是偶函数，即关于轴对称，在上单调递减， 又，即， 所以， ，解得， 所以不等式的解集为. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用和作为中间量，比较的大小即可得解. 【详解】函数单调递增，又，所以，即； 函数单调递减，又，所以，即； 函数单调递增，又，所以，即，所以. 6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B，若，，则或与相交或，故B错误； 对于C，因为，由线面平行的性质定理，内有直线，使， 又，，则，又，则，C正确； 对于D，若，，，则或与异面，故D错误. 7. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件“朝上的面的点数为奇数”，事件“朝上的面的点数为或”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件为对立事件 C. D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由各类事件的定义结合事件独立性的公式依次验证选项即可. 【详解】由题可知， 选项A：由题意知,根据古典概型概率公式，,A错误； 选项B：因为,所以事件与事件不是对立事件，B错误； 选项C：因为,所以，C错误; 选项D：因为,所以，又因为，, 显然成立，满足独立事件的条件，D正确. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在上有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象先求出函数解析式，即可判断A；再根据正弦函数的性质判断BCD即可. 【详解】由图可知，，， 则，故A错误； 又，则，所以， 则，即，， 又，所以，即， 则， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 当时，， 因为正弦函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故C正确； 令，即， 则，，即，， 又，则或， 所以函数在上有2个零点，故D错误. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，9 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐一计算各选项涉及的概率、极差、众数、方差及百分位数，验证每个选项的正误. 【详解】选项A：总体含50个个体，抽取容量为5的样本， 个体被抽到的概率为，该选项正确. 选项B：数据的极差为，众数为2， 二者之和为，该选项正确. 选项C：原数据极差为6，新数据的极差为； 原数据方差为2，新数据方差为，该选项错误. 选项D：将数据排序为，共8个数据， 70百分位数的位置为，对应第6个数据23，该选项正确. 故选：ABD 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件； B. 直线与直线互相平行，则； C. 过两点的所有直线的方程为； D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】 直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系，直线的两点式的使用条件和直线截距相等的直线方程的应用判定、、、的结论． 【详解】解：对于：当时，“直线与直线 互相垂直”， 当直线与直线互相垂直时，即 解得 或， 故“”是“直线与直线 互相垂直”的充分不必要条件，故错误． 对于：直线与直线互相平行，所以 解得或 ，经检验时平行， 时重合；故正确； 对于：过，， ，（且， 两点的所有直线的方程为，故 错误． 对于：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为： 故①：经过原点的直线为，②设在坐标轴上的截距为，设直线方程为所以 ，解得，故 ，故错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识要点：直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线平面 D. 二面角的大小为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解；对于B，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于C，利用线面垂直的判定定理即可求解；对于D，根据已知条件及二面角的平面角的定义，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】对于A，因为为正方体，所以,且， 所以四边形为平行四边形，所以，且， 所以异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求. 再由正方体的性质可得为等边三角形，故， 即异面直线与所成的角为，故A错误； 对于B，由题意可知，，故B正确； 对于C，由正方体的性质可得，平面，平面， 所以， 因为为正方体，所以四边形为正方形，即， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理可证，又，平面， 所以平面，故 C正确； 对于D，由正方体的性质可知，平面，平面， 所以，因为为正方体，所以四边形为正方形，即， 所以是二面角的平面角， 因为为正方体，所以四边形为正方形， 所以，即， 所以二面角的大小为，故D 错误. 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】由，构造方程，解方程求出x，有了的坐标，代入向量模 的计算公式，即可求出模． 【详解】由得：，解得， 所以． 【点睛】求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|= 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差余弦公式将和分别展开，再将两式进行加和减，可求得和，两式相除即可求得结果. 【详解】…①， …②， ①②得：，解得：； ①②得：，解得： . 故答案为：. 【点睛】本题考查两角和差余弦公式的应用，涉及到同角三角函数商数关系的应用，属于基础题. 14. 如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【详解】以为原点建立如图所示坐标系， 则，设，则， 则， 由题意知，圆的半径为． 因为点在弧（包括端点）上，所以， 所以的取值范围是． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的三个顶点分别为，求： （1）所在直线的方程； （2）过点与边平行的直线方程； （3）边的垂直平分线的方程． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【小问1详解】 如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. 【小问3详解】 因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出； （2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长. 【小问1详解】 解：由及正弦定理得， ∴，∵，∴， ∵，∴. 【小问2详解】 解：由（1）及已知得，∴， 由余弦定理知， ∴，∴， ∴△ABC的周长为. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最小值和最大值及取得最大值和最小值时的的值． 【答案】（1） （2）， （3）时，有最小值，时，有最大值 【解析】 【分析】（1）将化简为正弦型函数后即可得； （2）借助正弦型函数单调性求法即可得； （3）结合定义域及正弦型函数图象性质即可得. 【小问1详解】 ， 故； 【小问2详解】 由，令，， 则，， 故函数的单调递增区间为，； 【小问3详解】 当时，， 则，即， 即在区间上的最小值和最大值分别为、， 当，即时，有最小值， 当，即时，有最大值. 18. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数） （2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】（1），平均数75分，中位数约为. （2） 【解析】 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以.该次测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为. （2）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在的有3人，编号为， 从这5人中选取2人的样本空间， 则，记事件“至少有一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 19. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1） 由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线的方向向量及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 墨江一中2028届高二年级上学期作业检测 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件“朝上的面的点数为奇数”，事件“朝上的面的点数为或”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件为对立事件 C. D. 事件与事件相互独立 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在上有3个零点 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1 B. 数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，9 D. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件； B. 直线与直线互相平行，则； C. 过两点的所有直线的方程为； D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线平面 D. 二面角的大小为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量，若，则__________ 13. 已知，，则______. 14. 如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的三个顶点分别为，求： （1）所在直线的方程； （2）过点与边平行的直线方程； （3）边的垂直平分线的方程． 16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的最小值和最大值及取得最大值和最小值时的的值． 18. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数） （2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 19. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $