第一章 集合与常用逻辑用语单元能力提升卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又， 所以 2．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图确定阴影部分为，然后再由集合的运算求解. 【详解】由已知得， 所以阴影部分为. 3．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）下列命题中真命题是（    ） A．四边形对角线互相垂直是四边形是菱形的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 【答案】D 【详解】选项A：菱形的对角线必互相垂直，但对角线互相垂直的四边形若不满足对角线互相平分则不是菱形，故“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件，A为假命题； 选项B：解不等式，得，即，取满足，但不满足，充分性不成立，B为假命题； 选项C：，得，故是的充要条件，C为假命题； 选项D：为无理数，所以充分性不成立；为有理数，但都是无理数，所以必要性不成立， 故或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件. 4．（26-27高一上·贵州·阶段检测）已知集合，若，则的取值构成集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据子集的定义可得或，讨论求解，注意集合元素的互异性. 【详解】由，可得或， 若，即，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，不符合集合元素的互异性，舍去. 综上，的取值构成的集合为. 故选：B. 5．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】C 【分析】将所有非空子集的元素乘积之和看作 展开式中除常数项 外各项之和，直接计算即可． 【详解】由乘法分配律， 展开后，每一项都对应集合 的一个子集：选择因式中的元素项表示该元素被选入子集，选择 表示该元素不被选入． 因此，包含常数项在内的展开式各项之和为 其中常数项 对应不选任何元素，而题目只统计非空子集，所以 6．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 7．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 8．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【分析】根据所有子集的并集不等于集合可知集合中至少比所有非空子集的并集多一个元素，仅多一个元素时可以求得最大，再进行反证法验证即可. 【详解】由可知所有非空子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素1，则所有非空子集均不含元素1，即是集合非空子集， 集合的非空子集个数为，且这些子集的并集必不含1，满足条件. 假设，要满足所有非空子集的并集不等于集合，必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是1，那么个非空子集都不含元素1， 即每个子集都是集合的非空子集， 而集合只有个不同的非空子集， 所以无法从中取出至少16个不同的非空子集， 因此假设不成立，必须小于16，所以的最大值为15， 故选：A. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．与是同一个集合 B．已知全集为，则和等价 C．集合与集合是同一个集合 D．已知命题；命题，则和都是真命题 【答案】BD 【详解】对于A，表示空集，不含任何元素，而是一个包含了一个元素的集合， 两者不是同一个集合，故A错误； 对于B，表示的元素一定属于，表示全集中不在中的元素构成的集合， 则也表明的元素一定属于，因此，故B正确； 对于C，：自变量是的取值，，该集合是， ：函数值的取值，集合是，故C错误； 对于D，对于命题，取，发现是假命题，则是真命题； 对于命题，取时成立，则是真命题，故D正确； 10．（26-27高三上·湖南·阶段检测）设集合，，则（    ） A． B． C．若集合，则 D．若集合，则 【答案】ACD 【详解】集合是模3余1的整数， 是模3余2的整数，则，故A正确； 3的倍数既不属于集合，又不属于集合，故，故B错误； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故C正确； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故D正确． 11．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）对于有序数组，称运算满足如下规则： ① ； ② 若为正整数，； 我们称有序数组为平衡组，当且仅当均为非负整数，且． 下列说法正确的是（    ） A．若都是平衡组，则一定是平衡组 B．若是平衡组，为正整数，则一定是平衡组 C．是平衡组 D．存在两个平衡组，使得 【答案】ABD 【详解】对于选项A，设，均为平衡组， 则，，且各分量为非负整数.， 且， 又均为非负整数，故是平衡组，故A正确； 对于选项B，若是平衡组，则，为非负整数，， ，为非负整数，故是平衡组，故B正确； 对于选项C，对，，不满足，不是平衡组，故C错误； 对于选项D，设为平衡组，则， 由， 得，代入， 得，符合上式. 取一组非负整数解：， 则，二者均为平衡组，且， 故存在两个平衡组，故D正确. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（26-27高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，，，则______． 【答案】 【详解】因为，，所以. 又，所以. 13．（25-26高一上·湖南·期中）某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有___________人. 【答案】5 【分析】设三类课程都选择参加的学生有x人，由题意得，解方程可求得结果 【详解】设三类课程都选择参加的学生有x人， 由题意得，解得. 故答案为：5 14．（25-26高一上·河南平顶山·期中）已知集合，，且，则实数的取值集合是_________ 【答案】，或 【分析】化简集合，由条件可得，结合集合的包含关系列关系式，由此可得结论. 【详解】因为方程的解集为， 所以， 因为，所以或或或， 又， 所以或或或， 所以或， 所以的取值集合是，或. 故答案为：，或. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）根据并集的概念求解； （2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解； 【详解】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. 16．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交集和并集的概念，求出结果即可； （2）根据集合的包含关系，判断集合B的情况，进行分类讨论，求出参数范围. 【详解】（1）当时，可得，， 所以，. （2）分两种情况： ①当时，可得，解得，满足； ②当时，可得，解得， 综上所述，. 17．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，由得，分和非空两类讨论求的取值； （2）由命题为真得，求解中方程的根，结合子集关系求的值 【详解】（1）解方程，得或，故. 因为，所以，分情况讨论： ① 当时，，满足； ② 当时，方程的解为，需使： 若，解得；若，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由得，解得或. 因为命题：“，都有”，若命题为真命题，则，且： ① 当时，即，则，显然，符合条件； ② 当时，，由得，解得，此时，符合条件. 综上，实数或. 18．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，或， (2) 【详解】（1）当时，，结合， 则，，或，； （2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以且，即； 首先判断集合的空集情况：， 其判别式，即恒成立， 故对任意恒成立，即； 要满足 ，需满足不等式组：，且两等号不能同时成立； 解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或， 取二者公共部分得， 当时，，，此时，不符合题意， 故实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知集合，，，且. (1)求集合的真子集的个数； (2)求实数的值组成的集合； (3)若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求解集合，再结合集合的子集个数即可求解； （2）先求解集合，再结合集合的包含关系即可求解； （3）先求解集合、，再结合集合和集合的定义规则即可求解. 【详解】（1）已知集合，解方程，得或，故， 由可知，是的所有子集构成的集合， 集合有个元素，故的子集共个，即含个元素， 所以的真子集个数为. （2）由（1）可知，，集合， 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无解，，空集是任意集合的子集，符合条件； ② 当时，，由得或，解得或； 综上，实数的取值集合为. （3）由（1）可知，， 由且，得或，故，所以， 由得的候选值为，由于集合， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故，所有元素的和为. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（26-27高一上·安徽亳州·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 3．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）下列命题中真命题是（    ） A．四边形对角线互相垂直是四边形是菱形的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 4．（26-27高一上·贵州·阶段检测）已知集合，若，则的取值构成集合为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·河南信阳·阶段检测）集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 6．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 7．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．与是同一个集合 B．已知全集为，则和等价 C．集合与集合是同一个集合 D．已知命题；命题，则和都是真命题 10．（26-27高三上·湖南·阶段检测）设集合，，则（    ） A． B． C．若集合，则 D．若集合，则 11．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）对于有序数组，称运算满足如下规则： ① ； ② 若为正整数，； 我们称有序数组为平衡组，当且仅当均为非负整数，且． 下列说法正确的是（    ） A．若都是平衡组，则一定是平衡组 B．若是平衡组，为正整数，则一定是平衡组 C．是平衡组 D．存在两个平衡组，使得 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（26-27高一上·湖南衡阳·开学考试）已知，，，则______． 13．（25-26高一上·湖南·期中）某学校开设校本课程，高一（2110）班确定了数学类､英语类､历史类三个类别校本课程供班上的40名学生选择参加，且40名学生全部参与选择.其中只选数学类的有8人，只选英语类的有8人，只选历史类的有8人，既选数学类又选英语类的有7人，既选数学类又选历史类的有11人，既选英语类又选历史类的有8人，则三类课程都选择参加的有___________人. 14．（25-26高一上·河南平顶山·期中）已知集合，，且，则实数的取值集合是_________ 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 16．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 17．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值． 18．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知集合，，，且. (1)求集合的真子集的个数； (2)求实数的值组成的集合； (3)若集合，定义：集合，求集合中所有元素的和. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $