河南安阳市部分校2026-2027学年高二年级上学期过程性作业评价数学试卷(人教A版)

高二年级过程性作业评价 数学（人教A卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．若直线的倾斜角为，则实数的值为 A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则整数的最小值为 A． B． C． D． 4．设空间向量，，若，则 A． B． C． D． 5．已知圆锥与圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是圆柱母线长的2倍，若圆锥的母线与底面所成的角为，则圆锥的表面积与圆柱的表面积之比为 A． B． C． D． 6．记，，，，，每次从中有放回地随机选取一个空间向量，则将两次选取得到的空间向量相加后与垂直的概率为 A． B． C． D． 7．某无人机欲借助一次镜面反射，将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．若入射激光的方向向量与镜面的某法向量的夹角为，则反射激光的方向向量与这个法向量的夹角为，且入射激光的方向向量、反射激光的方向向量与镜面的法向量三个空间向量共面，则反射激光的方向向量可以是 A． B． C． D． 8．在中，，，则的面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则 A． B．是纯虚数 C． D．是实数 10．设向量，，则 A．当时， B． C．当时， D． 11．在平行六面体中，，，，，点满足，则 A．点在平面内 B．平行六面体的体积为 C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．斜率为4且过点的直线的一般式方程为__________． 13．若，则__________． 14．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且．已知，点满足．则的最小值为__________；当取得最小值时，二面角的余弦值为__________．（第一个空2分，第二个空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在空间直角坐标系中，，，，直线的方向向量为． （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分） 设函数． （1）求的值域； （2）若曲线关于轴对称，其中，求的所有可能的取值． 17．（15分） 已知函数，． （1）若恒成立，求的取值范围； （2）讨论函数的单调区间． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，点在底面内的投影恰为矩形的中心，点为的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求的值； （3）若，平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 19．（17分） 在四面体中，，，，，， （1）求的值； （2）设为的重心，证明：平面，并求到平面的距离； （3）设是直线上一点，且．证明：在线段上，并求四面体的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级过程性作业评价 数学（人教A卷）参考答案 1.A【解析】由2x>4,得x>2,由x2-3x-4<0,得-1<x<4,故A∩B={x|2<x<4}. 故选A. 2.D【解析】将直线整理得y=一 十5，可知日=am-an-解得a=5v. 5 6 6 故选D. 3.B【解析】由条件可知应有x2十ax十9>0恒成立，所以△=a2一36<0，解得a∈(-6,6)，所以整数a的最 小值为一5. 故选B. .a·b 2 11 4B【解折1抽条件知0e<a,6>=8而V4+4XV1十云V2十272，即2+2x=4,故x=1,所 以b|=√1+x2=√2. 故选B. 5.B【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为2，由0s了-2，得r=L,可知圆柱的母线长为，于是圆 的表面积S,=r(r+21)=3,圆柱的表面积S2=22+2πrl=4r,两者之比为 故选B. 6.C【解析】两次选取得到的空间向量相加进行列表可得 (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,1) (1,0,0) (2,0,0) (1,1,0) (1,0,1) (2,1,1) (0,1,0) (1,1,0) (0,2,0) (0,1,1) (1,2,1) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1) (0,0,2) (1,1,2) (1,1,1) (2,1,1) (1,2,1) (1,1,2) (2,2,2) 设m=(x,y,之)，由OA⊥m,得OA·m=0,即x=之，由表可知，满足要求的空间向量共6个，故所求概率 pP品- 故选C. 7.A【解析】设反射光线的方向向量为v=x(1,1,1)十y(1,2,-2)=(x十y,x十2y,x一2y),入射激光的方向 向最与比法向量的夹角。的余度值为只：X:-改反新光线的方向向量与此法向结的夹 √1+4+4×√1+1+1 √(x+y)2+(x+2y)2+(x-2y)2X√5 9,即 角的余弦值为二是，即z十y2十2y,z一2·1,1，D3 3x+y √3.x2+2xy+9y7 =-3,令x= -1,解得y=,检验成立。 故=（合，2，-4，因为2(2,2，-4）=(1,4，-8. 故选A. &.C【解析】3 sin A+2 sin Bsin C=V3sinA+cosA+cos(B+C)+2 sin Bsin C=2sin(A+F)+ cos Beos C+--sin Bsin C=-2sin(A+S)+cos(B-C)=3,又sin(A+F)∈[-1,1]，cos(B-C)∈[-1,1]， 所以snA+若）=1，c0s(B-C)=1,所以A+看=乏，B=C,可得A=行AC=AB=2,故△ABC的面积 ·数学（人教A卷）答案（第1页，共5页）· S=号AB·ACsin A=5. 故选C. 9.AB【解析】对于A,z=2-i-1=1-i,x=√1+(-1)=√2，A正确； 对于B,之2=1一2i十=一2i,是纯虚数，B正确； 对于C,2x2+2z+1=-4i+2-2i+1=3-6i≠0，C错误； z-2==1+i_-1+)1+310=-1+i-3i-3--2-1: 对于D,2-2i1-3i-(1-3)(1+3D） 10 一5一5，不是实数，D错误 故选AB. 10.ACD【解析】对于A,当0=π时，a=(0,1,一1)，b=(-1,0,0),a·b=0,故a⊥b,A正确； 对于B,|a|=√sin0+1+cos0=√2，lb|=√cos0+sin0sina+sin0cosa=√cos0+sin0=1,|a|= √2|b|,B错误； 对于C,由a∥b,得sin0sina=cos0,sin0cosa=cos0sin0sina,若sin0=0,则cos0≠0，矛盾，于是 cos a=cos 0sin a,sin2Osin acos a=cos20sin a=(1-sin20)sin a,sin20sin a(1+cos a)=sin20sin a+(1- sin0)sina=sina,C正确； 对于D,由辅助角公式知asin x十bcos x=√a2+bsin(x十p)≤√a2+b,于是a·b=sin0cos0+sin0sina+ m0oa0csa<名sn20+V6量0+s0cs0-名n29+V-g20+1-eoe20)=7n20+ /1-c0s201 √厂7eos20+1)2+1<2sin29+1,即2a·b≤2+sin20,D正确， 1 故选ACD. 11.ABD【解析】对于A,由BB1∥AA1,BC1∥AD1可得BP=xBC十yBC,所以P在平面BB1C1C内，A 正确； 对于B,由cos∠A1AB=A,得ABLA1B,同理，ADLA,D,而易得ABLA1D1,由A1B∩A,D,=A A1BC平面A1BCD1,A1D1C平面A,BCD1,得AB⊥平面A1BCD1,由A,CC平面A1BCD1可得A1C⊥ AB.同理可得A,C⊥AD,而AB∩AD=A,ABC平面ABCD,ADC平面ABCD,可得A1C⊥平面 ABCD,于是A,C是平行六面体ABCD-A,B,C1D1的高，而AC=2√2，由勾股定理，得A,C= √A1A-AC=2W2,故平行六面体ABCD-A1B1C,D1的体积V=AB·AD·A1C=2X2X2√2=8V2, B正确； 对于C,BP=xAD+y(AD+AA)=(x十y)AD+yAA,代人选项得BP=3yAD+yAA,而BC=AD, 故B.BC=3yA市+Ad.AA=12y+y…2·4·2=16,面BP=%9A+A+6Ad·A,= _16y4V19 2V19y,故cos∠PBC=BP·BC29, 9,C错误， 对于D,A户=A店+(x+y)AD+yAA,代人选项得A户=A店+2AD+AA,于是AP2=AB2+4AD+ Ai+.AD+ad.AA+2a正.A=4+4X4+16+4X2×1×号+2×2×4X合-60，放AP= 2√15，D正确. 故选ABD. 12.4x-y-3=0【解析】由题意，得y一1=4(x-1),整理得4x一y-3=0,故所求直线的一般式方程为4x- y-3=0. ·数学（人教A卷）答案（第2页，共5页）· 3.或2【解折设0g:x,电2408xDX0gx=20,得-=1-1，即G2-D1-D=0,翩 1 得t=1或t=-1,故x=2或x=2. 14.V3,-号（第-个空2分，第二个空3分）【解析】由Oi,O店，0心两两垂直，得0p=9[2+:2+(1-2)]= 54(》°+3≥3，且g∈0，]，放当：=号时，0P取得最小值y原.此时O市-号O耐+O店+0心)，从而 pi.0币=Oi-0币).0°=0i.O-O=}O-O=3-3=0,同理，P馆.O=0,故P41 OP,PB⊥OP,所以∠APB为二面角A-OP-B的平面角，又PA2=PB2=OA2-OP2=9-3=6,AB2= 04+0B=9+9=18,由余弦定理，得c03∠APB=PA+PBDA8-6618=-2,即二面角A☐ 2PA·PB 2×6 OP-B的余弦值为- 15.解：(1)由题意，得AB=(1,1,1), (2分) 设直线1与直线AB所成的角为a,则cosa |AB·m 11-2+2 3 |AB1|m|√I+1+IX√1+4+49 (6分) (2)由题意，得CA=(1,2,-1), (8分) 设平面ABC的法向量为n=(x,y,之)， A店=0即z+y+=0 则 可取n=(-3,2,1). (10分) n.CA=0,x+2y-z=0, 设直线1与平面ABC所成的角为0， =设-- 421 (13分) 16解：e)=2n+ca+）-gaE+gosx=8smg+君） (3分) 由-1≤sinz+)≤1，得-3≤f(x)≤3，故f(x)的值域为[-5W]. (6分) (2)由(1)，得f(x+)=5in(+k+若）， (7分) 由曲线y=(x十)关于)轴对称，得k+答-2十x,m∈Z, (11分) 故&=5十m,n∈Z 又因为0<<号，故&的所有可能的取位为管督行，9 (15分) 17.解：(1)设t=2r,由题意，得t2-at+1>0,其中t>0. (1分) 该式可转化为+}>， (2分) 1 而计≥22·=2，当且仅当=1，即x=0时，等号成立， (4分) 所以a的取值范围是（一∞，2）， (6分) 1 (2)设s=(2),g(s)=s2-as+1,s∈(0，+∞). (7分) ·数学（人教A卷）答案（第3页，共5页）· 显然s=s(x)是减函数， (8分) 当a≤0时，g(s)单调递增，可知f(x)在R上单调递减， (10分) 于是f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间. (11分) 当a>0时，g(s)在0，号)上单调递减，在(？，十∞）上单调递增， (12分) 由（分）=2得x=1-1og:a, (13分) 所以f(x)的单调递减区间为（一∞，1一log2a),单调递增区间为(1一log2a,+∞）. (15分) 18.解：(1)证明：记O为AC与BD的交点，则PO⊥平面ABCD, (2分) 又POC平面PBD,所以平面PBD⊥平面ABCD. (4分) (2)由矩形性质可知AB=DC, 即PB-PA=PC-PD,故PC=-PA+PB+PD, (6分) 由PA,PB,PD不共面，可得x=-1,y=z=1,于是x-y+之=-1. (8分) (3)如图，以O为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AD的方向为y轴正方向，OP的方向为之轴正方向， 建立空间直角坐标系O-xyz. 不妨设AB=2,0P=2h,则A(-1,-2,0),B1,-2,0),C(1,2,0),D(-1,2,0,P(0,0,2h),E(分，1 h）,Ai=(04,0),A庐-(1,2,2h),Bi-(-23,h),Di=(经，-1，h) (10分) 记平面PAD的法向量为n1=(x1,y1,之1)， n1·AD=0,y1=0, 则 即 n1·A户=0，x1十2y1+2hx1=0 可取n1=(-2h,0,1). (12分) 记平面BDE的法向量为n2=(x2,y2,之2)， 1 n2·BE=0, -2x2十3y2十h22=0, 则 即 可取n2=(2h,h,-2). (14分) n2·Di=0, 2x?-y2+hz2=0, 记平面PAD与平面BDE的夹角为a, |n1·n2l=I-2hX2h+1×(-2)L 4h2+2 则cosa=m,n,-√4h2+1×√5+4 =2w5 √4h+1X√5h+45, 解得h2=1. (16分) 于是拾=- 2 2 (17分) 19.解：(1)由数量积的运算律，得10A+OB+OC12=1OA12+1OB12+1O心12+20A.O店+2OA.OC+ 20B·0C=36,故1OA+0B+0C1=6. (4分) (2)证明：因为G为△ABC的重心，所以O元-=子(O+O+OC), ·数学（人教A卷）答案（第4页，共5页）· 于是30G.Ai=(OA+O+OC)·(Oi-OA)=1o2-1OA2+0C.OB-0C.OA=0, 30G AC=(OA+0B+0C).(OC-OA)=OC2-0A2+0B.OC-OB.OA=0. (6分) 所以OG⊥AB,OG⊥AC,又AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,所以OG⊥平面ABC. (8分) 由(1)，得0G-31OA+Oi+0C=2,故0到平面ABC的距离为2. (10分) (3)证明：由于D在直线AC上，设AD=λAC,则BD=BA+AD=OA-OB+入(OC-OA). 由BD⊥AC,得[OA-O+入(OC-OA)]·(OC-OA)=0,整理得4-6-1+2+λ(7+6-8)=0，解得 因为0≤5≤1，所以D在线段AC上. (13分) 又AB=0i-0=9+6-2X2=I1,AC=元-Oi=7+6-2X4-5,放AD=23AC-号， 因为BD1AC,所以BD⊥AD,从面BD=AB-AD=1吉华 放△ABC的面积为4C·BD=×后X√-35 (15分) 由（②，知0到平面ABC的距离为2，所以四面休0A5C的体积为×3yX2=5。 2 (17分) ·数学（人教A卷）答案（第5页，共5页）·