河南郑州市第八中学2026-2027学年九年级上学期数学第二次限时训练

九年级数学第二次限时训练 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．内角和为 C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分 3．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 4．根据表格，判断关于的方程的一个解的范围是（　　） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 5．下列方程中有实数根的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A． B． C． D．1 7．如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边、的长分别为3和4，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是（　　） A． B． C． D．不确定 8．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．9 C．13 D．12或9 10．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（　　） A．3 B．1 C．3或 D．或1 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．将一元二次方程化为一般形式为 　 　 ． 12．如图，菱形的对角线相交于点，点在边上，连接并延长交于点．若，，则△与△的面积之和为 　 　 ． 13．如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为　 　 ． 14．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为 ，由题意列得方程　 　 ． 15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　． 三．解答题（共75分） 16．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 17．关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 18．如图，四边形中，，平分，交于． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由． 19．如图，在中，，平分．四边形是平行四边形，交于点，连接． 求证：四边形是矩形． 20．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为多少米？ 21．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离是． 22．在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系：　 　 ． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，分母含有未知数，是分式方程，故选项不符合题意； ．，即，是一元二次方程，故选项符合题意； ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意； ．，是一元三次方程，故选项不符合题意． 故选：． 2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．内角和为 C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分 【解答】解：根据矩形和菱形的性质，逐项分析可得： 矩形的对角线相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为， 菱形的四条边都相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为， 则矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 符合条件的只有， 故选：． 3．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形； 选项，对角线相等，可证平行四边形是矩形； 选项，则，可证平行四边形是矩形； 选项：由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形， 故选：． 4．根据表格，判断关于的方程的一个解的范围是（　　） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【解答】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：． 5．下列方程中有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：、在方程中，△， 方程无实数根； 、在方程中，△， 方程无实数根； 、在方程中，△， 方程无实数根； 、方程可变形为， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 6．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：设这个数为，则， 整理得， 解得， 故选：． 7．如图，点是矩形的边上的一个动点，矩形的两条边、的长分别为3和4，那么点到矩形的两条对角线和的距离之和是（　　） A． B． C． D．不确定 【解答】解：法1：过点作， 矩形， ， △△， ， ， ①， 同理：△△， ， ②， ①②得：， ， 即点到矩形的两条对角线和的距离之和是． 法2：连接． ，， ， 又矩形的对角线相等且互相平分， ， ， ． 故选：． 8．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：把方程看作关于的一元二次方程， 所以或， 所以，． 故选：． 9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A．12 B．9 C．13 D．12或9 【解答】解：， ， ，， ，， ①等腰三角形的三边是2，2，5 ， 不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意； ②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是； 即等腰三角形的周长是12． 故选：． 10．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（　　） A．3 B．1 C．3或 D．或1 【解答】解：根据条件知： ，， ， 即， 所以，得， 解得． 故选：． 二．填空题（共5小题） 11．将一元二次方程化为一般形式为 　　 ． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 12．如图，菱形的对角线相交于点，点在边上，连接并延长交于点．若，，则△与△的面积之和为 ． 【解答】解：四边形是菱形， ，，，，， △和△都是直角三角形， ， ， 在△中，，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ，， 在△和△中， ， △△， ， ． 即△与△的面积之和为． 故答案为：． 13．如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为 ． 【解答】解：四边形是菱形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． 故答案为：． 14．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为，那么通道的宽应设计成多少？设通道的宽为 ，由题意列得方程　　 ． 【解答】解：设道路的宽为 ，由题意得： ， 故答案为：． 15．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且　． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， ， 的一元二次方程 ， 的取值范围是：且． 故答案为：且． 三．解答题（共10小题） 16．解方程： （1）． （2）； （3）． （4）． （5）； （6）． 【解答】（1）原方程整理得：， 因式分解得：， 则或， 解得：，． （2）， ， ，； （3）△， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． （4）， ， ， ， ，． （5）， 则， 则或， 解得，； （6）， ， ，即， ， ， ，． 17．关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求的取值范围． 【解答】（1）证明：在方程中，△， 方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 18．如图，四边形中，，平分，交于． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由． 【解答】解：（1），， 四边形为平行四边形，， 又平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）直角三角形． 理由： ， ， ， ， 又因为三角形内角和为， ， ， 为直角三角形． 19．如图，在中，，平分．四边形是平行四边形，交于点，连接． 求证：四边形是矩形． 【解答】证明：，平分， ，． 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形． ， ， 是矩形． 20．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长，各为多少米？ 【解答】解：设的长度为米，则的长度为米． 根据题意得， 解得，． 则或． ， 舍去． 即，． 答：羊圈的边长，分别是20米、20米． 21．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． （1）、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； （2）、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离是． 【解答】解：（1）设、两点从出发开始到秒时四边形的面积为， 则， ， 根据梯形的面积公式得， 解之得， （2）设，两点从出发经过秒时，点，间的距离是， 作，垂足为， 则，， ，， ， 由勾股定理，得， 解得，． 答：（1）、两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点和点的距离是． 22．在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线，交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段，，的数量关系： ． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【解答】解：（1）如图，过点作于点， 平分，，， ， 在△和△中， ，， △△， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：； （2）不成立，，证明如下： 如图，过点作于点， 平分，，， ， 在△和△ 中， ，， △△， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $