湖北随州市随县第一高级中学、曾都区第一高级中学2026-2027学年高二实验班上学期9月联考数学试题

学科网（北京）股份有限公司 湖北随州随县一中、曾都一中高二实验班26年秋9月联考数学试题 2026.09.29.08:00—10:00 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线的斜率为2，经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2.在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 3.已知为虚数单位，复数，则“”是“为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．一组数据按从小到大的顺序排列为3，5，6，m，10，12.若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第60百分位数是（    ） A．6 B．7.5 C．9 D．9.5 6.在中，内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 7. 一束光线从出发经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，点满足，若实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为同一试验中的两个事件，则下列说法正确的是（  ） A．若，则 B．若，则对立 C．若，则不互斥 D．若，则相互独立 10. 已知直线，圆，则（ ） A. ，与相交 B. ，使得圆心到的距离为 C. ，使得圆截所得的弦长为 D. ，使得圆上有4个点到的距离为2 11. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形 B. C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为 D. 若∥平面，则点轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 13.设，若点在线段上，则的取值范围是______． 14. 已知以为圆心的圆及其上一点，设满足：存在圆上的两点和，使得，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 16. 如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． (1)求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； (2)求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 17. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面. （1）求点到平面的距离； （2）在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 18.某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为．其中，，且每局比赛相互独立．决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束． （1）假设． （i）求“两局结束比赛且乙获胜”的概率；（ii）求比赛结束时乙获胜的概率； （2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略． 19. 在四棱锥中，，，，，且平面， （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； （3）过点的平面与侧棱，，分别交于点，，，若四边形为菱形，求的长. 随县一中、曾都一中高二实验班26年秋9月联考数学试题参考答案 2026.09.29.08:00—10:00 CCAD CBCD 9.CD 10. ACD 11.BCD 12. 2 13. 14. 15. 解（1）因为，，所以，即， 所以为圆的直径，且为的中点，所以，故， 故圆的方程为. （2）若切线的斜率不存在，则，圆心到该线的距离为，故直线不为切线. 设切线方程为，即,由题意可知， 所以，即，所求直线方程为或. 16. 解:（1）设事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件包括下列三种情况：；；，所以； 事件包括下列两种情况：；，所以， 则，即这两个质点移动2次后都移动到顶点的概率为； （2）设事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件包含下列6种情况：，，，， ，，则； 事件包含下列7种情况：，，；，，，，所以， 则， 即这两个质点移动3次后至少有一个移动到顶点的概率为． 17.解:(1)由已知知平面，又平面，， 分别为的中点，，， 如图： ， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则 则点到平面的距离为. (2) 存在，为中点，理由如下： 由（1）可知是平面的一个法向量， 由题可设，且，， 则， 设平面的法向量为，由于， 则， 令，则，， 整理得，解得或（舍）， 故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点. 18.解: (1)（i）乙连胜两局获胜最终获胜的概率为； （ii）比赛结束时乙获胜的概率为 . (2)设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，事件为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 则事件包含3种情况：①第一局乙获胜，第二局乙获胜； ②第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； ③第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 所以， 同理可得, 所以 因为，所以，即， 所以乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. 19. 解（1）因为，，， 所以由勾股定理得，得到，， 因为，所以，，即， 因为平面，平面，所以； 因为，平面，所以平面. （2）如图，以为原点，过作的平行线为轴， ，分别为轴和轴建系， 则，，，，， 则，，易知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，取，解得，，则， 设平面与平面的夹角为， 则.故平面与平面夹角的余弦值为. （3）令，则， 而E，F，G分别在，，上，令，， 因为四边形为菱形，所以，， 所以，，， 得到，， 而，可得， 解得，，，得到，， 因为，所以，解得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $