25.3 实际问题与一元二次方程第1课时 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

25.3 实际问题与一元二次方程

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2024）

课时

第1课时

课型

新授课

教学目标

（1）掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；完整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根；

（2）经历「数字/图形情境→梳理等量关系→建立方程模型→运算求解→验证实际意义」的探究过程，提升文字信息转化、几何图形量化、代数建模能力；

（3）感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题的严谨性与自信心。

教学重点

掌握连续整数、两位数数字问题的设元方法与等量关系构建；利用矩形、正方形面积公式建立一元二次方程，规范解题步骤。

教学难点

准确用代数式表示多位数、连续整数类未知量；从复杂图形（留白、裁剪）中提炼「整体面积、局部面积」的隐性等量关系；结合整数、边长为正的实际条件精准取舍方程的两个根。

教学方法

讲授法、探究法、画图辅助、小组合作、变式训练

教学准备

多媒体课件、学案、方格纸

课后练习

必做：课本习题25.3第1、2、5题；探究性：第6题

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情景，
引入新课

复习旧知，引出课题：我们已经学习了一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题。

教师引导：同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型。

设问：当问题中的数量关系出现「两量之积」「平方关系」时，一元一次方程还够用吗？今天我们就来研究如何利用一元二次方程解决实际问题。

回顾用一元一次方程、方程组解决实际问题的过程，思考一元二次方程在生活模型中能解决哪类问题

以旧引新，唤醒方程建模的已有经验，点明一元二次方程的建模价值，自然引入新课。

二、探

探究点1：代数数字关系问题。

列方程

从最简单

究点1：
代数数字关系问题

活动1：已知两个连续正整数的乘积为132，求这两个连续正整数。

审题：明确未知量为两个连续正整数，核心特征——后一个数比前一个数大 1；规范设元：设较小的正整数为 x，则较大的为 x＋1。

提炼等量关系：较小数×较大数=132，列方程 ，整理得 。

因式分解得 ，解得 、；结合正整数条件舍去负根，故这两个连续正整数为 11、12。

活动2：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？

学生交流：设三边长依次为 x、x＋1、x＋2（x 为正整数），由勾股定理列方程。

得 ，整理得 ，解得 （ 不符合题意，舍去）。

故三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3、4、5。

教师要点：数字问题设元要看清「连续整数（差1）」还是「连续偶数（差2）」，并按题设正整数条件取舍根。

，解得 11、12 与 3、4、5

的连续整数入手，掌握连续数设元技巧；延伸直角三角形问题，完善数字问题建模流程，强化「整数取值」验根意识。

三、探究点2：
几何图形面积问题

探究点2：几何图形面积问题。

活动3：一个正方形的边长增加 2 cm，面积增加 24 cm²，求原正方形的边长。

审题：图形为正方形，边长变化引发面积变化，已知变化量、求原边长；设原边长为 x cm，则新边长为 (x＋2) cm。

等量关系：新图形面积−原图形面积=增加的面积，即 ，化简得 ，解得 （边长为正，符合）。

故原正方形的边长为 5 cm。

活动4：用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m² 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？

分析：假设能围成，则矩形周长就是细绳长 40 m；设一边长为 x m，则邻边长为 (20－x) m。

由面积得 ，解得 、。

故可以围成面积 96 m² 的矩形，两邻边长分别为 8 m、12 m，矩形唯一（8×12 与 12×8 为同一个矩形）。

追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？

学生讨论：两根 8、12 只是设元时 x 取值的两种写法，

解 、与，比较设元法特点

遵循「简单图形→变式图形」，通过画图辅助渗透数形结合思想，突破复杂图形等量关系提炼难点，掌握面积问题核心建模方法。

对应同一矩形，故仅有一个满足条件的矩形。

思考：设两邻边长的方法有多种，如 ①设一边为 x m，邻边为 (20－x) m；②设一边为 (10＋x) m，邻边为 (10－x) m。比较这些设法并说说特点。

对设法②：，即 ，解得 ，同样得两邻边 8 m、12 m。

教师点评：设法②以半周长 10 m 为基准作 ±x 的对称分解，运算更简洁，适合对称型矩形问题。

四、探究点3：
归纳通用六步法

探究点3：归纳列一元二次方程解决实际问题的通用步骤。

师生共同归纳以上四个问题的通用步骤：

审题意 → 巧设元 → 找等量 → 列方程 → 解方程 → 验实际 → 写答案。

教师强调：前三步为「建模」，后四步为「求解与作答」；其中「验实际」必须结合整数属性、边长为正等条件，不可省略。

归纳七步流程，讨论验根对整数、正边长条件的必要性

及时梳理新知，固化标准化解题流程，帮助学生构建基础知识框架，规避解题随意性。

五、典例精讲

【典型例题】

例1：两个连续偶数的积为 168，求这两个连续偶数。

【分析】连续偶数差值为 2，可设 x、x＋2，且结果需为偶数，进一步细化验根标准。

【详解】设这两个连续偶数为 x、x＋2，由题意得 ，整理得 ，解得 、。

所以这两个连续偶数分别为 12、14 或 −12、−14。

例2：在一块长 16 m、宽 12 m 的矩形荒地上建造一个花园，要求花园面积占荒地面积的一半。

(1) 图（1）是小明设计方案：花园四周小路的宽度相等，通过解方程小明得到小路的宽为 2 m 或 12 m，你认为小明的结果对吗？

【详解】设小路宽为 x，则花园面积为 ，整理得 ，解得 、（，舍去）。

∴小路宽为 2 m。小明同时给出 2 与 12，未结合 x<6 的取值范围舍去 12，故其结果不对，正确应为 x=2。

解 、与，讨论根的取舍

落实数字与面积两类核心模型的综合应用，规范含参取舍与循序渐进的三问变式，提升分析、建模与检验能力。