专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的定义【12类必考点分类集训】-2027年高考数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦任意角、弧度制及三角函数定义的基础概念与应用，以考点为模块构建从概念到计算的逻辑体系，通过具体问题发展数学抽象与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |终边相同的角|5题|选择/填空|从角的概念拓展到终边相同角的表示| |象限角|5题|选择(含多选)|角的分类与象限判定的逻辑推理| |弧度制|5题|选择/解答|角度与弧度互化及实际应用| |三角函数定义|5题|选择/填空|坐标法定义三角函数的概念生成| |三角函数值应用|5题|选择/解答|由值求参数及符号判断的思维训练|

专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的定义 【考点1： 找出终边相同的角】 2 【考点2： 根据图形写出角（范围）】 3 【考点3：轴线角】 4 【考点4：象限角】 5 【考点5：弧度制与角度制】 6 【考点6：弧长的有关计算】 6 【考点7：扇形面积的有关计算】 7 【考点8：利用定义求某角的三角函数值】 8 【考点9： 由三角函数值求终边上的点或参数】 8 【考点10：各象限角三角函数值的符号】 9 【考点11： 三角函数线】 10 【考点12： 已知三角函数值求角】 10 【考点1： 找出终边相同的角】 1．（25-26高一上·黑龙江·期末）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山西晋城·期中）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是______角． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 【考点2： 根据图形写出角（范围）】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【考点3：轴线角】 1．（25-26高一下·北京朝阳·期中）集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 2．（5.1.1任意角）终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 4．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）若角的终边在轴上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一·全国·课前预习）终边落在x轴上的角的集合是（    ） A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 【考点4：象限角】 1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）角是（   ） A．第二象限角 B．第一象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（25-26高一下·陕西汉中·阶段检测）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．（专题24任意角、弧度制及三角函数的定义（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）（多选）如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．的角是第一象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．钝角都是第二象限角 D．小于的角都是锐角 【考点5：弧度制与角度制】 1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 2．（25-26高二下·天津红桥·期末）把化成弧度为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广西北海·期末）化为弧度为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）把下列弧度化成角度 (1) (2) 【考点6：弧长的有关计算】 1．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东茂名·期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（    ） A． B．4 C． D．3 3．（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ______ ． 5．（26-27高一上·湖南怀化·开学考试）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为，则该圆锥母线的长为______． 【考点7：扇形面积的有关计算】 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东枣庄·期末）底面半径为2的圆锥，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则它的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京昌平·期末）当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·四川广安·期末）圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________． 5．（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【考点8：利用定义求某角的三角函数值】 1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知角的终边经过点，则________． 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高一下·贵州·期中）若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·北京·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【考点9： 由三角函数值求终边上的点或参数】 1．（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江西九江·期中）若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 4．（25-26高一下·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知角的终边过点，且，求的值. 【考点10：各象限角三角函数值的符号】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）使得有意义的角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 2．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京·期末）若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）若角的终边与直线重合且，又是终边上一点，且，则 ________　. 5．（2026高一·全国·专题练习）确定下列式子的符号 (1)； (2)； 【考点11： 三角函数线】 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南三门峡·阶段检测）设a=sin1,b=cos1,c=tan1,则a,b,c的大小关系是（     ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 3．（25-26高一·全国·课后作业）下面四个选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·课后作业）设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（    ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 5．（26-27高一上·全国·课后作业）若α∈，试判断sin α＋cos α与1的大小关系，并给出证明. 【考点12： 已知三角函数值求角】 1．（2025高二下·湖北·学业考试）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·上海黄浦·期末）关于的方程的解集为___________． 3．（25-26高一下·上海·期中）已知，则x所有取值的集合为：___________． 4．（25-26高一下·上海浦东新·期中）已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为__________. 5．（25-26高一下·北京·阶段检测）若，且，则的值为___________. 一、单选题 1．（25-26高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ）． A．终边相同的角是相等的角 B．锐角是小于90°的角 C．终边在第二象限的角是钝角 D．相等的角终边重合 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课后作业）点落在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 4．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·新疆喀什·期末）在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是(　　) A．170° B．190° C．－190° D．－170° 6．（19-20高一下·上海·课后作业）下列命题中：①若，则；②若，则与的终边相同；③若，则是第一象限角或第四象限角；④是第三象限角的一个充要条件是且.其中真命题的个数是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多选题 7．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）下列表示中正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在第二象限的角的集合为 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线上的角的集合是 8．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 三、填空题 9．（25-26高一·全国·课后作业）若，则满足条件的角x的集合是________． 10．（25-26高一下·全国·阶段检测）已知角θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且sin θ＞0，cos θ＜0，则实数a的取值范围是________. 四、解答题 11．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为S. (1)若，求； (2)若该扇形的周长为20，求S的最大值. 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的定义 【考点1： 找出终边相同的角】 2 【考点2： 根据图形写出角（范围）】 3 【考点3：轴线角】 6 【考点4：象限角】 8 【考点5：弧度制与角度制】 10 【考点6：弧长的有关计算】 11 【考点7：扇形面积的有关计算】 13 【考点8：利用定义求某角的三角函数值】 15 【考点9： 由三角函数值求终边上的点或参数】 16 【考点10：各象限角三角函数值的符号】 17 【考点11： 三角函数线】 19 【考点12： 已知三角函数值求角】 22 【考点1： 找出终边相同的角】 1．（25-26高一上·黑龙江·期末）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先写出与角终边相同的角的集合，再赋值，即可判断选项. 【详解】与角终边相同的角的集合为形式， 令可得，，所以与终边相同，其他选项均不合题意. 故选：D 2．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）下列各角中，与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与终边相同的角的集合为：. 当时，； 若，则不是整数； 若，则不是整数； 若，则不是整数. 3．（25-26高一下·山西晋城·期中）与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出角终边相同的角的集合,再对赋值,进而判断选项即可. 【详解】与角终边相同的角的集合为, 当时,, 故选:C 【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是______角． 【答案】 【分析】根据终边相同的角的表示方法求解即可. 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是角． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】与角终边相同的角为，，再根据题目要求对k进行限制即可得到答案. 【详解】（1）由且，可得，故所求的最大负角为. （2）由且，可得，故所求的最小正角为. （3）由且，可得，故所求的角为. 【考点2： 根据图形写出角（范围）】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为： . 阴影部分终边在第四象限角的集合为： . 所以终边在阴影部分的角的集合为. 2．（2026高一·全国·专题练习）已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是________． 【答案】 【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是， 所以角的集合是． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知角的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角的集合为______. 【答案】 【分析】根据题意，可得出在范围内，终边落在阴影内的角为或；结合周期性进行化简，即可得出答案. 【详解】在范围内，终边落在阴影内的角为或， 所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为 . 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求. 【答案】 【分析】先求出阴影部分角的范围，再应用交集定义计算求解. 【详解】图中的阴影部分表示终边由逆时针旋转到的所有角， 故， 又， . 5．（26-27高一上·全国·课后作业）写出角在下列位置时的集合． (1)角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界）； (2)角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），（2）根据任意角的定义以及终边相同的角的表示，结合图形，可直接求出角的集合． 【详解】（1）角的终边在如图（1）所示的阴影中（包括边界），角的集合为：或 ； （2）角的终边在如图（2）所示的阴影中（包括边界）． 角的集合为． 【考点3：轴线角】 1．（25-26高一下·北京朝阳·期中）集合中角终边所处位置是（    ） A．轴 B．轴 C．非负半轴 D．非负半轴 【答案】B 【详解】若为偶数，设，则，角终边与终边相同，落在轴正半轴； 若为奇数，设，则，角终边与终边相同，落在轴负半轴. 综上，终边整体落在轴上. 2．（5.1.1任意角）终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 3．（25-26高一下·全国·课后作业）若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断. 【详解】由角的终边相同，则，即， 所以的终边在轴的非负半轴上. 故选：A 4．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）若角的终边在轴上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接写出终边在轴上的角，比较选项即可. 【详解】角的终边在轴上， 则，AD错在角度，弧度混用，B范围不对， 故选：C 5．（26-27高一·全国·课前预习）终边落在x轴上的角的集合是（    ） A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 【答案】C 【解析】先分别表示出终边在x轴非负半轴上的角的集合和终边在x轴非正半轴上的角的集合，再取并集即可. 【详解】因为终边在x轴非负半轴上的角的集合为S1＝{α|α＝k1·360°，k∈Z}＝{x|x＝2k1·180°，k∈Z}， 终边在x轴非正半轴上的角的集合为S2＝{α|α＝k2·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k2＋1)·180°，k∈Z}， 所以终边在x轴上的角的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·180°，k∈Z}， 故选：C． 【考点4：象限角】 1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）角是（   ） A．第二象限角 B．第一象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】，则其为第二象限角. 2．（25-26高一下·陕西汉中·阶段检测）若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可. 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 3．（专题24任意角、弧度制及三角函数的定义（七类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）（多选）若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【分析】根据角α是第二象限角的特点，求出角2α的范围进行判断即可. 【详解】因为角α是第二象限角， 所以， 所以 所以2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角， 即其终边不可能在第一、二象限. 故选：AB 4．（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）（多选）如果角是第二象限角，那么角可能是第几象限角？（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABD 【详解】因为角是第二象限角，所以， 所以， 当时，，是第一象限角，A正确； 当时，，是第二象限角，B正确； 当时，，是第四象限角，D正确； 5．（25-26高一下·全国·阶段检测）（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．的角是第一象限角 B．第二象限角大于第一象限角 C．钝角都是第二象限角 D．小于的角都是锐角 【答案】ABD 【分析】根据象限角的定义、锐角的定义逐一判断即可. 【详解】A．的角是指范围内的角，不属于任何象限，所以A不正确． B．是第二象限角，是第一象限角，显然，所以B不正确． C．钝角的范围是，显然是第二象限角，所以C正确． D．锐角的范围是，小于的角也可以是零角或负角，所以D不正确． 故选：ABD 【考点5：弧度制与角度制】 1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知某时钟现在的时间为10:10，若校准时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（   ） A．15度 B．5度 C．弧度 D．弧度 【答案】C 【分析】由题意可得校准时要回拨5分钟，确定分针转的方向和大小后即可得答案. 【详解】因为时钟比标准时间快了5分钟， 所以校准时要回拨5分钟，也就是分针要逆时针转， 而弧度. 2．（25-26高二下·天津红桥·期末）把化成弧度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所以. 3．（25-26高一下·广西北海·期末）化为弧度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故化为弧度为. 4．（25-26高一下·贵州遵义·期中）将改写成的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 5．（2026高一·全国·专题练习）把下列弧度化成角度 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】， . 【考点6：弧长的有关计算】 1．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】扇形的圆心角，其弧长，由弧度制定义，该扇形的半径， 所以该扇形的面积. 2．（25-26高一下·广东茂名·期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【详解】该圆锥母线长为，扇形弧长（即圆锥底面周长）为， 设圆锥底面半径为，则，解得， 于是圆锥的高． 3．（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为定滑轮旋转的弧长等于重物上升的长度， 又，由弧长公式， 所以重物上升了. 4．（26-27高一上·黑龙江绥化·开学考试）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为 ______ ． 【答案】 【详解】由弧长公式得， 所以它的弧长为. 5．（26-27高一上·湖南怀化·开学考试）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为，则该圆锥母线的长为______． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】设，因为圆锥的侧面展开图的弧长为，则该圆锥的底面圆的周长为， 所以，解得，所以， 又，在中，由勾股定理得． 【考点7：扇形面积的有关计算】 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用周长建立方程，求出扇形的半径，然后再利用扇形面积公式求解即可 【详解】设扇形周长为，半径为，圆心角为， 则，即，解得. 扇形面积. 2．（25-26高一下·山东枣庄·期末）底面半径为2的圆锥，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则它的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于母线长，再由弧长公式列方程求母线，最后计算侧面积和底面积. 【详解】设母线为. 圆锥侧面积，圆锥底面积 所以圆锥表面积. 3．（25-26高一下·北京昌平·期末）当代水墨画常以扇环形构图.如图，若，，，则此扇环形水墨画的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，，， 所以此扇环形水墨画的面积为. 4．（25-26高一下·四川广安·期末）圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________． 【答案】12π 【分析】侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案. 【详解】因底面半径为2，则底面周长即扇形弧长为， 又圆心角为，则扇形半径为：. 则扇形面积即圆锥侧面积为：. 5．（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 【考点8：利用定义求某角的三角函数值】 1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知角的终边经过点，则________． 【答案】 【分析】根据任意角三角函数的定义，由终边上一点的坐标求该点到原点的距离，再求正弦值． 【详解】因为角的终边经过点，所以． 因此． 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知角的终边经过点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设点P到坐标原点的距离为， 则. 3．（25-26高一下·贵州·期中）若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 4．（26-27高三上·北京·开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角函数定义可得. 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点， 所以. 【考点9： 由三角函数值求终边上的点或参数】 1．（25-26高一下·河南驻马店·期中）已知角的终边经过点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角的终边经过点，若，则，解得. 2．（25-26高一下·江西九江·期中）若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 3．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义求解. 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. 4．（25-26高一下·上海·期中）已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限， 又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以， 即，解得. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知角的终边过点，且，求的值. 【答案】 【分析】首先根据正切的定义求出，进而可求得，从而求解. 【详解】根据三角函数的定义可得，解得，所以，， 所以，，从而. 【考点10：各象限角三角函数值的符号】 1．（25-26高一下·全国·课后作业）使得有意义的角是（   ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】A 【分析】根据对数型函数有意义以及角的三角函数值的符号判断角所在象限. 【详解】要使函数有意义，则，即需或， 当时，是第一象限角；当时，是第二象限角， 所以是第一或第二象限角. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）给出下列各三角函数值，其中符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，因为，所以，故D错误. 3．（25-26高一下·北京·期末）若为第三象限角，则下列各式的值为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用任意角的三角函数值的正负结合诱导公式计算求解各个选项即可. 【详解】因为为第三象限角，所以. 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）若角的终边与直线重合且，又是终边上一点，且，则 ________　. 【答案】 【分析】先确定点位于在第三象限的图象上，从而得，再根据，求出的值，即可得答案. 【详解】因为，， 所以点位于在第三象限的图象上， 且， 所以. 所以， 所以. 5．（2026高一·全国·专题练习）确定下列式子的符号 (1)； (2)； 【答案】(1)正 (2)负 【详解】（1） ， 故，所以原式为正； （2），， 所以，故原式为负； 【考点11： 三角函数线】 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，在单位圆中应用三角函数线，如下图所示， 所以，即. 2．（25-26高一下·河南三门峡·阶段检测）设a=sin1,b=cos1,c=tan1,则a,b,c的大小关系是（     ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 【答案】C 【详解】由于，结合三角函数线的定义有：， 结合几何关系可得：，即. 本题选择C选项. 3．（25-26高一·全国·课后作业）下面四个选项中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在单位圆中分别做出角和的正弦线、余弦线以及正切线，比较它们的大小即可得出答案. 【详解】如图，在单位圆中作出角的正弦线DP、余弦线OD、正切线AT， 角的正弦线、余弦线、正切线， 由于，因此和的终边关于y轴对称， 由图可得，， ， ∴，∴A，C，D均错误，B正确． 故选：B 4．（25-26高一·全国·课后作业）设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则（    ） A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 【答案】D 【分析】画出的三角函数线，根据三角函数线即可比较大小. 【详解】∵<<，作的三角函数线， 则sin＝MP，cos＝OM， tan＝AT， ∴OM<MP<AT， ∴b<a<c， 故选：D. 【点睛】本题考查利用三角函数线比较三角函数值的大小关系，属基础题. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）若α∈，试判断sin α＋cos α与1的大小关系，并给出证明. 【答案】 若，则. 证明：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则角α的终边与单位圆的交点P在第一象限，设点P的坐标为. 法一：易知. 因为，所以， 所以. 由三角函数的定义可知， 所以. 法二：如图，过点P作轴，垂足为M，则，，，由三角形两边之和大于第三边，可知，即. 【解析】略 【考点12： 已知三角函数值求角】 1．（2025高二下·湖北·学业考试）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】①充分性：若，则，所以充分性成立； ②必要性：若，由正弦函数的性质可得，必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 2．（25-26高一下·上海黄浦·期末）关于的方程的解集为___________． 【答案】 【详解】因为，则，则或， 解得或，则其解集为. 3．（25-26高一下·上海·期中）已知，则x所有取值的集合为：___________． 【答案】 【分析】根据特殊角的余弦值以及任意角的概念可得结果． 【详解】在上，由，拓展到任意角知， 取值的集合为，或． 4．（25-26高一下·上海浦东新·期中）已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为__________. 【答案】 【分析】由题意可求，进而利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】函数，当函数值为时，则， 所以，则， 故自变量的取值集合为. 故答案为：. 5．（25-26高一下·北京·阶段检测）若，且，则的值为___________. 【答案】或 【分析】利用三角函数的特殊三角函数值求解. 【详解】解：因为，且， 所以或， 故答案为：或 一、单选题 1．（25-26高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ）． A．终边相同的角是相等的角 B．锐角是小于90°的角 C．终边在第二象限的角是钝角 D．相等的角终边重合 【答案】B 【分析】根据角的概念，举例即可说明A、C项错误；根据锐角的定义可说明B项正确；若相等的两个角始边不同，则终边也不相同，可知D项错误. 【详解】对于A项，因为，所以与终边相同，但是，故A项错误； 对于B项，锐角是大于且小于90°的角，故B项正确； 对于C项，终边落在第二象限，但不是钝角，故C项错误； 对于D项，若两个角相等，但是始边不同，显然它们的终边不相同，故D项错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数定义计算可得结果. 【详解】根据三角函数定义结合交点坐标为可得. 故选：C. 3．（25-26高二·全国·课后作业）点落在（    ） A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内 【答案】C 【分析】判断出所在的象限即可得出. 【详解】，和终边相同，且在第三象限， ， 故点在第三象限. 故选：C. 4．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义计算即可得. 【详解】由，故，， 故. 故选：C. 5．（25-26高一上·新疆喀什·期末）在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是(　　) A．170° B．190° C．－190° D．－170° 【答案】C 【详解】与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－<k<－， ∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190° 6．（19-20高一下·上海·课后作业）下列命题中：①若，则；②若，则与的终边相同；③若，则是第一象限角或第四象限角；④是第三象限角的一个充要条件是且.其中真命题的个数是 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】举例说明①②③错误，再根据三角函数符号规律证明④正确. 【详解】因为时 ，所以①错误； 因为时 的终边不相同，所以②错误； 因为时 既不是第一象限角也不是第四象限角，所以③错误； ④正确，证明如下： 必要性：是第三象限角时，，所以且； 必要性：因为，所以是第一象限角或第三象限角， 因为，所以是第四象限角或第三象限角， 因此是第三象限角 综上：是第三象限角的一个充要条件是且. 故选：B 【点睛】本题考查三角函数符号、终边相同的角，充要关系判断，考查基本分析论证与判断能力，属基础题. 二、多选题 7．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）下列表示中正确的是（    ） A．终边在轴上的角的集合是 B．终边在第二象限的角的集合为 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线上的角的集合是 【答案】ABC 【分析】利用终边相同的角的概念和象限角的概念进行判断即可. 【详解】A，B中表示显然正确； 对于C，终边在轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合为，其并集为，故C中表示正确； 对于D，终边在直线上的角的集合为或，其并集为，故D中表示不正确． 故选：ABC 8．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】AD 【分析】根据，计算判断即可． 【详解】因为，所以选项A正确； 因为，所以选项B不正确； 因为，所以选项C不正确； 因为，所以选项D正确， 故选：AD． 三、填空题 9．（25-26高一·全国·课后作业）若，则满足条件的角x的集合是________． 【答案】或 【分析】直接解三角方程即可得到答案. 【详解】因为，所以或， 解得：或. 所以满足条件的角x的集合是或. 故答案为：或. 10．（25-26高一下·全国·阶段检测）已知角θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且sin θ＞0，cos θ＜0，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】由“sin θ＞0，cos θ＜0”和象限角的知识可以判断出为第几象限角，进而判断点在第几象限，可确定该点横、纵坐标的符号，从而得到关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角， 且θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且所以， 解得－2＜a＜3. 故答案是：(－2,3). 四、解答题 11．（25-26高一下·辽宁·阶段检测）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为S. (1)若，求； (2)若该扇形的周长为20，求S的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用面积公式与弧长公式计算即可得； （2）利用基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由题意得，解得，所以； （2）由题意知，则， 当且仅当时，等号成立，即S的最大值为. 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点P，且点P的横坐标为． (1)求，的值； (2)求的值 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）如图点在第二象限，又因为点在单位圆上，且点的横坐标为， 所以，则，； （2）原式 =. 学科网（北京）股份有限公司 $