三角函数及恒等变换训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 系统梳理三角函数概念公式，通过12类题型构建从定义到恒等变换的应用体系，注重概念生成与公式推导逻辑，培养数学抽象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数基本概念|4题型/16例|终边判断、扇形面积、定义应用|从角的概念到弧度制，再到三角函数定义的生成递进| |同角关系与诱导公式|2题型/16例|函数值正负、条件判断、公式化简|平方商数关系为基础，诱导公式实现角的转化| |三角恒等变换|6题型/24例|和差倍角、给值求值、综合应用|从和差公式推导倍角、半角公式，形成公式网络应用|

三角函数及恒等变换 一、三角函数基本概念 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 二、同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 推导公式： 三、诱导公式 1.， ， 2.， ， 3.，， 4.，， 5.，， 6.，， 7.，， 8.，， 9.， ， 10.，， 四、三角恒等变换 1.正弦的和差公式 2.余弦的和差公式 3,正切的和差公式 4.正弦的倍角公式 5.余弦的倍角公式 6.升幂公式：， 7.降幂公式：， 8.正切的倍角公式 9.半角公式 （1）sin ＝± . （2）cos＝± . （3）tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 10.万能公式 11.和差化积与积化和差公式 12.推导公式 13.辅助角公式 ，，其中， 14.拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 15. 三倍角公式 1、正弦三倍角公式： 2、余弦三倍角公式： 3、正切三倍角公式： 题型一 任意角与弧度制 例1.（多选题）（2026·重庆万州·模拟预测）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 例2.（25-26高三下·北京·开学考试）已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 题型二 扇形的弧长与面积 例3.（1）（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． （2）（2026·陕西·二模）如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分别为和为圆上一点，且三角形为直角三角形，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·北京·模拟预测）如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 例4（1）（2026·四川遂宁·模拟预测）在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）（2026·辽宁抚顺·一模）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 题型三 三角函数的定义 例5.（1）（2025·北京房山·一模）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（    ） A． B． C． D． （2）（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（    ） A． B． C． D．3 （3）（2026·河南开封·二模）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． （4）（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． （5）（2025·安徽滁州·一模）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ） A． B． C． D． （6）（2026·四川乐山·三模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（   ） A． B． C． D． （7）（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，点在角的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于直线对称 D．与关于直线对称 （8）（2026·北京·三模）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为________． 例6.（1）（2026·山东潍坊·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（   ） A． B． C． D． （2）（2025·陕西榆林·二模）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． （3）（2026·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C． D． （4）（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（    ） A． B． C． D． （5）（2025·安徽芜湖·二模）已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 （6）（2026·广东汕头·模拟预测）在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （7）（2025·浙江温州·二模）（多选题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．角的终边在第一象限 （8）（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则= . 题型四 三角函数值正负判断 例7.（1）（2025·高三·海南·期末）已知都是第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）（2026广东广州·）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． （3）（2025·江西 ）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （4）（2026.湖北黄冈九月调研）（多选题）下列说法正确的是（　　） A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 例8.（1）（2026·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（    ） A． B． C． D． （3）（多选题）（2025·湖南·模拟预测）已知，双曲线C：，则（    ） A．可能是第一象限角 B．可能是第四象限角 C．点可能在C上 D．点可能在C上 （4）（2025·河北秦皇岛·三模）在平面直角坐标系中，“”是“为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五 同角三角函数简单运用 例9.（1）（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 （2）（2026·陕西西安·一模）设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）（2026·山东日照·模拟预测）已知（），则（    ） A． B． C． D． （4）（2026·陕西西安·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． （5）（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 例10.（1）（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． （2）（2026·新疆·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． （3）（2025·湖北孝感·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． （4）（2026·江苏淮安·模拟预测）已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． （5）（2026·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B．0 C． D．1 例11.（1）（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． （2）（2021·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． （3）（2026·江苏无锡·三模）若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． （4）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． （5）（2026·四川德阳·二模）若，则＝（   ） A． B． C． D． （5）（2026·四川德阳·二模）若，则＝（   ） A． B． C． D． 例12.（1）（25-26高三上·四川巴中·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． （2）（2025·湖北咸宁·模拟预测）已知，则__________. （3）（2025安徽）已知，则（    ） A． B． C． D． （4）（2025·湖南长沙·二模）（多选题）已知，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． （5）（2025·河南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型六 诱导公式的综合运用 例13.（1）（2026湖北）已知，则的值是(    ) A． B． C． D． （2）（2025·云南昭通·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． （3）（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． （4）（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 （5）（25-26高三下·河北衡水·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 例14.（1）（2026·辽宁·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·北京丰台·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （4）（25-26高三上·河南·阶段检测）设，且，则 （    ） A． B． C． D． （5）（多选题）（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，则（    ） A． B．的最大值为 C． D． 例15（1）（2025·河南·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． （2）（2025·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B．2 C． D． （3）（2025·江西九江·三模）若，则（    ） A． B． C． D． （4）（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． （5）（2026·北京·三模）已知，，且，．则满足条件的一组，的值可以是________，________． 例16.（1）（2025·安徽马鞍山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是（    ） A．， B．， C．， D．， （2）（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与的非负半轴重合，将角的终边按照逆时针方向旋转后，其终边经过点，则（    ） A． B． C． D． （3）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知角，的终边不重合，且，则 . （4）（2025·广东湛江·一模）已知，则 ． （5）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型七 两角和差公式的基本应用 例17.（1）（全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． （2）（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． （3）（2023·全国·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． （4）（2024.新课标全国Ⅰ卷）已知，则（    ） A． B． C． D． （5）（2024.新课标全国Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 例18.（1）（2026.山东青岛适应性检测）若，，则______． （2）（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． （3）（2025·安徽池州·二模）已知，则（    ） A．7 B．-7 C． D． （4）（2026·福建泉州·模拟预测）若，，则（     ） A． B． C． D． （5）（2026·重庆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例19.（1）（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知，则（   ） A． B．14 C． D． （2）（25-26高三上·广东·阶段检测）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． （3）（2026·陕西商洛·一模）已知，且，则___________． （4）（25-26高三上·广东·开学考试）已知都是锐角，，则（　　） A． B． C． D． （5）（2026.湘豫名校摸底测试）（多选题）已知均为锐角，且，则（　　） A． B． C．若，则 D．的最大值为 例20.（1）（2025·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． （2）（2025·河南·三模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． （3）（2025·贵州黔东南·二模）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． （4）（2025·贵州黔东南·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． （5）（2025·河北·模拟预测）已知，均为锐角，为钝角，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例21.（1）（2026·山东青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___________. （2）（2026·湖南怀化·三模）已知，，则__________． （3）（2026·安徽滁州·三模）（多选题）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． （4）（2026·福建福州·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． （5）（2026·安徽·三模）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 题型八 二倍角公式的应用 例22.（1）2026·福建·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． （2）（2026·重庆·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． （3）（2026·湖南湘西·三模）已知，则（   ） A．-4 B． C． D． （4）（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． （5）（2025·山西·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 例23.（1）（2026·河南·一模）已知∈（0，），且满足，，则______. （2）（2026·福建福州·模拟预测）已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． （3）（2026·甘肃·模拟预测）已知，，，都是锐角，则（   ） A． B． C． D． （4）（2026·陕西咸阳·三模）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． （5）（2025·河南许昌·模拟预测）已知，且满足，，则= . 例24.（1）（2026·湖南长沙·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． （2）（2025·河北·模拟预测）已知角、满足，且，则（    ） A． B． C． D． （3）（2026·河北·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． （4）（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． （5）（2026·四川·三模）已知，，且满足，则最小值为（   ） A． B． C． D． （6）（2025·安徽合肥·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 例25.（1）（2025·广东揭阳·二模）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． （2）（2025·浙江绍兴·二模）若，则（      ） A． B． C． D． （3）（2025·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． （4）（2026·福建·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． （5）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则 ． （6）（2025·湖南长沙·二模）已知 ，则 （7）（2025·海南·模拟预测）已知满足，，则 ． （8）（2026·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型九 给值求值（拼凑角）或给角求值 例26.（1）（25-26高三上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． （2）（2026.湖北黄冈九月调研）若，则（　　） A． B． C． D． （3）（2026·高三·吉林长春·开学考试）已知，则 . （4）（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． （5）（2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．或 （6）（2026·安徽·模拟预测）已知，且，则（    ） A．3 B． C． D．-3 例27.（1）（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，则（） A． B． C． D． （2）（2026·河北邢台·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·广西钦州·阶段练习）已知，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 （4）2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． （6）（2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 例28.（1）（2026·山西吕梁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． （2）（2026·河南·模拟预测）（   ） A．1 B． C． D．2 （3）（2026·广东汕头·二模）的值为（   ） A． B． C．1 D． （4）（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（    ） A． B．1 C． D． （5）（2026·湖南长沙·模拟预测）___________． （6）（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 例29.（1）（2026·湖南怀化·二模）（多选题）已知，则的值可能为（   ） A．1 B．－1 C． D． （2）（2026·河北·一模）已知 且 则________. （3）（江苏南京外国语学校等学校2026届高三年级第三次质量检测数学试题）已知满足，，则（    ） A． B． C． D． （4）（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 题型十 给值求角 例30.（1）（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． （2）（2026·湖南邵阳·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． （3）（2026·重庆江津·三模）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 （4）（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． （5）（2026·江苏·二模）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 例31.（1）（2025·河北秦皇岛·三模）若，，且，，则 （2）（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． （3）（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，，则______． （4）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知锐角，满足，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 例32.（1）（2025·重庆·模拟预测）已知，均为锐角，，，则 . （2）（24-25 江苏南通·阶段练习）（多选题）已知，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． （3）（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）（多选题）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． （4）（2025·安徽黄山·二模）已知，都是锐角，，，则 ． 题型十一 三角恒等变换的综合应用 例33.（1）（2025·湖北荆州·三模）设，，，若满足条件的与存在且唯一，则 ， . （2）（2025·福建泉州·二模）若，且与存在且唯一，则（    ） A．2 B．4 C． D． （3）（2025·江苏苏州·模拟预测）记，若，则实数 . 例34.（2025·安徽蚌埠·三模）若，对于恒有，当取得最大值时， ． 例35.（2025·重庆·三模）已知函数满足.若是方程的两根，则= . 例36.（2024·安徽·三模）已知，其中，且，则 . 例37.（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为 . 题型十二 和差化积与积化和差公式的应用 例38.（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， . 例39.（2025·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 例40.（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 例41.（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 例42.（24-25高三上·江西上饶·期中）已知，满足，，则 . 例43.（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数及恒等变换 一、三角函数基本概念 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 二、同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 推导公式： 三、诱导公式 1.， ， 2.， ， 3.，， 4.，， 5.，， 6.，， 7.，， 8.，， 9.， ， 10.，， 四、三角恒等变换 1.正弦的和差公式 2.余弦的和差公式 3,正切的和差公式 4.正弦的倍角公式 5.余弦的倍角公式 6.升幂公式：， 7.降幂公式：， 8.正切的倍角公式 9.半角公式 （1）sin ＝± . （2）cos＝± . （3）tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． 10.万能公式 11.和差化积与积化和差公式 12.推导公式 13.辅助角公式 ，，其中， 14.拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意：特殊的角也看成已知角，如． 15.三倍角公式 1、正弦三倍角公式： 2、余弦三倍角公式： 3、正切三倍角公式： 题型一 任意角与弧度制 例1.（多选题）（2026·重庆万州·模拟预测）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，则角与角终边相同，与角终边相反的角可以为，因此与角终边相反的所有角的集合为，显然，.故选：BD 例2.（25-26高三下·北京·开学考试）已知角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为角的终边绕原点O逆时针旋转后与角的终边重合，所以，又因为，所以， ，得. A：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； B：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； C：令，显然该方程无整数解，本选项不符合题意； D：令，显然该方程有整数解，本选项符合题意；故选：D 题型二 扇形的弧长与面积 例3.（1）（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】 如图所示，根据已知和图形知 ，设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即，在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知，由扇形面积公式可得 ，易知以直径的半圆的半径为，即，于是，故选：A. （2）（2026·陕西·二模）如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分别为和为圆上一点，且三角形为直角三角形，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，.因为三角形为直角三角形，所以. 所以阴影部分的面积.故选：B （3）（2026·北京·模拟预测）如图，半径为1的圆与直线相切于点，点，同时从点出发，点沿着直线向右、点沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当点运动到点时，点，同时停止运动．连接，，与圆交于点，记扇形的面积为，与线段，围成的面积记为，点，运动过程中，下列关系中正确的是（     ） A． B． C． D． 【详解】设运动路程为，，设，由弧长公式：， ，，扇形的面积为，所以，即，C正确，D不正确；因为最大可取，，所以，A不正确；当取时，,此时，故存在，B不正确.故选：C 例4（1）（2026·四川遂宁·模拟预测）在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【详解】设大半圆半径为，小半圆半径为，则， 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为，将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长，对应圆台底面周长， 所以，则；小弧长对应顶面周长，所以，则，圆台母线长，过作垂直，则，所以底面圆，则母线与底面所成角为，底面与顶面半径差为，在直角三角形中，，所以，所以，即母线与底面所成角的度数是．故选：D （2）（多选题）（2026·辽宁抚顺·一模）用平行于大圆锥底面的平面截这个大圆锥，得到一个小圆锥和一个圆台．若大圆锥的高为9，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为、圆心角为的扇形，则下列结论正确的是（   ） A．小圆锥的高为1 B．大圆锥的体积为 C．圆台的母线长为 D．圆台的表面积为 【详解】如图所示，作出圆锥的轴截面等腰，则，设小圆锥的半径，小圆锥的侧面展开图是一个弧长为，所以，又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，所以，计算得，可得，小圆锥的高为3，A选项错误；由，可得，所以，则，即圆台的母线长为，C选项正确；所以大圆锥的体积为，B选项正确；圆台的表面积为，D选项错误；故选：BC 题型三 三角函数的定义 例5.（1）（2025·北京房山·一模）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为角的终边经过点，所以，因为把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，所以，所以.故选：D. （2）（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（    ） A． B． C． D．3 【解析】因为角的终边经过点，所以，所以，解得：.故选：D （3）（3）（2026·河南开封·二模）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【详解】已知角终边过点,根据,其中,可得.. （4）（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上，此时；若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上，此时.故选：B （5）（2025·安徽滁州·一模）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得，，因此，，所以，，，，所以 （6）（2026·四川乐山·三模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解法一：由题意可得：，，从而 ； 解法二：由得，平方可得，所以，又，，从而.故选：D. （7）（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，点在角的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是（    ） A．与关于轴对称 B．与关于轴对称 C．与关于直线对称 D．与关于直线对称 【详解】设，由，则角的终边在轴上方，即，对于A，由与关于轴对称，得，则，A不是；对于B，由与关于轴对称，得，则，B是；对于C，由与关于直线对称，得，当时，，C不是；对于D，由与关于直线对称，得，当时，，D不是.故选：B. （8）（2026·北京·三模）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为________． 【详解】与关于轴对称，所以角与角的终边关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为. 例6.（1）（2026·山东潍坊·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为角的终边与圆交于点，所以由任意角三角函数定义得，，设旋转后的角为，且旋转后的角交圆于点，则由任意三角函数的定义得，，得到， ，故，当时，，故D正确. （2）（2025·陕西榆林·二模）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【解析】依题意，，即，又，则，所以.故选：C （3）（2026·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，，所以故选：D （4）（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点，所以圆半径，所以，因为点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，所以，所以.故选：B （5）（2025·安徽芜湖·二模）已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 【解析】由题意可得，则.故选：C. （6）（2026·广东汕头·模拟预测）在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为角、的顶点与原点重合，它们的始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，所以，由诱导公式知，, 又，所以，所以，即的最大值为. （7）（2025·浙江温州·二模）（多选题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．角的终边在第一象限 【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点， 所以：，所以，，所以，故A对； 又， ，所以的终边与单位圆的交点坐标为：，因为角的终边与角的终边关于直线对称，所以角的终边与单位圆的交点为，所以，且的终边在第一象限，故CD正确； 又因为终边在直线的角为：，角的终边与角的终边关于对称，所以，故B错误.故选：ACD （8）（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则= . 【详解】∵角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.，∴ ∴ 故答案为：. 题型四 三角函数值正负判断 例7.（1）（2025·高三·海南·期末）已知都是第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若，则即，而都是第二象限角，故，故，故“”是“”的充分条件.若，因为都是第二象限角，故，所以即，“”是“”的必要条件，所以“”是“”的充要条件.故选：C. （2）（2026广东广州·）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，， 故点在第三象限，故，，AB错误； ，因为在上单调递减，所以，故，，所以，C错误，D正确.故选：D （3）（2025·江西 ）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当时，，故充分性成立；当时，，则，正负不确定，故必要性不成立，故选：A （4）（2026.湖北黄冈九月调研）（多选题）下列说法正确的是（　　） A． B．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C．终边落在直线上的角的集合是 D．函数的定义域为 【详解】对于A，由，得，则，A正确；对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得，解得，因此扇形的弧长为，B正确；对于C，终边落在射线上的角集合为，终边落在射线上的角集合为，因此终边落在直线上的角的集合是，C错误；对于D，由，得，因此函数的定义域为，D正确.故选：ABD 例8.（1）（2026·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，则“角终边在第二象限”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若角终边在第二象限，不妨令，此时，，，取特殊值，则，，，此时，所以“角终边在第二象限”不能推出“”； 若，若终边在轴上，；若终边在轴上，无意义；所以为象限角，不妨设，若，则，因，故，得，与条件矛盾，排除；若，则，取，则，所以.所以可能成立；若，则，，所以不可能成立，排除； 若，则，，所以不可能成立，排除； 因此，由三角函数的周期性得，仅第二象限角中存在，满足.所以“”“角终边在第二象限”.所以“角终边在第二象限”是“”的必要不充分条件.故选：B （2）（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得、，， 对A：当时，，则，，此时，故A错误；对B：当时，，故B错误； 对C、D：，由，故，则，即，故C正确，D错误.故选：C. （3）（多选题）（2025·湖南·模拟预测）已知，双曲线C：，则（    ） A．可能是第一象限角 B．可能是第四象限角 C．点可能在C上 D．点可能在C上 【解析】根据题意，可得，即，即且，所以在第三象限或第四象限.故A错误，B正确；当在第三象限时，有，，，双曲线方程为，当即，时，方程为，所以点在双曲线上，故D正确；当在第四象限时，有，，，双曲线方程为，因为，所以点不在双曲线上，故C错误.故选：BD. （4）（2025·河北秦皇岛·三模）在平面直角坐标系中，“”是“为第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】先证必要性，若是第四象限的角，则，所以，因为，所以，所以，所以，“”是“为第四象限角”的必要条件，再证充分性，若，则可得不是第二，三象限的角且不是坐标轴上的角，所以，若，则与题设矛盾，所以，所以为第四象限角，所以“”是“为第四象限角”的充要条件.故选：C. 题型五 同角三角函数简单运用 例9.（1）（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【详解】当时，例如但，即推不出；当时，， 即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B （2）（2026·陕西西安·一模）设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若，又，故，即，则或，故甲无法推出乙，充分性不成立；若，则，两边平方得，所以，故乙可以推出甲，必要性成立.综上，甲是乙的必要不充分条件，故选：B. （3）（2026·山东日照·模拟预测）已知（），则（    ） A． B． C． D． 解：因为①，则，所以，则，所以，，，又，所以②，联立①②，解得，，所以. （4）（2026·陕西西安·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由．因为，，所以，，所以，又，所以，故． （5）（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【详解】由可知，易知，且，所以 ，当且仅当时，即时，等号成立，因此的最小值为3. 例10.（1）（2026·山东烟台·模拟预测）若，，则的值为______． 【详解】因为分子： 分母：，.所以原式.已知，两边同时平方可得： ，所以. （2）（2026·新疆·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，因为，所以，，，所以，又，解方程组得：.故选：D （3）（2025·湖北孝感·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，又，所以，所以，又，所以，，所以，故．故选：B （4）（2026·江苏淮安·模拟预测）已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，，所以，因为为第四象限角，所以，所以. （5）（2026·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【详解】已知，，由三角恒等式，代入得，展开化简得，两边同乘得，由，代入得，整理得，即，将代入，得. 例11.（1）（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，， 所以，故选：B. （2）（2021·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，，，，解得，，.故选：A. （3）（2026·江苏无锡·三模）若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为为锐角，则，，， ，整理可得，即，解得或，因为，故. （4）（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由 ，得 ，所以 ，于是 ，故 ，由于 ，且 ，则 ，，因此 ，. （5）（2026·四川德阳·二模）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以 ，故 因为，又，所以. 例12.（1）（25-26高三上·四川巴中·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，解得，所以，故选：A. （2）（2025·湖北咸宁·模拟预测）已知，则__________. 【详解】由两边平方，得，而， .故答案为：. （3）（2025安徽）已知，则（     ） A． B． C． D． 【解析】由题意，，∴，故选：D. （4）（2025·湖南长沙·二模）（多选题）已知，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【解析】A项：由已知：，因此，故A项正确；B项：因为，且，所以，因此．又因为，因此，故B项错误； C项：，故C项错误； D项：由方程组，解得于是，故D项正确．故选：AD. （5）（2025·河南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，所以.故.故选：D. 题型六 诱导公式的综合运用 例16.（1）（2026湖北）已知，则的值是(    ) A． B． C． D． 【详解】因为，所以，即，因为，所以.故选：B． （2）（2025·云南昭通·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以 ．故选：C． （3）（2025·广东茂名·模拟预测）已知，且，求的值为（   ） A． B． C．0 D． 【详解】，，． ．故选：A （4）（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【详解】解法一：由，得，所以， 联立，得，所以. 解法二：由，得，所以，所以则，所以. 解法三：由，得，所以，其中，.所以，，则. （5）（25-26高三下·河北衡水·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，由，得， 即，则，故. 例14.（1）（2026·辽宁·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】必要性证明：已知， 若为偶数，设，则，，故； 若为奇数，设，则，， 故，因此右边可以推出左边，必要性成立. 充分性证明：由得，根据的通解：， 代入得：，因此充分性也成立，综上，“”是“”的充分必要条件. （2）（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【详解】因为，可得．又，所以，所以．所以 （3）（25-26高三上·北京丰台·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若，则，所以， 则，所以“”“”， 另一方面，若，则或， 即或，所以“”“”，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A. （4）（25-26高三上·河南·阶段检测）设，且，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】由诱导公式有，故或，解得或，由于，当时，无整数满足条件；当时，令，可得满足条件. 故选：B. （5）（多选题）（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，则（    ） A． B．的最大值为 C． D． 【详解】根据三角函数的定义：，，因此，.选项A.，正确.选项B.，最大值为，不是，错误.选项C.，正确.选项D.，，因为，故错误.故选：AC 例15.（1）（2025·河南·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由诱导公式可知， 又，所以，所以.故选：B. （2）（2025·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【详解】令，则，从而 .故选：A （3）（2025·江西九江·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】令，则，所以由，得，即，即，得，所以，故选：C. （4）（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为 ，所以，因为 ，所以，所以 ==.故选：D. （5）（2026·北京·三模）已知，，且，．则满足条件的一组，的值可以是________，________． 【详解】由诱导公式知，所以，即 ① ，，即 ②， 因为，，故，由①得，因此，由②得，因此，由诱导公式知，又，与的取值范围一致，因此，取，则，代入①②验证均成立，符合条件，则满足条件的一组，的值可以是，.（答案不唯一） 例16.（1）（2025·安徽马鞍山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】当时，，则，所以，即，又，所以，所以，或（不恒成立，舍去），所以，当时，，则，所以，即，又，所以，所以，或（不恒成立，舍去），所以，综上，，对于A，，，此时，则，解得，不合题意；对于B，，，此时，则，解得，不合题意；对于C，，，此时，则，解得，不合题意；对于D，，，此时，则，解得，符合题意.故选：D （2）（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与的非负半轴重合，将角的终边按照逆时针方向旋转后，其终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知，角的终边过点，所以，，，所以 .故选：B （3）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知角，的终边不重合，且，则 . 【详解】由题知，则， 即，其中，.因为角，的终边不重合，所以，，则，，所以. （4）（2025·广东湛江·一模）已知，则 ． 【解析】，即．又，所以，所以． （5）（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，得，即，所以，所以.故选：C. 题型七 两角和差公式的基本应用 例17.（1）（全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B. （2）（2022·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 由已知得：,即：，即：所以故选：C （3）（2023·全国·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】因为，而，因此， 则，所以.故选：B （4）（2024.新课标全国Ⅰ卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，而，所以，故即，从而，故，故选：A. （5）（2024.新课标全国Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 例18.（1）（2026.山东青岛适应性检测）若，，则______． 【详解】由题意可得，， ，两式相加得，，即.故答案为： （2）（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，因为，所以，，，所以.故选：B． （3）（2025·安徽池州·二模）已知，则（    ） A．7 B．-7 C． D． 【详解】因为，故， 故，而，故，故， 而，故，所以，故，故，故选：D （4）（2026·福建泉州·模拟预测）若，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意： ① ②得：，分子、分母同除以，得，整理得. （5）（2026·重庆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】. 例19.（1）（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知，则（   ） A． B．14 C． D． 【详解】因为，，则 ，，两式相加减，得到，解得则.故选：A. （2）（25-26高三上·广东·阶段检测）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，，，，所以，，所以，， ，，所以，故选：C. （3）（2026·陕西商洛·一模）已知，且，则___________． 【详解】由得，解得或，又，所以，则，所以． （4）（25-26高三上·广东·开学考试）已知都是锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【详解】因为，又，所以，又都是锐角，则，所以，整理得到，解得，，则， （5）（2026.湘豫名校摸底测试）（多选题）已知均为锐角，且，则（　　） A． B． C．若，则 D．的最大值为 【详解】由，得， 即，由为锐角，得，对于AB，，A正确，B错误；对于C，由，得， 即，而，解得，C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，D正确．故选：ACD 例20.（1）（2025·安徽·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由和得，即，又因为，且，所以得，因此. （2）（2025·河南·三模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为， 即，可得， 即，．因为，则，可得， 又因为， 可得．所以．故选：D. （3）（2025·贵州黔东南·二模）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，，①，，， ②，由①②解得或，，， ，.故选：C. （4）（2025·贵州黔东南·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． （5）（2025·河北·模拟预测）已知，均为锐角，为钝角，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由可得，由于，均为锐角，故，同除得，故，即，故，当且仅当时取到等号，因此，故选：B 例21.（1）（2026·山东青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___________. 【详解】由，可得，因为，且，所以，因为角的终边不重合，所以，则，可得，所以. （2）（2026·湖南怀化·三模）已知，，则__________． 【详解】由，可得. 又，从而，则. （3）（2026·安徽滁州·三模）（多选题）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，解得，又，所以，故A正确；联立及，解得，所以，故B错误；同理根据及，解得，所以，故C正确；因，所以.故D错误.故选：AC （4）（2026·福建福州·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ，所以，. （5）（2026·安徽·三模）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为点，且在单位圆上，如图所示，点的纵坐标为，设轴，垂足为，单位圆交轴正半轴于点，设经过小时后，时针针尖所在点的坐标为，则，在直角三角形中，，因为，所以，又因为，所以点在第一象限内，设，则点坐标为， 设点，由，解得或舍去，设，则， 所以． 题型八 二倍角公式的应用 例22.（1）2026·福建·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，所以，即，即，因为，所以，，所以，. （2）（2026·重庆·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【详解】，即， 化简得，即. . （3）（2026·湖南湘西·三模）已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 【详解】由，得，即，所以，所以，所以． （4）（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】，因为，则，则，则. 故选：D. （5）（2025·山西·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由得，由，得， ，所以，故选：A. 例23.（1）（2026·河南·一模）已知∈（0，），且满足，，则______. 【详解】因为，，所以， 由得，即，所以，所以，得，所以．故答案为： （2）（2026·福建福州·模拟预测）已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为角α为锐角，且，所以．因为，，所以．又，所以，所以，所以，，. （3）（2026·甘肃·模拟预测）已知，，，都是锐角，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，，得，，两式相加得，，则，即，则，因为，都是锐角，所以，则，即. （4）（2026·陕西咸阳·三模）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，，得，，由，，得，， 所以，， . （5）（2025·河南许昌·模拟预测）已知，且满足，，则= . 【详解】由，则，又，，所以，，所以，所以. 例24.（1）（2026·湖南长沙·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由及，得.又由，得，得，所以，而，故选：B. （2）（2025·河北·模拟预测）已知角、满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，则， 则，则，又，则，即，所以.故选：D. （3）（2026·河北·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意 所以，则，所以.故选：A （4）（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【详解】因为 ，又因为，且，,所以，故， 又由于，所以，由于， （5）（2026·四川·三模）已知，，且满足，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，，，， 因为， 所以 ，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，即，因为，，则，即，则，此时， 因为，所以，则或，故当或时，等号成立， 因此，最小值为.故选：D. （6）（2025·安徽合肥·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以，故选：C. 例25.（1）（2025·广东揭阳·二模）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为为锐角，所以，又，所以，,故选：B. （2）（2025·浙江绍兴·二模）若，则（      ） A． B． C． D． 【详解】由已知得，，即， 则，故选：D． （3）（2025·安徽合肥·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由得，即， 所以，故选：D （4）（2026·福建·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，所以， 即，即， 因为，所以，，所以，. （5）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则 ． 【详解】由，得， 即，所以，所以.（6）（2025·湖南长沙·二模）已知 ，则 【详解】因为，所以，所以，所以所以.故答案为： （7）（2025·海南·模拟预测）已知满足，，则 ． 【详解】，故， 又，即①， ，故， 又，即②， 式子①+②得，即，式子②-①得，即，所以.故答案为： （8）（2026·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，因为，所以，故，所以， 即，故.故选：A. 题型九 给值求值（拼凑角）或给角求值 例26.（1）（25-26高三上·山西·开学考试）若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，则，且，可得，且；又因为，则，且，可得；所以 ．故选：D. （2）（2026.湖北黄冈九月调研）若，则（　　） A． B． C． D． 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即，将其代入，可得，即，即，所以，故得.故选：A. （3）（2026·高三·吉林长春·开学考试）已知，则 【解析】由，所以，所以，所以，即，因为，，所以，即，联立得.故答案为：. （4）（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，已知 ，所以， 因此，已知，，所以， 则 . （5）（2026·湖南岳阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．或 【详解】因为，所以，所以，因为，，所以，又，所以，，所以，所以，故选：C. （6）（2026·安徽·模拟预测）已知，且，则（    ） A．3 B． C． D．-3 【详解】由已知，可得：， 因为存在，所以，将上式两边同时除以可得，代入，得：，根据正切和公式，代入和：. 例27.（1）（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，则（） A． B． C． D． 【详解】因为所以所以 所以 即又，所以即由得 （2）（2026·河北邢台·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】令，，则，，由余弦的和差公式可得：，，展开得：， 两式相减得：，则：，即：. （3）（25-26高三上·广西钦州·阶段练习）已知，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【详解】因为，所以，化简得.①+②得，①-②得.所以.故选：C. （4）2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，都是锐角，所以,因为，， 所以，， 所以. （5）（25-26高三上·河北秦皇岛·期中）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，则，又由，所以，所以 ．故选：C． （6）（2026·湖北孝感·二模）已知、均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，为锐角，所以，，所以，所以. 因为，所以，，因为，所以，则 ，所以，， . 例28.（1）（2026·山西吕梁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】. （2）（2026·河南·模拟预测）（   ） A．1 B． C． D．2 【详解】， ， 所以． （3）（2026·广东汕头·二模）的值为（   ） A． B． C．1 D． 【详解】因为， 整理可得. （4）（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（    ） A． B．1 C． D． 【详解】因为，所以，所以 ，故选：D． （5）（2026·湖南长沙·模拟预测）___________． 【详解】，又，所以， 所以． （6）（2025·江西·一模）化简（    ） A． B． C．1 D． 【详解】由两角和的正切公式得 由诱导公式得，则原式可化为，故D正确. 例29.（1）（2026·湖南怀化·二模）（多选题）已知，则的值可能为（   ） A．1 B．－1 C． D． 【详解】因为，则或，即或． 若，则；若，则，可得，， 则，若，解得； 若，解得．故选：BCD （2）（2026·河北·一模）已知 且 则________. 【详解】令，则，且，， 由可得，即，① 又，即，②由①②两式可得， 所以，所以.故答案为：. （3）（江苏南京外国语学校等学校2026届高三年级第三次质量检测数学试题）已知满足，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为所以，， ， ，令，则， 所以①，又，即，所以， 所以，代入①得，，所以，所以． （4）（2026·安徽芜湖·模拟预测）设数列满足，则的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 【详解】 注意到，又函数的最小正周期为6，则，从而. 题型十 给值求角 例30.（1）（2026·福建泉州·模拟预测）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以.又，，，所以与同正或同负.当与同负时，为第二象限角，，与矛盾，舍去.当与同正时，为第一象限角，满足条件，所以，则.因为， ，所以.由，，得.若，则（舍去，因为）.若，则.因为，所以. （2）（2026·湖南邵阳·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】，又，， 所以，，，所以，，故，又所以，又所以，. （3）（2026·重庆江津·三模）已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 【详解】由题可知， ，由于均为锐角，且，故，同理有，故，所以，故选：A． （4）（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】原式展开化简得，则，又是锐角，则，所以，选D. （5）（2026·江苏·二模）已知锐角满足，则（   ） A． B． C． D． 【详解】锐角满足，所以,, 则,因为，所以 例31.（1）（2025·河北秦皇岛·三模）若，，且，，则 【详解】，，又，，， ，，，，， ， ，，故答案为：. （2）（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 【详解】由，，则， 故，， ，由，所以. （3）（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，，则______． 【详解】因为，展开得① 又由，可得②由①②解得，， 又由，由，可得，又因，则，，可得， 故 （4）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，，即， 即，则，又，当且仅当时，等号成立，因为，，所以，，由于在上单调递增，在上恒为负，所以的最小值为.故选：C （5）（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知锐角，满足，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得， 可得，，， 令，则，当且仅当，即时取等号， 又是锐角，则.故选：B. 例32.（1）（2025·重庆·模拟预测）已知，均为锐角，，，则 . 【解析】因为，所以，所以，因为，均为锐角，，所以，所以，所以. （2）（24-25 江苏南通·阶段练习）（多选题）已知，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， ，故选项AB正确；因为，所以，又，，所以， 因为，所以即，所以C错误，D正确.故选：ABD （3）（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）（多选题）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，由， 得，即，所以， 所以，所以或（舍去），故A正确；对于B，由， 得，即，所以，故B正确；对于C，由A选项得，所以，即，又， 所以（舍去），故C错误；对于D，由C选项知，，故D正确.故选：ABD. （4）（2025·安徽黄山·二模）已知，都是锐角，，，则 ． 【详解】由，可得，故，因，代入解得，可将看成方程的两根，解得 或，因，都是锐角，且，由，解得，而，故，则.故答案为：. 题型十一 三角恒等变换的综合应用 例33.（1）（2025·湖北荆州·三模）设，，，若满足条件的与存在且唯一，则 ， . 解：由，得，即，因为，，所以，，又，所以， 从而，所以，所以，所以，因为，所以，因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一，所以，所以，经检验符合题意，所以，则，解得，所以. （2）（2025·福建泉州·二模）若，且与存在且唯一，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【详解】，由，得，即， 所以，有，所以，，所以，因为，所以，因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一，若，有两解，其中一解中有钝角，此情况不存在.所以，解得，经检验符合题意，所以，因为，所以，所以，则，解得，所以．故选：B． （3）（2025·江苏苏州·模拟预测）记，若，则实数 . 【详解】先证明， 因为 ，所以成立， 因为，所以，即，解得，故答案为：. 例34.（2025·安徽蚌埠·三模）若，对于恒有，当取得最大值时， ． 【详解】由，得，即,由几何意义可知，函数的图像在函数，的图像之间，如下图所示，，要使达到最大，仅需要或，此时. 故答案为： 例35.（2025·重庆·三模）已知函数满足.若是方程的两根，则= . 【详解】法一：令，则，于是，则，即，又是方程的两根，所以，故. 法二：是方程的两根，所以，设，则可取，于是. 例36.（2024·安徽·三模）已知，其中，且，则 . 【详解】依题意，，所以， 所以， 而，因为，故， 则，则，即，则，解得，故. 例37.（2025·江苏泰州·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为 . 【详解】因为，所以， 所以，因为为锐角，所以两边同除得， 所以.因为为锐角，所以当时，有最大值为1，此时取到最小值为.故答案为： 题型十二 和差化积与积化和差公式的应用 例38.（2024·安徽阜阳·一模）已知，则 ， . 【解析】由可得，即， 由可得，即， 两式相加可得，即，解得，， ，所以，所以． 例39.（2025·广东·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 解， 得到，又，所以， 所以，故选：B. 例40.（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且为第一象限角，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，设， 则，因为为第一象限角，所以是第一或第三象限角， 所以，设，整理为，得（舍）或，则，，所以.故选：B 例41.（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，即所以，，因为、的终边不重合，则，则，所以，则，所以， 因此，.故选：D. 例42.（24-25高三上·江西上饶·期中）已知，满足，，则 . 【详解】因为，所以，，相加得，即，所以，相减得 ， 又， ， 所以， 所以，所以， 解得.故答案为： 例43.（2024·山东·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】， ，所以.故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $