第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元提升卷，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，全面考查集合运算、逻辑用语等核心知识，适配单元复习时的综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算（第2题）、命题否定（第1题）、Venn图（第3题）|基础题巩固概念，多选题（第9题）考查逻辑辨析| |填空题|3题/15分|集合元素关系（第13题）、实际统计（第12题）|结合生活情境（棋类竞技人数），体现应用意识| |解答题|5题/77分|充分条件（第17题）、新定义运算（第19题）|梯度设计，创新题（第19题）培养数学思维与创新意识|

第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）下列说法中正确的有（  ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10．（多选）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（   ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对，都赞成的有21人 D．对，都不赞成的有8人 11．（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为丰富校园文化活动，某学校举行了“棋类竞技”活动，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加象棋，有8人参加军棋，有14人参加跳棋比赛，同时参加军棋和象棋的有3人，同时参加象棋和跳棋比赛的有3人，同时参加三项比赛的同学有1人，则同时参加军棋和跳棋比赛的有______人． 13．已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______． 14．已知集合，其中，且,若的所有元素之和为20，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 16．（15分）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得真包含真包含，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 17．（15分）设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．（17分）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 19．（17分）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D D B C A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 4 13． 14．5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 16．（15分） 【解析】（1）当时， ， ． 又因为真包含真包含，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 17．（15分） 【解析】（1）由，可得，解得， 所以，或， 当时，集合，即， 所以，或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，，解得，满足题意， 当时，， 由得，由得，由得， 所以， 综上，实数的取值范围是. 18．（17分） 【解析】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 19．（17分） 【解析】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定为“，”. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则或， 又，则. 故选：A. 3．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得阴影部分区域内元素且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由于，故A错误； 对于B，由于或， 所以，故B错误； 对于C, 由于或，所以或，故C错误； 对于D，由于或，所以，故D正确； 故选：D． 5．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 6．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 7．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是． 故选：A 8．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）下列说法中正确的有（  ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 10．（多选）向50名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多1人.则（   ） A．赞成的不赞成的有9人 B．赞成的不赞成的有11人 C．对，都赞成的有21人 D．对，都不赞成的有8人 【答案】ACD 【详解】赞成的人数为，赞成的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合，如图所示， 设对事件，都赞成的学生人数为， 则对，都不赞成的学生人数为， 赞成而不赞成的人数为， 赞成而不赞成的人数为， 依题意，解得. 所以赞成的不赞成的有9人，故A正确； 赞成的不赞成的有12人，故B错误； 对，都赞成的有21人，故C正确； 对，都不赞成的有8人，故D正确. 故选：ACD 11．（多选）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论，正确的是（    ） A． B． C． D．“整数属于同一‘类’”的充要条件是“” 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0，1，2，3，4，所以，故C正确； 对于D：若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同，其差能被5整除，故； 当时，，所以，所以， 即整数属于同一“类”，故D正确． 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为丰富校园文化活动，某学校举行了“棋类竞技”活动，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加象棋，有8人参加军棋，有14人参加跳棋比赛，同时参加军棋和象棋的有3人，同时参加象棋和跳棋比赛的有3人，同时参加三项比赛的同学有1人，则同时参加军棋和跳棋比赛的有______人． 【答案】4 【详解】解：设同时参加军棋和跳棋比赛的有人，参加跳棋比赛的同学组成集合，参加军棋的同学组成集合，参加象棋的同学组成集合， 所以集合中有14个元素，中有8个元素，中有15个元素， 由题意可知中有3个元素，有1个元素，由3个元素，， 所以，解得，所以同时参加军棋和跳棋比赛的有4人， 故答案为：4． 13．已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______． 【答案】 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. 14．已知集合，其中，且,若的所有元素之和为20，则__________. 【答案】5 【详解】由得，则.因为，即， 所以.当时，因为，所以，则，即， 所以，则，所以得，即或1，与矛盾. 当时，则，即，所以， 则，得，即或1，而与矛盾，所以. 因为，所以20，将代入， 得，解得或（舍去），所以 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1(2)或 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 16．（15分）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得真包含真包含，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，，，． (2)存在，或． 【详解】（1）当时， ， ． 又因为真包含真包含，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 17．（15分）设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【详解】（1）由，可得，解得， 所以，或， 当时，集合，即， 所以，或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，，解得，满足题意， 当时，， 由得，由得，由得， 所以， 综上，实数的取值范围是. 18．（17分）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 19．（17分）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)；(2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【详解】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $