云南昆明市第八中学2026-2027学年上学期学情检测一高二数学试卷（B卷）

昆八中2026-2027上学期学情检查（一） 高二数学试卷（B卷）参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．D 8．C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．BD 10．AD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【答案】解：（1）将圆：化成标准方程：， 圆的圆心，半径． 2分 圆心到直线：的距离， 4分 ∴； 6分 （2）①当所要求切线的斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线； 8分 ②当所要求切线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 即，解得：， 此时切线方程为，化简得， 12分 综上所述，所要求的切线方程为：或． 13分 16．【答案】（1）由题中频率分布直方图可得产品长度在区间上的频率为0.1，在区间上的频率为0.2，在区间上的频率为0.3，在区间上的频率为0.15． 所以产品长度在区间上的频率为， 3分 所以样本中二等品的频率为， 所以从该批产品中随机抽取1件，其为二等品的概率为0.45． 6分 （2）因为一等品有6件，所以样本总量为（件），所以产品长度在区间上的有2件，在区间上的有3件． 8分 记产品长度在区间上的2件分别为，，在区间上的3件分别为，，，则一切可能的结果组成的基本事件空间为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，由25个基本事件组成． 13分 其中恰有1件产品的长度在区间上的基本事件有12个，所以取出的2件产品中恰有1件产品的长度在区间上的概率． 15分 17．【答案】 解：（1）为中点，，则， 2分 过作，垂足为，如图所示： 中，，，，解得， 4分 ，，故； 6分 （2）由可知， 又因为，，则， ①， 10分 ，即②， 由①②解得， ， 13分 ，又， ． 15分 18．【答案】解：（1）证明： 因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又，，平面，所以平面． 2分 又平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； 4分 （2）由（1）知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，． 6分 因此，，． 设平面的法向量为， 则，即， 不妨令，则，，故平面的一个法向量为， 8分 设与平面所成角的大小为，则有， 所以，即与平面所成角的大小为；……………………………………………………9分 （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为， 在空间直角坐标系中，，，， 设，则， ， 11分 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨令，则，，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则有，即， 不妨令，则，，所以平面的一个法向量为， 14分 若平面与平面成角余弦值为， 则满足， 化简得，解得或，即或，故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或． 17分 19．【答案】解：（1）由，得或，所以由两条直线与圆组成．故的图形如图所示： 3分 （2）证明：因为，所以点在圆上， 所以，故为定值． 7分 （3）将代入，得， 将代入，得，则． 因为，所以不经过点，， 依题意可得，与圆的所有交点的纵坐标之和大于． 11分 当时，与的所有交点的纵坐标之和为，所以不符合题意． 12分 当时，联立消去，得． 因为过定点，且该点在圆的内部，所以与圆总有两个交点． 15分 设与圆的交点为，，则，解得， 故的取值范围为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆八中2026-2027上学期学情检查（一） 高二数学试卷（B卷） 时长：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（ ） A． B． C． D． 2．若角的终边上一点的坐标为，则（ ） A． B． C． D． 3．参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则这10人成绩的第60百分位数是（ ） A．84 B．85 C．86 D．87 4．奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 7．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法不正确的是（ ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则事件与相互独立 D．若，则 8．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则（ ） A．，，，的平均数等于，，…，的平均数 B．，，，的中位数等于，，…，的中位数 C．，，，的标准差不小于，，…，的标准差 D．，，，的极差不大于，，…，的极差 10．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 11．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆，已知点，，是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A．点的轨迹围成区域的面积为 B．面积的最大值为 C．点到直线的距离的最大值为 D．若的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角为______． 13．已知平面内有，，三点，则的外接圆的标准方程为______． 14．球的体积为，，，，四点均在球的球面上，为等边三角形，．则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知直线和圆． （1）若直线交圆于，两点，求弦的长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 16．（本小题15分） 对一批产品的长度（单位：）进行抽样检测，检测结果的频率分布直方图如图所示，根据标准，产品长度在区间上的为一等品，在区间和区间上的为二等品，在区间和上的为三等品． （1）用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，求其为二等品的概率； （2）已知检测结果为一等品的有6件，现随机从三等品中有放回地连续取两次，每次取1件，求取出的2件产品中恰有1件产品的长度在区间上的概率． 17．（本小题15分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且． （1）若，求； （2）若，求，． 18．（本小题17分） 在中，，，，，分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，M是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点N，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19．（本小题17分） 已知曲线． （1）在答题卡中画出的大致图形，并说明理由； （2）若是上的动点，，，证明：为定值； （3）若直线与的所有交点的纵坐标之和大于，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $