2.1.1 倾斜角与斜率 同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础夯实+例题精练”分层设计，以倾斜角与斜率概念为起点，经运算深化至综合应用，适配新授课知识巩固，培养数学运算与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|倾斜角定义、斜率公式、方向向量等单一知识点|单选/多选/填空聚焦概念辨析与基础运算，如斜率计算、倾斜角范围判断，强化运算能力| |例题精练|斜率与倾斜角综合应用、几何图形中斜率关系|解答题结合菱形等几何情境，如求各边及对角线斜率，发展几何直观与推理能力|

2.1.1 倾斜角与斜率 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）当m为何值时，经过两点，的直线的斜率是12？ （2）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是60°？ （3）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是钝角？ 【例2】已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【例3】直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【例4】已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【基础夯实】 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A． B． C． D．不存在 2．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 3．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 4．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 5．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 6．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 8．若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 9．已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 11．已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 12．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 四、解答题 13．如图所示，菱形ABCD中，，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1 倾斜角与斜率 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】（1）当m为何值时，经过两点，的直线的斜率是12？ （2）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是60°？ （3）当m为何值时，经过两点，的直线的倾斜角是钝角？ 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）由斜率公式计算斜率后可得； （2）由斜率公式计算斜率，由斜率等于可得； （3）由斜率公式计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系可得． 【详解】（1）由题意，； （2）由题意，解得； （3）由题意，解得或． 【例2】已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，由此可得出当直线与线段无公共点时直线的斜率的取值范围； （2）分、两种情况讨论，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是．    故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 【例3】直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． 【例4】已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】． 【分析】根据角度关系得，再根据两点斜率公式即可求出的坐标，则得到直线倾斜角. 【详解】设．．． 又， ，即． 又，垂直于轴． 直线的倾斜角为． 【基础夯实】 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解. 【详解】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. 3．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 4．若经过，两点的直线的方向向量为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，向量与向量共线， 因此，所以. 5．过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 6．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 二、多选题 7．下列叙述中正确的有（    ） A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B．若直线斜率，则它的倾斜角为 C．已知点，，则直线的倾斜角为 D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BCD 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】对于A，当时，斜率不存在，故A错误； 对于B，当直线斜率时，它的倾斜角为，故B正确； 对于C，由，，则直线轴，倾斜角为，故C正确； 对于D，因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为1， 由于，因此这条直线必过点，故D正确. 故选：BCD 8．若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】BCD 【分析】由两点的斜率公式求得，由此得，求解即可. 【详解】由题意得，即，所以， 故选：BCD． 9．已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，求出直线、的倾斜角即得解. 【详解】设，由题得,所以直线的倾斜角为. 由题得,所以直线的倾斜角为. 由图可知直线与线段相交，须满足直线的倾斜角. 故选：BC 三、填空题 10．若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为________． 【答案】 【分析】根据方向向量计算斜率，利用斜率与倾斜角的关系计算． 【详解】由直线的方向向量， 可得斜率，则倾斜角满足； 因为，可得． 11．已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 12．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系，，即可求解. 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 四、解答题 13．如图所示，菱形ABCD中，，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．    【答案】直线AD，BC的倾斜角为，直线AB，DC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；直线BD的倾斜角为， ，，，. 【分析】由菱形的结构特征和在坐标平面中的位置，求各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 【详解】菱形ABCD中，，则和都是等边三角形， 则直线AD，BC的倾斜角为，直线AB，DC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；直线BD的倾斜角为， ，，，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $