黑龙江哈尔滨市萧红中学校2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题

萧红中学2026—2027学年度上学期 八学年· 数学 学科·评分标准 一、选择题（每题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D A A A D C B B A 二、填空题（每题3分，共30分） 11．稳定性 12． 13． 14． 15．8 16．96 17．或 18． 19． 20．①② 三、解答题（21-22题每题7分，23-24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21．（1）（4分） （2）（3分） 22．（1）问4分 （2）问3分 （1） （2） 23．（1）问4分 （2）问4分 （1）解：，，，即， ，即，的取值范围是； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 是小于9的整数，又，或， 当时，，，是等腰三角形； 当时，，，是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 24．（1）问4分 （2）问4分 （1）证明：，，， 在和中，； （2）解：由（1）可知，，，， ，，即的长是3． 25．（1）问5分 （2）问5分 解：（1）设购买1根A种跳绳x元，1根B种跳绳y元， 根据题意，得，解得：， 答：购买1根A种跳绳10元，1根B种跳绳15元． （2）设该班购买A种跳绳a根， 根据题意，得，解得， 答：该班最少购买A种跳绳25根． 26．（1）问2分 （2）问4分 （3）问4分 （1）； （2）解：，，， 米，米； （3）解：第三小组的方案可行，证明如下： 由题意可知，，， 在和中，，， ，，， ∴第三小组的方案可行． 27．（1）问3分 （2）问3分 （3）问4分 （1）证明：在中，，， ． 又，，， 在和中，，． （2）， 证明：，，， 在和中，，， ，，； （3）如图，过点E作于点M，作，交的延长线于点N， ． 与（1）同理可得，， ，，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市萧红中学校2026—2027学年度上学期 八学年· 数学 学科·阶梯作业 （★同学们，请将所有试题答案完整书写在“答卷页”上，否则无效．★） 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ） A． B． C． D． 3．根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图所示，一艘轮船从A地出发，沿北偏东方向航行至B地，再从B地出发沿南偏东，方向航行至C地，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（ ） A． B． C．或 D．或 6．如图，是的一个外角，平分，交的延长线于点D，若，，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是高，，都是角平分线，它们相交于点O，，，则和的度数为（ ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，在中，，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线，交于D点．若，，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，的平分线交于点O，于D，如，，，且三角形的面积，那么的长为（ ） A． B． C． D．无法确定 10．如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（每题3分，共30分） 11．我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的_____________________． 12．如图，点E是线段上任一点，已知，要使得，可以添加的一个条件是__________． 13．若a，b，c是的三边，化简__________． 14．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若，则的度数是__________． 15．如图，是的中线，E是的中点，连接，．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为__________． 16．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则__________． 17．已知，在中，，是边上的高，若，则______． 18．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是______． 19．如图，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则______． 20．如图，中，，平分，E为边上的点，连接，，下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有__________．（填写序号即可） 三、解答题（21-22题每题7分，23-24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21．计算 （1） （2） 22．图1、图2均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在图1、图2给定的网格中按要求作图． （1）在图1中的格点上确定一点D，并作出，使得； （2）在图2中的格点上确定一点E，并作出线段，使得为的中线． 23．已知a，b，c是的三边长，，，设的周长是x． （1）求x的取值范围． （2）若x是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 24．如图，D是的边上一点．，交于点E，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 25．南岗区某校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳，已知购买10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元；购买15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元． （1）购买1根A种跳绳和1根B种跳绳各需多少元？ （2）若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不多于550元，那么该班最少购买A种跳绳多少根？ 26．为了测量一条东西走向两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河的南岸的点B处测得河北岸的树A恰好在B的正北方向，测量方案如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从B点向东走到C点，此时恰好得． 观测者从B点沿着南偏东的方向走到C点，此时恰好测得． 观测者从B点向南走到C点，再沿着南偏东的方向走到E点，在上取点D，使，测得，． 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，最简单的方法是测量线段________的长度； （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽； （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 27．【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A，，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交于点H．若，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $