2.1.1 倾斜角与斜率 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.1　倾斜角与斜率 课时作业 【知识梳理】 1.倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴　　　　与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　　　　 2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为　　　　. 3.把一条直线的倾斜角α的　　　　叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=　　　　. 4.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=　　　　，当x1=x2时，直线P1P2的斜率　　　　. 5.直线的方向向量与斜率的关系： (1)直线P1P2的方向向量=　　　　，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=　　　　，其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为　　　　. 【基础巩固】 1.在平面直角坐标系中，若直线l为第一、三象限的角平分线，则直线l的倾斜角是(　　) A.120° B.135° C.60° D.45° 2.(多选)已知点A(2，-1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可以为(　　) A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) 3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 4.(多选)已知直线l经过点A(-1，m)，B(m，1)，则下列结论正确的是(　　) A.若直线l与x轴平行，则m=1 B.若直线l与y轴平行，则m=-1 C.若直线l的一个方向向量为(-3，1)，则m= D.若直线l的倾斜角为45°，则m=0 5.已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上，则实数a的值为　　　　. 【能力提升】 6.若直线l的方向向量是(2，2cos θ)，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 7.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 8.若经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-1)∪∪(3，+∞) B.∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪∪(1，+∞) D. 9.已知点A(2，3)，B(-3，-2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　. 10.过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是，求实数m的取值范围. 【滚动练习】 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱AA1，A1D1的中点，=λ，若AP∥平面BEF，则实数λ的值为　　　　. 12.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，PA=2，点M在线段PC上运动，则点M到AB距离的最小值为　　　. 2.1.1　倾斜角与斜率 课时作业答案 【知识梳理】 1.倾斜角的定义： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3.把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan α. 4.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=，当x1=x2时，直线P1P2的斜率不存在. 5.直线的方向向量与斜率的关系： (1)直线P1P2的方向向量=(x2-x1，y2-y1)，当x1≠x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为=(1，k)，其中k为直线P1P2的斜率. (2)当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量为(0，1). 【基础巩固】 1.在平面直角坐标系中，若直线l为第一、三象限的角平分线，则直线l的倾斜角是(　　) A.120° B.135° C.60° D.45° 答案　D 解析　因为直线l为第一、三象限的角平分线，所以直线l向上的方向与x轴正向所成的角为45°，故直线l的倾斜角是45°. 2.(多选)已知点A(2，-1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标可以为(　　) A.(3，0) B.(-3，0) C.(0，-3) D.(0，3) 答案　AC 解析　设在x轴上点P的坐标为(m，0)或在y轴上点P的坐标为(0，n)，因为直线PA的倾斜角为45°，可得kPA=1，得==1， 解得m=3，n=-3，故点P的坐标为(3，0)或(0，-3). 3.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 答案　A 解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0， 即k1<0，k2>k3>0.故k1<k3<k2. 4.(多选)已知直线l经过点A(-1，m)，B(m，1)，则下列结论正确的是(　　) A.若直线l与x轴平行，则m=1 B.若直线l与y轴平行，则m=-1 C.若直线l的一个方向向量为(-3，1)，则m= D.若直线l的倾斜角为45°，则m=0 答案　ABD 解析　若直线l与x轴平行，则直线l的斜率为=0，∴m=1，故A正确； 若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m=-1，故B正确； 若直线l的一个方向向量为(-3，1)，故直线l的斜率为-，即=-，解得m=2，故C错误； 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为1，即=1，解得m=0，故D正确. 5.已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上，则实数a的值为　　　　. 答案　2或 解析　∵三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在同一条直线上， ∴kAB=kBC，∴=，∴9a2-20a+4=0， ∴a=2或a=. 【能力提升】 6.若直线l的方向向量是(2，2cos θ)，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪ 答案　C 解析　因为直线l的方向向量是(2，2cos θ)， 所以直线l的斜率k==cos θ， 因为-1≤cos θ≤1， 所以-1≤k≤1，又直线l的倾斜角为α，α∈[0，π)， 则-1≤tan α≤1， 所以0≤α≤或≤α<π，即α的取值范围为∪. 7.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD=kBC=tan 60°=. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB=kCD=0， 由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC=tan 30°=，kBD=tan 120°=-. 8.若经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-1)∪∪(3，+∞) B.∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪∪(1，+∞) D. 答案　A 解析　由已知得kAB===>0， 所以解得 故实数m的取值范围是(-∞，-1)∪∪(3，+∞). 9.已知点A(2，3)，B(-3，-2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是　　　　　　. 答案　 解析　∵kAP==2， kBP==，如图， 又直线l与线段AB始终没有交点， ∴斜率k的取值范围是. 10.过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是，求实数m的取值范围. 解　由直线的倾斜角α的取值范围是，得当直线的斜率存在时，k<-1或k>1. 即当m≠2时，k==， ∴<-1或>1， 解得0<m<2或2<m<4； 当直线的斜率不存在时，m=2，符合题意. 综上，实数m的取值范围是(0，4). 【滚动练习】 11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱AA1，A1D1的中点，=λ，若AP∥平面BEF，则实数λ的值为　　　　. 答案　 解析　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(2，0，1)，F(1，0，2)， 则=(-2，0，0)，=(0，-2，1)，=(-1，-2，2)， 由=λ=(-2λ，0，0)，λ∈R，可得P(2-2λ，2，0)，则=(-2λ，2，0)， 设平面BEF的法向量为n=(a，b，c)， 则 令b=1，可得a=c=2，即n=(2，1，2)， 又因为AP∥平面BEF，则·n=-4λ+2=0，解得λ=. 12.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=1，AD=2，PA=2，点M在线段PC上运动，则点M到AB距离的最小值为　　　. 答案　 解析　以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，C(1，2，0)， 设=λ，M(x，y，z)，λ∈[0，1]， 则(x，y，z-2)=λ(1，2，-2)， ∴即M(λ，2λ，2-2λ)， ∴=(λ，2λ，2-2λ)， 直线AB的单位方向向量为u=(1，0，0)， ∴M到AB的距离为 == =2， ∴当λ=时，上式取最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $