14.3 角平分线的性质与判定 专题训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第14章 角平分线的性质与判定专题训练 姓名：______ 班级：____ 知识点01 角平分线的尺规作图 步骤一：以 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 为圆心， MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 知识点02 角平分线的性质 性质1：平分角。 如图：即若OC是∠AOB的平分线， 则 。且他们都等于∠AOB的 。 性质2： 角平分线上任意一点到角的两边的距离 。 几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PD⊥OB ∴PE＝PD 知识点03 证明几何文字命题的一般步骤 （1） 根据命题明确命题中的 与 。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 与 。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 知识点04 角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点一定在 上。 几何语言： ∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PE＝PD ∴OC是∠AOB的平分线 【题型一】利用角平分线的性质求角度 1.如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°．以 A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 2．如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点和点，连接，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的大小为（     ）． A． B． C． D． 4．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型二】利用角平分线的性质求线段长度或周长 5.如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，，取适当长为半径，以为圆心画弧，分别交于点，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 第5题图 第6题图 7．如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 8.如图，中，，，BD平分，，如果，则的周长是(     ) A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 12cm 【题型三】利用角平分线的性质求面积 9．如图，在中，于点，是的平分线，若，，则的面积为（） A． B． C． D． 10．如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 11．如图，是的角平分线，于点，，则边的长是___________． 12.如图，中，，，BD平分，，如果，则的周长是(    ) A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 12cm 第12题图 第13题图 13.如图，中，和的角平分线交于点P，若AB：BC：：2：1，则、、的面积之比为(    ) A. 1：2：3 B. 3：2：1 C. 9：16：36 D. 36：16：9 14.如图，已知的周长是21，OB，OC分别平分和，于D，且，的面积是_______. 15.如图，已知的面积是20，OB，OC分别平分和，于D，且，则的周长是          .   第14题图 第15题图 【题型四】利用角平分线的性质和判定证明 16．如图，在中，，，垂足分别是E，F，．求证：平分 17．如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 18．如图，是平分线上的一点，若，试探究与的数量关系，并证明． 19．如图，是的平分线，垂直于点，垂直于点，且．求证： (1)；(2)． 20．如图，中，于点． (1)求证：平分， (2)若，求的长． 21．如图，已知：，M是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 角平分线的性质与判定专题训练 姓名：______ 班级：____ 知识点01 角平分线的尺规作图 步骤一：以 角的顶点 为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 步骤二：以 点M和点N 为圆心， 大于 MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 步骤三：连接OP即为角平分线 步骤一 步骤二 步骤三 知识点02 角平分线的性质 性质1：平分角 如图：即若OC是∠AOB的平分线，则 ∠AOC＝∠BOC 。且他们都等于∠AOB的 一半 。 性质2： 角平分线上任意一点到角的两边的距离 相等 。几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PD⊥OB ∴PE＝PD 知识点03 证明几何文字命题的一般步骤 （1） 根据命题明确命题中的 已知 与 求证 。 （2） 根据题意画出图形，并用符号表示（1）中的 已知 与 求证 。 （3） 经过分析，找出由已知推导求证结论的途径，并写出证明过程。 知识点04 角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点一定在 角平分线 上。 几何语言： ∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PE＝PD ∴OC是∠AOB的平分线 【题型一】利用角平分线的性质求角度 1、如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【答案】D 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝70°， 由作图过程可得：AP平分∠BAC， ∴， ∴∠AFB＝180°﹣∠B﹣∠BAF＝95°． 故选：D． 2．如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图的步骤可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：由作图步骤可知，射线是的角平分线， ， ． 3．如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点和点，连接，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的大小为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求出，根据题目的作法可知：、平分，在中，利用三角形的内角和定理求出，进而求出结果． 【详解】解：由题目的作法可知：、平分， 、， ， ， ， ， 平分， ． 4．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线．根据作图痕迹可知射线是的平分线，利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，射线是的平分线， ． ， ． 故选：A． 【题型二】利用角平分线的性质求线段长度或周长 5.如图，平分，于点C，于点D，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到两边的距离相等，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 故选：B． 6．如图，，取适当长为半径，以为圆心画弧，分别交于点，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质． 作于点，首先根据三角形面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴，即 ∴， 由作图得，为的平分线， ∵，， ． 故选：A． 7．如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 【答案】D 【分析】证明，则，，由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，， 由题意知，， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 8.如图，中，，，BD平分，，如果，则的周长是(    ) A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 12cm 【答案】B  【详解】解：平分，，， 在和中， ≌， 又， ， ， 的周长是10cm， 故选： 【题型三】利用角平分线的性质求面积 9．如图，在中，于点，是的平分线，若，，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于点，由角平分线的性质可得，再通过即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵于点，是的平分线， ∴， ∴， ∴的面积为． 10．如图，在中，为的平分线，于E，于F，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握该性质是解题的关键．由已知结合角平分线的性质可得，，再根据三角形面积计算公式可求出的面积． 【详解】解：∵为的平分线，于E，于F， ∴， ∵，，， ∴． 11．如图，是的角平分线，于点，，则边的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质；作于点，由平分交于点，于点，得，根据，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点， 是的角平分线， 平分交于点， 于点，于点， ， ∵，， 解得： 故答案为：． 12.如图，中，，，BD平分，，如果，则的周长是(    ) A. 8cm B. 10cm C. 11cm D. 12cm 【答案】B  【解析】根据角平分线的性质，得，利用HL判定≌，得出，进而得出 【详解】解：平分，，， 在和中， ≌， 又， ， ， 的周长是10cm， 故选： 13.如图，中，和的角平分线交于点P，若AB：BC：：2：1，则、、的面积之比为(    ) A. 1：2：3 B. 3：2：1 C. 9：16：36 D. 36：16：9 【答案】B  【解析】过P点作于D，于E，于F，如图，利用角平分线的性质得到，设，根据三角形面积公式得到，，结合题意，即可求解． 【详解】解：过P点作于D，于E，于F，如图， 设、、的面积分别为、、， 和的角平分线交于点P， ，角平分线的性质， ， 设， 根据三角形的面积公式得，，， AB：BC：：2：1， 所以、、的面积之比为3：2：1， 故选： 14.如图，已知的周长是21，OB，OC分别平分和，于D，且，的面积是_______. 【答案】  【解析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积等知识点. 连接OA，作，，垂足分别为E、F，将的面积分为：，而三个小三角形的高，它们的底边和就是的周长，可计算的面积． 【详解】解：作，，垂足分别为E、F，连接OA， ，OC分别平分和，， ， 故填 15.如图，已知的面积是20，OB，OC分别平分和，于D，且，则的周长是          .   【答案】  【详解】解：如图，连接OA， 、OC分别平分和， 点O到AB、AC、BC的距离都相等， 的面积是20，于D，且， ， 故答案为： 【题型四】利用角平分线的性质和判定证明 16．如图，在中，，，垂足分别是E，F，． (1)求证：平分； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：，，， 平分， (2) 等腰三角形，理由如下： 解：是的中点， ， ， 与为直角三角形 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质判断即可； （2）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，再由等腰三角形的判定证明即可． 【详解】（1）证明：略； （2）略． 17．如图，在中，为边上的一点且，过点作，垂足分别是，求证：． 【答案】 证明：， ， 与是直角三角形， 在与中， ， ， ， ， 平分， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，根据证明，得出，根据角平分线的判定证明平分，即可得证． 【详解】略 8．如图，是平分线上的一点，若，试探究与的数量关系，并证明． 【答案】 解：过点作于点，于点，   是平分线上的一点， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，过点作于点，于点，利用，由可证，由全等的性质可得结论． 【详解】略 19．如图，是的平分线，垂直于点，垂直于点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵是的平分线，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定， （1）先利用角平分线的性质和垂直定义得到，，再证明，即可得到结论； （2）同理证明，推出，再根据线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，中，于点． (1)求证：平分， (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴平分， (2)4 【分析】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出，注意：全等三角形的对应边相等． （1）根据，可得，证明即可求证； （2）根据（1）可得，，推出，代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中可得，， ∴， ∵， ∴． 21．如图，已知：，M是的中点，平分．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1) 证明：如下图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分； (2) 证明： 平分， ， ， ∴ ∴， 同理可证，， ∴， ∴ 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）证明，得到，同理可证，，得到，从而可证结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $