14.3 角平分线的性质与判定 课堂练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学《14.3 角平分线的性质》同步练，含2课时，覆盖尺规作角平分线、性质及判定的探究与应用。特色：分层递进设计，从基础巩固到综合应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|单一知识点直接应用（如性质计算、判定选择）|对应核心概念，强化符号意识与运算能力| |能力训练|知识综合应用（如作图、简单证明）|通过“伞形图”等模型，培养推理意识与几何直观| |拓展训练|跨情境复杂问题（如综合证明、面积计算）|结合实际情境，发展创新意识与应用能力|

14.3角平分线的性质 第1课时角平分线的性质 学习新知 知识，点1尺规作角平分线 1.如图，用尺规作∠AOB的平分线OP 2.如图，在△ABC中，用尺规作△ABC的角平分线AE 1/21 知识，点2探究角平分线的性质 复习：点到直线的距离是指垂线段的长度 3.如图，点P到直线的距离是指 的长度 BC 4.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂 足分别为D,E.求证：PD=PE D P 01 角平分线的性质：角的平分线上的，点到角两边的距离相等 几何语言： 如图， 2/21 D 5.如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点 E,PE=5cm,则PD=cm. D B 方法总结： 我们把上图叫作“伞形图”，看到角平分线就找“伞形图”，它要满足三 个条件：一平分两垂直 知识，点3角平分线性质的直接应用 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, 垂足为E.若AB=10,BE=4,则AC的长度为() 3/21 A.10B.6C.4D.2 7.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4,BC=6,对角线BD平分 ∠ABC,则△BCD的面积为（) A.15 B.12C.8 D.6 知识，点4角平分线性质的综合 8.如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于点D,BC⊥OA于点E.求证： AC=BC 4/21 9.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F求证：EB=FC 过关检测 一、基础训练 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB.如果 SAABD=24,AB=12,那么CD的长为 11.如图，已知AD是△ABC的角平分线，且AB:AC=5:3,则△ABD与 △ACD的面积之比为 5/21 二、能力训练 12.如图，在直线MN上求作一点P,使点P在∠AOB的内部，且点P到射线 OA和OB的距离相等. 三、拓展训练 13.如图，已知△ABC,请按要求作图并完成证明 (I)作△ABC的角平分线BE,CF,BE与CF相交于，点P: (2)连接AP,求证：S△PAB:S△PAc:S△PmC=AB:BC:AC 6/21 第2课时角平分线的判定 复习旧知 复习：角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等，几何语言： 几何语言： 如图， 问题提出：上面的“AP平分∠BAC”与“PB=PC”对调，结论是否成立？ 为什么？ 学习新知 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上： 7/21 几何语言： 如图， .AP平分∠BAC 1.如图，AD⊥CD于点D,AB⊥BC于点B,AD=AB,则由角平分线的判 定可直接得到() A.∠1=∠2B.∠3=∠4 几何语言： 如图， 2.如图，ME⊥AB于点E,MF⊥BC于，点F,且ME=MF,∠ABC=70°， 8/21 求∠EBM的度数 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E,且 DE=DC若∠A=40,求∠DBC的度数， 4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,BE=CF求证：AD是△ABC的角平分线. E B 9/21 5.如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点 0,0B=0C.求证：∠1=∠2 过关检测 一、基础训练 6将两个完全相同的等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，使两个三角 板的直角边分别和∠ABC的两边重叠，两个三角板的锐角顶，点重合为顶，点P, 作射线BP,则BP为∠ABC的平分线的依据是() A.角平分线上的点到角的两边的距离相等 B.三角形三条角平分线的交点到这个角两边的距离相等 C.角的内部到角两边距离相等的，点在角的平分线上 10/21 D,利用“SSA”证三角形全等后，利用全等三角形的对应角相等 7.如图，AB,AC,BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三 角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应 修建在（) A.△ABC三条角平分线的交点位置 B.△ABC三条高的交，点位置 C.△ABC三条中线的交点位置 D.无法确定 二、能力训练 8.如图，△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证： (I)点P到三边AB,BC,CA的距离相等； (2)△ABC的三条角平分线交于一点 9.如图，锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O,且OB=OC 11/21 (1)求证：BE=CD: (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由. 三、拓展训练 10.如图，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若BD=CD,BE=CF, (1)求证：AD平分∠BAC: (2)已知AC=20,BE=4,求AB的长. 11.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分 ∠ADG (I)判断AB,CD，AD之间的数量关系，并证明： (2)若AD=10,CB=8,求△ABE和△DCE的面积之和 12/21 答案 课时1 1.解：如图所示，OP即为所求 2.解：如图所示，AE即为所求。 3.PQ 4.证明：：OC是∠AOB的平分线， ∴.∠AOC=∠BOC .PD⊥OA,PE⊥OB ∴.∠PDO=∠PEO=90° 13/21 在△ODP和△OEP中， ∠DOP=∠EOP, ∠PDO=∠PEO, OP=OP, ∴.△ODP≌△OEP AAS. ∴PD=PE 角平分线的性质： OC平分∠AOBPD⊥OAPE⊥OBPD=PE 5.5 6.B 7.B 8.证明：，OC是∠AOB的平分线， AC⊥OB,BC⊥OA, ∴.CE=CD,∠AEC=∠BDG=90° 在△AEC和△BDC中， ∠AEC=∠BDC, CE=CD, ∠ACE=∠BCD, ∴.△AEC≌△BDCASA. .∴.AC=BC. 9.证明：，'AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF,∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BED和Rt△CFD中， 14/21 BD=CD, DE=DF, .'.Rt△BED≌Rt△CFD|HL. ∴.EB=FC. 10.4 11.5:3 12.解：如图所示，点P即为所求 13.(1)解：如图所示. (2)证明：如图，过，点P分别作PG⊥AB于点G,PH⊥BC于点 H,PI⊥AC于点I 又，BP,CP是△ABC的角平分线， ∴.PG=PH,PH=PI. .∴.PG=PH=PI 又 AB-PG:BCPHAC.PI,AB BC 15/21 课时2 复习旧知 AP平分∠BAC,PB⊥AB,PC⊥AC PB=PC 问题提出： 解：成立.可证明△PAB≌△PAC, ∠PAB=∠PAC,即AP平分∠BAC 学习新知 PB=PC PB⊥AB PC⊥AC 1.A AD=ABAD⊥CD AB⊥BC∠1=∠2 2.解：'ME⊥AB,MF⊥BC,ME=MF,.BM平分∠ABC. :.∠EBM=号∠ABC .∠ABC=70°， .∠EBM=号×70=35 3.解：.∠C=90°， .∴.DC⊥BC. 16/21 又DE⊥AB,DE=DC, BD平分∠ABC .∠A=40°， .∴.∠ABC=50°. .∠DBC=∠ABC=25 4.证明：DE⊥AB,DF⊥AC, △BDE和△CDF是直角三角形. :D是BC的中点， .BD=CD. 又BE=CF, '.Rt△BDE≌Rt△CDF HL: ∴.DE=DF 又，DE⊥AB,DF⊥AC, .AD是△ABC的角平分线。 5.证明：CD⊥AB,BE⊥AC, ∴.∠ODB=∠OEC=90. 在△BOD和△COE中， ∠ODB=∠OEC, ∠BOD=∠COE, OB=OC, ∴.△BOD≌△COE(AAS), 17/21 ∴.OD=OE 又OD⊥AB,OE⊥AC, .∴.∠1=∠2. 6.C 7.A 8.证明：(I)如图，过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分别为 D,E,F :BM是△ABC的角平分线，点p在BM上， ∴.PD=PE 同理PE=PF .'PD=PE=PF, 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等， (2)由(I)得，点P到边AB,CA的距离相等， 点p在∠A的平分线上 △ABC的三条角平分线交于一点. 9.(1)证明：.BD⊥AC,CE⊥AB .∴.∠CDO=∠BEO=90°. 18/21 在△BOE和△COD中， ∠BEO=∠CDO, ∠BOE=∠COD, BO=CO, ∴.△BOE≌△COD(AAS) .'BE=CD (2)解：点O在∠BAC的平分线上.理由如下： .△BOE≌△COD' ∴.OE=OD 又.OE⊥AB,OD⊥AC. .点O在∠BAC的平分线上. 10.(1)证明：.DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠E=∠DFC=90° 在Rt△BED和Rt△CFD中， BD=CD, BE=CF, ∴.Rt△BED≌Rt△CFD|HL: ∴.DE=DF 又：DE⊥AB,DF⊥AC, .AD平分∠BAC AD=AD: (②)解：在Rt△ADE和Rt△ADF中， DE=DF, '.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL) .∴.AE=AF 19/21 .AC=20,CF=BE=4, .AE=AF=AC-CF=20-4=16. ∴.AB=AE-BE=16-4=12 11.解：(1)AD=AB+CD 证明如下：如图，过，点E作EF⊥AD于，点F :DE平分∠ADC,EC⊥CDEF⊥DF, .'EF=CE 又E是BC的中点， ∴.EF=CE=BE 在Rt△AEF和Rt△AEB中， AE=AE, EF=EB, ∴.Rt△AEF≌Rt△AEB HL ..AB=AF 在Rt△≌乙和Rt△DEC中， DE=DE, EF=EC, ∴.Rt△≌Rt△DEC HL ∴.CD=DF 又，AD=AF+DF, 20/21 ∴.AD=AB+CD (2):'Rt△AEF≌Rt△AEB, Rt△g≌Rt△DEC, .SA ABE+SADCE=S△AFE+SA兰6=SAd 由（可知EF=CE=BE=CB =1×8=4, AD BF -号×10×4=-20 ∴△ABE和△DCE的面积之和为20 21/21