精品解析：福建省泉州市鲤城区福建省泉州第一中学2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

泉州一中2026届初中九年级阶段适应性测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念“被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，原选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D ． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A、含有2个未知数，不符合题意； B、为分式方程，不符合题意； C、只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； D、含有2个未知数，不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的方法，进行配方即可． 【详解】解： ∴； 故选A． 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式．解题关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：一元二次方程， ， ， 该方程没有实数根． 故选：A． 6. 若是成比例的线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的性质列出比例式是解题的关键． 根据比例线段的性质列出比例式，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵是成比例的线段， ∴， ∴，即，解得：． 故选：D． 7. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. 1.5 B. 4.5 C. 7.5 D. 10.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．先根据平行线分线段成比例可得，则可得的长，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 8. 如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据相似三角形的性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积为， 故选：C． 9. 如图，、都是的垂线，，，．是上一点，连接、，所得两个三角形相似，则的长是（ ） A. 2 B. C. 2或12 D. 上述各个值都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：， 设，则． 如图，当时， ， ， 解得； 如图，当时， ， ， 解得或． 综上所述，的长为或2或12． 故选：D． 10. 已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键． 由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：， 当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意． 综上，的取值范围是或． 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值．利用分式的性质，将所求表达式拆分为，再代入已知条件进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ． 故答案为：． 13. 设是方程的实数根，则_________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值．根据是方程的实数根，得到，即可求解． 【详解】解：是方程的实数根， 把代入方程得， ． 故答案为：2025． 14. 如图，中，，于点D，已知，，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 故答案为：6． 15. 如图，E，F是的边上的两点，连接，交于点O，的面积为4，的面积为9，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据题意可证明，然后根据面积比可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4，的面积为9， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 16. 如图，，，平分交于点F，于点E，交于点M，垂直于点H，交延长线于点G，若，且，，则的长_________． 【答案】3 【解析】 【分析】作于点I，作于点L，证明得．证明得，由等角对等边证明，结合可证，再根据平行线分线段成比例定理得，设，，根据，，求出．证明，设，，则，求出，根据得，代入数据求出即可求解． 【详解】解：作于点I，作于点L，作于点K， ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， 设，，则， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理，勾股定理，以及锐角三角三角函数的知识，难度较大属中考压轴题． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法、分母有理化、零指数幂，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】由于方程无法通过因式分解法求解，因此选用公式法．先确定一元二次方程一般形式中、、的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式即可得到方程的解． 【详解】解：对于方程，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 即方程的解为，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化；运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键． 20. D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，BD=2，AE=6，求AC的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得比例式，然后求解即可． 【详解】解：，， ． ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并准确识图准确确定出对应相等是解题的关键． 21. 如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】（1）； （2） 解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵，，，， ∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． （1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似． 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：；． 【小问2详解】 略 22. 如图，等边，为边上的一点，连接，为上一点，且，延长交于， （1）求证： （2）当为中点，且时，求的值． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）过点作，交于点，先证明，根据全等三角形的性质可得，则可得，再设，则，证出，根据全等三角形的性质可得，然后证明，根据相似三角形的性质可得，代入解方程可得的值，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 【答案】（1）；（2）；（3）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）、设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，根据某影院正月初一的票房收入费用为6万元，正月初三的票房收入达到8.64万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）、设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）、设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，根据该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可 【详解】解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； （2）设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为； （3）设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：下调后每个手办的售价为50元． 24. 我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． （1）根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； （2）若关于的方程是倍“梅石花”方程， ①请探究与之间的数量关系（用含的代数式表示）； ②直接写出的最小值是_________． （3）若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】（1）4 （2）①；②1 （3） 证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）①设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得； ②先化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【小问1详解】 解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． 【小问2详解】 解：①设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴． ②∵，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． 【小问3详解】 略 25. 如图1，在菱形中，，点E在延长线上，且，连接交于点F． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）如图2，若点P在线段上，且，为中点，交于点N，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形为菱形， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴． （2） 证明：设菱形的对角线与相交于点O，如图： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对边平行得出，根据平行线截取线段成比例得出，即可推得； （2）根据菱形的四条边相等，对边平行得出，，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，根据直角三角形的性质得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的性质得出，即可证明； （3）设，连接，根据题意可得，结合（2）得出，，结合勾股定理求出，结合题意得出，推得，结合菱形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，，过点P作于点Q，根据平行线的性质得出，故，根据勾股定理得出，，，得出，过点C作于点G，交于点H，连接，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得为的重心，结合重心的性质得出，根据锐角三角函数求出，推得，得出、、、四点共圆，设，则，，得出，结合锐角三角函数求出，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，连接， ∵， ∴， 由（2）可得，，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在菱形中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 过点P作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点C作于点G，交于点H，连接，， ∴，（三线合一） 又， ∴为的重心， ∴， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴、、、四点共圆， ∴． 设， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线截取线段成比例，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，重心的性质，四点共圆的应用等，熟练掌握等边三角形和圆的相关判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中2026届初中九年级阶段适应性测试 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 6. 若是成比例的线段，其中，，，则线段d的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若，，，则线段的长为（ ） A. 1.5 B. 4.5 C. 7.5 D. 10.5 8. 如图，D是的边上一点，已知，，，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、都是的垂线，，，．是上一点，连接、，所得两个三角形相似，则的长是（ ） A. 2 B. C. 2或12 D. 上述各个值都有可能 10. 已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若，则_____． 13. 设是方程的实数根，则_________． 14. 如图，中，，于点D，已知，，则_______． 15. 如图，E，F是的边上的两点，连接，交于点O，的面积为4，的面积为9，则图中阴影部分的面积为_________． 16. 如图，，，平分交于点F，于点E，交于点M，垂直于点H，交延长线于点G，若，且，，则的长_________． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，AB=7，BD=2，AE=6，求AC的长． 21. 如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． （1）填空：___________，___________； （2）判断与是否相似？并证明你的结论． 22. 如图，等边，为边上的一点，连接，为上一点，且，延长交于， （1）求证： （2）当为中点，且时，求的值． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成． 已知矩形硬纸板的长宽分别为，． 素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决：（1）求从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）由素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长． （3）由素材3，为推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价． 24. 我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． （1）根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； （2）若关于的方程是倍“梅石花”方程， ①请探究与之间的数量关系（用含的代数式表示）； ②直接写出的最小值是_________． （3）若方程为“状元来”方程，求证：． 25. 如图1，在菱形中，，点E在延长线上，且，连接交于点F． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）如图2，若点P在线段上，且，为中点，交于点N，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $