精品解析：云南省昆明市第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

昆明第一中学2023-2024学年度第一学期月考考试 高二数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数和增函数的定义逐项判断即可. 【详解】是非奇非偶函数，不是增函数，奇函数且单调递增，是非奇非偶函数. 故选：C 2. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 3. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可. 【详解】若表示椭圆， 则，解得或. 故选：. 4. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的周期性计算得出即可求解. 【详解】数列中，因为，所以， 数列周期为3， 则. 故选：A. 5. 已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合双曲线离心率定义与等比数列定义计算即可得. 【详解】由题意可得，则有， 即，解得， 又，故. 故选：C. 6. 等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列定义结合题意可得等差数列通项公式，再利用等差数列前n项和的性质结合等差数列通项公式计算即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 即有，则， 即， 令，解得，故当时，， 即恒成立，故k的值为20. 故选：B. 7. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 8. 如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是 A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 【答案】C 【解析】 【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线． 此题中平面上的动点满足，可理解为在以为轴的圆锥的侧面上， 再由斜线段与平面所成的角为，可知的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义． 故可知动点的轨迹是椭圆． 故选C. 考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意对等比数列的公比是否为1进行分类讨论，列方程即可得出或. 【详解】根据题意设等比数列的首项为，公比为， 当时，由可得，则满足题意，此时； 当时，由可得，两式相除整理可得， 解得，此时. 综上可得或. 故选：BD 10. 已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求出圆的圆心与半径，利用四边形的最小值求出的最小值，再利用点到直线的距离求解即可得. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 则， 由四边形的最小面积是2，即， 即，解得. 故选：CD. 11. 已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（ ） A. x1＋x2＝－1 B. x3x4＝1 C. 1<x4<2 D. 0<x1x2x3x4<1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项. 【详解】由函数解析式可得图象如下： ∴由图知：，，而当时，有，即或2， ∴，而知：， ∴，. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系. 12. 已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得方程，联立曲线即可解出A，B两点坐标，结合两点间距离公式与向量数量积逐项计算即可得. 【详解】由题意可得，则， 联立可得，解得或， 即，， 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，则， 故与不垂直，即不为，故C错误； 对D：，又，故，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助三角形面积公式与余弦定理计算即可得. 【详解】由题意可得，即， 则，即. 故答案为：. 14. 设为单位向量，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】，则， 故. 故答案为：. 15. 棱长为1的正四面体外接球的表面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用正四面体和球的关系，利用勾股定理求出外接球的半径，进一步利用表面积公式求出球的表面积. 【详解】设正四面体，棱长为1， 如图所示： 设外接球的球心为，半径为，所以， 由于，所以， 在中，利用勾股定理：，即：， 解得，所以该正四面体外接球的表面积为． 故答案为：. 16. 已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若，，则双曲线C的渐近线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 由题可得F1B所在直线方程为，联立直线F1B和OB方程可得点B坐标，再利用即可建立关系求解. 【详解】，，∴OA为Rt△F1F2B的中位线，∴OA⊥F1B. 又∵OA所在直线斜率为，∴F1B所在直线方程为， 联立，解得B， 则， 整理得，，∴双曲线C的渐近线方程为. 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线渐近线的求解，解题的关键是根据题意得出OA⊥F1B，从而得出直线F1B方程，求出点B坐标，利用建立关系. 四、解答题（本大题满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知向量． （1）当时，求的值； （2）求在上的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】(1)根据向量平行可计算出，在利用二倍角公式将原式展开，根据恒等式，上下同时除以，即可求解； (2)根据向量坐标运算法则，以及二倍角公式以及辅助角公式将函数化简，根据定义域可求解. 【小问1详解】 由得，即， 又因， 所以. 【小问2详解】 则 ， 因为，所以，所以当时，的最小值为． 18. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）设数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1） 由得，代入得， 即，所以，因为， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. （2） 因为是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， 所以，因为，所以． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合等差数列的定义即可证明结论； （2）结合（1）得到，再利用裂项相消求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点． （1）求证平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明: 因为平面，平面，平面， 所以，， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 有题意可知，又，平面，平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理和性质定理证平面，进而可得，再有利用线面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求二面角的大小. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 因平面，平面，所以， 因为，所以为中点， 故， 平面的一个法向量为， ， 设平面的法向量为， 由得，令得，， 则，所以， 因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小为． 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点. （1）求C的方程； （2）动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助双曲线定义计算即可得； （2）设，则有，即可得，结合得到，即可得解. 【小问1详解】 由题意知，，由双曲线定义得， 所以，所以C的方程为． 【小问2详解】 设点，则，即， 由，则①， 又②， 因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即． 21. 设常数，函数. （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）若存在区间，使得函数在的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上是增函数，证明：在上任取，且， 则， ，，， 又，，， 即， 所以函数在上是增函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义法即可求解； （2）由（1）知在上是增函数，则可得，是方程的两个不相等的实数根，即令，则方程有两个不相等的正实数根，进而列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数在上是增函数， 所以可得， 由此可知，是方程的两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根， 令，则方程有两个不相等的正实数根， 设， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 22. 在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义即可求解； (2)设出直线，的方程，与抛物线联立，列出式子利用韦达定理即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以点M到定点的距离等于到定直线的距离， 所以M的轨迹为抛物线，方程为； 【小问2详解】 设，如图： 设直线AB的方程为， 直线PQ的方程为且 ，， 由 ,得，， ， 同理， 因为， 所以， 因为，所以由得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明第一中学2023-2024学年度第一学期月考考试 高二数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 4. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 5. 已知双曲线的右焦点为，若a，b，c成等比数列，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的前n项和为，已知，若存在正整数k，使得对任意，都有恒成立，则k的值为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 7. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是 A. 直线 B. 抛物线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 已知点是直线上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 11. 已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（ ） A. x1＋x2＝－1 B. x3x4＝1 C. 1<x4<2 D. 0<x1x2x3x4<1 12. 已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则___________． 14. 设为单位向量，且，则___________． 15. 棱长为1的正四面体外接球的表面积为______. 16. 已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若，，则双曲线C的渐近线方程为_____. 四、解答题（本大题满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知向量． （1）当时，求的值； （2）求在上的最小值． 18. 已知数列满足，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）设数列的前n项和为，证明：. 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点． （1）求证平面； （2）求二面角的大小． 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点. （1）求C的方程； （2）动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系． 21. 设常数，函数. （1）判断并证明函数在上的单调性； （2）若存在区间，使得函数在的值域为，求实数的取值范围. 22. 在平面直角坐标系中，动点满足.记点M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）设点T在y轴上（异于原点），过点T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，并且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $