专题4.3 三角恒等变换【12类必考点分类集训】-2027年高考数学一轮复习（全国通用）

专题4.3 三角恒等变换 【考点1：两角和与差的正弦公式】 2 【考点2：两角和与差的余弦公式】 3 【考点3：两角和与差的正切公式】 3 【考点4：二倍角的正弦公式】 4 【考点5：二倍角的余弦公式】 4 【考点6：二倍角的正切公式】 4 【考点7：积化和差与和差化积公式】 5 【考点8：三角恒等变换的化简问题】 6 【考点9：利用三角恒等变换判断三角形的形状】 8 【考点10：三角形中的三角恒等式】 8 【考点1：两角和与差的正弦公式】 1．（24-25高一下·山东·学业考试真题）（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二·全国·学业考试复习）若，则可以是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）计算： ________． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）已知α∈ β∈若，则等于_______. 5．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【考点2：两角和与差的余弦公式】 1．（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川巴中·二模）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知锐角满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）已知锐角满足，，则的值为_____. 5．（26-27高二·全国·学业考试复习）若，，并且均为锐角且，则的值为________． 【考点3：两角和与差的正切公式】 1．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）已知为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知，则_________． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，则=______________. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）求值：______　；______　． 5．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，． (1)求和的值； (2)若，求的值． 【考点4：二倍角的正弦公式】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）若为第二象限角，，则______. 3．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知，则__________． 4．（25-26高一下·河南信阳·阶段检测）已知，，则______； 5．（2026·河北·模拟预测）若，，则________． 【考点5：二倍角的余弦公式】 1．（贵州黔东南苗族侗族自治州2027届高三上学期开学模拟测试数学试题）已知，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知角的终边上有一点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知，，则的值（     ） A． B． C． D．或 5．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，则_________． 【考点6：二倍角的正切公式】 1．（25-26高一下·甘肃酒泉·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 5．（25-26高三下·辽宁·期中）已知锐角θ满足，则（   ） A． B． C． D． 【考点7：积化和差与和差化积公式】 1．（2026高二上·安徽·竞赛）已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 2．（2026高一上·全国·专题练习）已知，则________． 3．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则______． 4．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2). 【考点8：三角恒等变换的化简问题】 1．（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）（1）计算：的值； （2）若，求的值. 2．（25-26高一下·江苏南通·期末）已知，． (1)求； (2)若，求的值． 3．（25-26高一下·甘肃白银·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 4．（第三章 专题三 倍角公式及其拓展 微点2 三倍角公式及其初步应用【培优版】）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 5．（26-27高二上·广西贵港·开学考试）已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 【考点9：利用三角恒等变换判断三角形的形状】 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）在中，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2．（2026·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（25-26高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 4．（重难点培优05 解三角形中的几何图形与证明（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 5．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【考点10：三角形中的三角恒等式】 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）在中，若，则角的取值范围是_________. 2．（25-26高一下·上海·期中）若中，、是方程的两个根，则___________． 3．（25-26高三下·湖南·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知，则的最小值为______. 4．（第三章专题五降幂扩角公式与升幂缩角公式及其拓展微点1降幂公式与升幂公式及拓展【培优版】）在中，求证：. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ． (1)求证：； (2)求的最小值． 一、单选题 1．（2026·山东烟台·一模）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 A． B． C． D． 2．（2026·广西贵港·三模）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·上海·随堂练习）若等腰三角形的底角的正弦值为，则顶角的余弦值为（    ）． A．； B．； C．； D．． 4．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·贵州毕节·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B．-1 C． D． 6．（2026·山西吕梁·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列各式中值为1的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（26-27高三上·江苏南京·阶段检测）已知，则______ 10．（25-26高一下·全国·课后作业）_________． 四、解答题 11．（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，终边落在第二象限，且与单位圆交于点． (1)求、、的值； (2)化简再求值：． 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 三角恒等变换 【考点1：两角和与差的正弦公式】 2 【考点2：两角和与差的余弦公式】 4 【考点3：两角和与差的正切公式】 6 【考点4：二倍角的正弦公式】 8 【考点5：二倍角的余弦公式】 9 【考点6：二倍角的正切公式】 11 【考点7：积化和差与和差化积公式】 13 【考点8：三角恒等变换的化简问题】 15 【考点9：利用三角恒等变换判断三角形的形状】 18 【考点10：三角形中的三角恒等式】 21 【考点1：两角和与差的正弦公式】 1．（24-25高一下·山东·学业考试真题）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 2．（26-27高二·全国·学业考试复习）若，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，或， 即，或， 令，则． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）计算： ________． 【答案】 【详解】原式 ． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）已知α∈ β∈若，则等于_______. 【答案】/ 【分析】根据角的变换及两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为α∈ β∈ ， 所以 则 ， 所以. 5．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知同角一个三角函数值，先利用平方关系求出另外一个三角函数，再代入两角和差公式计算；（2）算出，后代入代数式，根式项恰好抵消，直接化简求值. 【详解】（1）因为，且，所以， 因为，且，所以， 因此，. （2）由（1）知，，，， 则， ， 所以. 【考点2：两角和与差的余弦公式】 1．（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设结合同角三角函数关系，两角和的余弦公式可得答案. 【详解】因，则，结合，可得. 因，则. 则 2．（2026·四川巴中·二模）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合同角关系可求，再由两角差余弦公式求结论. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以， 故选：B. 3．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知锐角满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系并结合题意得到求出和，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为均为锐角，所以，可得， 因为由，所以， 因为且为锐角，所以，而，则， 由两角差的余弦公式得 ． 故选：C． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）已知锐角满足，，则的值为_____. 【答案】 【详解】∵为锐角，，， ∴，，∴. 5．（26-27高二·全国·学业考试复习）若，，并且均为锐角且，则的值为________． 【答案】/ 【分析】将未知角转化为，根据计算的余弦值确定其角度值． 【详解】因为均为锐角，故，又因为，则； 由可得； 因为，因为，故； 可得， ， ，． 【考点3：两角和与差的正切公式】 1．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）已知为第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式整理可得，再结合两角和差公式的正切公式运算求解，注意合理选取二倍角的余弦公式. 【详解】因为，则， 且为第四象限角，则，， 可得，则， 即，可得， 所以. 2．（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知，则_________． 【答案】 【分析】根据题意求出，代入即可求解. 【详解】已知，解得， 因此. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，则=______________. 【答案】 【详解】. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）求值：______　；______　． 【答案】 【分析】利用正切两角和的公式分析求解即可. 【详解】第一空：； 第二空：因为，即， 所以， 所以. 5．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，． (1)求和的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对原等式两边平方可得，可判断，，结合同角的平方关系即可求解； （2）由（1）可得，结合两角和的正切关系即可求解. 【详解】（1）由两边平方可得：，解得：. 因为，，所以， 由，解得：. （2）由于， ， 解得：. 【考点4：二倍角的正弦公式】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为，所以. ． 因为， 所以 ． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）若为第二象限角，，则______. 【答案】－ 【详解】因为为第二象限角，， 所以， 所以. 3．（25-26高一上·广东东莞·期末）已知，则__________． 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出的值，结合正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】解：因为，所以； 所以，所以. 故答案为：. 4．（25-26高一下·河南信阳·阶段检测）已知，，则______； 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式求值. 【详解】因为，所以， 又，所以. 所以. 故答案为： 5．（2026·河北·模拟预测）若，，则________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式、诱导公式及二倍角的正弦公式求解. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 【考点5：二倍角的余弦公式】 1．（贵州黔东南苗族侗族自治州2027届高三上学期开学模拟测试数学试题）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角公式及平方关系可得，再代入条件关系即可求出结论. 【详解】. 2．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用三角函数诱导公式化简已知等式求出的值，再代入二倍角余弦公式计算即可得到结果. 【详解】首先根据诱导公式， 对化简可得：，解得， 再根据二倍角的余弦公式， 将代入得：. 3．（26-27高二上·贵州遵义·开学考试）已知角的终边上有一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的定义和二倍角公式求解． 【详解】由题意，，解得． 4．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知，，则的值（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】将两边平方，得，所以. 因为且，所以，即，所以. ，且，所以. 于是，，. 所以. 5．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，则_________． 【答案】 【详解】可知， 因为，可知，因为，所以， 所以，所以， 可知. 【考点6：二倍角的正切公式】 1．（25-26高一下·甘肃酒泉·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 2．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由二倍角公式可得，解得或， 因为为锐角，故， 所以. 3．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角函数的基本关系式，求得，再由正切的倍角公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以，则. 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】B 【分析】根据诱导公式以及正切的和差角公式可得，即可由正切的二倍角公式求解. 【详解】由，可得， 故，因此， 故，化简得， 故. 5．（25-26高三下·辽宁·期中）已知锐角θ满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切二倍角公式解出的值，由齐次式可计算结果. 【详解】由题意可得，解得或（舍去）． 方法一：故． 方法二：此时，故． 故选：D. 【考点7：积化和差与和差化积公式】 1．（2026高二上·安徽·竞赛）已知是的两个解，且，则（    ） A．－3 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简原式，根据是方程的解，得到两个关于的三角等式，进而利用和差化积公式对、变形求出的值，再利用正切的二倍角公式计算. 【详解】因为是的两个解， 所以：， 两式相等移项得：. 因为， 所以代入等式得： ， 因为，所以， 所以, 令，可得. 2．（2026高一上·全国·专题练习）已知，则________． 【答案】/ 【分析】将其看作分母为1的分式，分子分母同时乘以，利用积化和差公式化简求值. 【详解】 3．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换可化简求解. 【详解】解法一： 所以. 解法二：由积化和差公式得， 所以. 解法三：由和差化积公式得. 4．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 【答案】/0.75 【分析】根据正弦和余弦的关系，结合二倍角的余弦公式以及和差化积公式、积化和差公式依次化简即可求解. 【详解】根据二倍角的余弦公式，有，， 根据和差化积公式，有， 根据积化和差公式，有， 因此. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式＝； （2）原式＝ . 【考点8：三角恒等变换的化简问题】 1．（25-26高一下·广西崇左·阶段检测）（1）计算：的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）应用诱导公式结合两角和正弦公式计算求解； （2）应用二倍角正弦公式及二倍角余弦公式化简，再应用弦化切代入求解. 【详解】（1） （2）因为，所以的终边不在坐标轴上，所以， 所以. 2．（25-26高一下·江苏南通·期末）已知，． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和差角公式化简可得，结合同角三角函数的基本关系可得结果. （2）根据同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角差的正弦公式可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 化简得， 因为，所以， 所以，即，故. （2）由，得，且， 所以. 因为，所以， 由得， 所以， 所以. 3．（25-26高一下·甘肃白银·期末）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和差的正余弦公式，化简题目条件，根据同角三角函数关系中的商数关系，求出结果； （2）根据二倍角的正弦公式，由弦化切，求出结果即可. 【详解】（1）因为， ， 所以. 因为， 所以. 得. （2）由（1）知， 因为， 所以. 4．（第三章 专题三 倍角公式及其拓展 微点2 三倍角公式及其初步应用【培优版】）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）直接应用三倍角正弦公式的推广公式计算可得； （2）所给出角不具备公式的特点，需增加一项处理，再应用三倍角余弦公式的推广公式计算； （3）先利用诱导公式将余切化为正切，再应用三倍角正切公式的推广公式计算． 【详解】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式 ． 5．（26-27高二上·广西贵港·开学考试）已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算即可. （2）利用二倍角的正余弦公式化简得解. （3）确定角的范围，再利用和角的正切公式求解. 【详解】（1）由，，得. （2）由，得. （3）由，，得，由（1）知， 则，，， 所以. 【考点9：利用三角恒等变换判断三角形的形状】 1．（26-27高二·山东·学业考试模拟）在中，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【详解】由，得， 所以，， ，，，，即， 所以的形状是等腰三角形． 2．（2026·河南·模拟预测）在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】分析可知、都为锐角，再利用两角和的正切公式推导出，由此可得出结论. 【详解】在中，内角、满足， 由于中至少有两个锐角，则、中至少有一个锐角， 不妨设为锐角，则，从而，故为锐角， ， 故角为锐角，从而可知为锐角三角形， 故选：A. 3．（25-26高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】由二倍角的余弦公式可得：， 所以， 所以， 所以， 因为，则，， 所以由可得：，所以. 4．（重难点培优05 解三角形中的几何图形与证明（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简条件，再根据取值范围求出，最后得到答案. 【详解】. 条件化为 ， ，，故 . 所以三角形为等腰三角形. 5．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，， 由得， 所以或（舍去） 所以，即， 由于，所以, 则， 所以一定成立的是：，； 故选：A 【考点10：三角形中的三角恒等式】 1．（25-26高一下·上海·阶段检测）在中，若，则角的取值范围是_________. 【答案】 【分析】由题意可知均为锐角，则分类讨论，若均为钝角，不妨设，则与矛盾，若均为锐角，则利用以及基本不等式可得. 【详解】，则均为锐角， 若，不妨设，则，则， 即，从而，与矛盾， 所以，由得， 所以， 又因为， 则， 所以，，，所以. 故答案为：. 2．（25-26高一下·上海·期中）若中，、是方程的两个根，则___________． 【答案】 【分析】根据韦达定理得到与的和与积，从而可以计算出的值，将所求的式子看作分母为1的式子，化简为关于的式子即可计算结果． 【详解】因为、是方程的两个根， 由韦达定理可得，； 因为中，； 故， 故； ． 3．（25-26高三下·湖南·阶段检测）记的内角的对边分别为，已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先对，进行通分，并应用正弦定理及同角三角函数的商数关系式计算得出，再利用诱导公式及两角和的正切公式，将其转化为的关系式，最后用换元法，结合基本不等式计算求解得到最小值. 【详解】，得， 由正弦定理得，， 化简得，. 若，则为钝角，且， 则中至少有一个小于零， 即中至少有一个钝角，与一个三角形中至多有一个钝角矛盾，所以. 因为， 所以. 令，则，且，即. 因为，所以，即， 所以，即， 所以. 所以的最小值为. 4．（第三章专题五降幂扩角公式与升幂缩角公式及其拓展微点1降幂公式与升幂公式及拓展【培优版】）在中，求证：. 【答案】证明: 左边 . ∴原等式成立. 【分析】对左边先后运用降幂公式、同角基本关系式、和差化积公式、三角形内角和及诱导公式、两角和与差的余弦公式，进行化简后可得到右侧 【详解】略. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ． (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明：由 ，所以 ， 展开得 即， 代入条件 得 ， 锐角三角形中 ，故 ，． (2) 【分析】（1）利用，所以，证明恒等式，再代入条件即可证明； （2）利用（1）可知，化简，从而得到，再利用基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，又 所以，， 基本不等式，, 令,则即 （注意：因为，所以 ，故 ）， 故，当且仅当 （等边三角形）时取等号， 故 的最小值为． 一、单选题 1．（2026·山东烟台·一模）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由任意角的三角函数的定义求得，然后展开二倍角公式求． 【详解】解：∵角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， ∴， ∴． 则. 故选D． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题． 2．（2026·广西贵港·三模）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由角的终边经过点，得， 所以. 3．（25-26高一·上海·随堂练习）若等腰三角形的底角的正弦值为，则顶角的余弦值为（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】在等腰三角形中三角形内角和推得顶角，结合诱导公式和二倍角余弦公式计算得出结果； 【详解】设底角为α，则， 所以． 故选：B. 4．（25-26高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案. 【详解】由，，可得，则， ，则或， 由于，所以，， ， 故选：B 5．（25-26高三·贵州毕节·阶段检测）若，则的值是（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】B 【解析】由已知条件，求得，再利用二倍角公式和平方关系化简为正余弦的齐次式，将代入求解即可. 【详解】由题意，，解得， 故选：B 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式和平方关系的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题. 6．（2026·山西吕梁·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二倍角公式和正切函数的性质化简即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 因为 所以， 即，其余选项无法确定， 故选：B. 二、多选题 7．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D. 【详解】. 对于A，； 对于B， ； 对于C，； 对于D，因为，可得. ∴与的值相等的是ABD. 故选：ABD. 8．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列各式中值为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A项，逆用两角和的正切公式计算即得；对于B项，利用二倍角的正弦公式即得；对于C项，利用二倍角的余弦公式即得；对于D项，利用诱导公式和同角的基本关系式计算即得. 【详解】对于A项，，故A项符合； 对于B项，,故B项符合； 对于C项，，故C项不符合； 对于D项，，故D项符合. 故选：ABD. 三、填空题 9．（26-27高三上·江苏南京·阶段检测）已知，则______ 【答案】 【分析】先由求得的值，进而求得的值，再根据两角差的正弦公式，求得的值. 【详解】依题意，即，故，由于，而，所以，故，因此.所以. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10．（25-26高一下·全国·课后作业）_________． 【答案】 【分析】利用和（差）角的余弦公式计算可得. 【详解】 ． 故答案为： 四、解答题 11．（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知角以轴的非负半轴为始边，终边落在第二象限，且与单位圆交于点． (1)求、、的值； (2)化简再求值：． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）利用单位圆方程结合象限符号求出余弦值，再用同角关系与二倍角正切公式逐层求解；（2）先用诱导公式、完全平方公式化简分式，再切化弦约分简化式子，最后代入三角函数值计算结果. 【详解】（1）因为角的终边与单位圆交于点，所以．由，得． 又角的终边落在第二象限，所以，即．所以，． 因此． （2）由诱导公式得． 所以原式等于， 所以原式的值为． 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求的值； （2）已知，，求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据二倍角公式以及和差化积公式即可求得结果； （2）方法一：先求出，利用诱导公式和二倍角公式求出，最后根据两角和的余弦公式即可求得结果；方法二：先求出，利用两角差的正余弦公式求出，再利用二倍角公式求出，最后根据两角和的余弦公式即可求得结果； （3）根据已知条件解得，然后再求得的值，最后根据角的范围即可求解． 【详解】（1）原式 ． （2）方法一：，． 又，，， ， ． ． 方法二：由方法一知，又， ． 同理可求， 故，， 因此． （3）， ． ， ， ． 又，． ． ，，． 学科网（北京）股份有限公司 $