河南郑州市第八中学2026-2027学年九年级上学期数学限时练习9.3

2026年9月3日九上数学限时练习 一、选择题（本大题共10小题，总分50分） 1．（5分）下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 2．（5分）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（　　） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 3．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 4．（5分）某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路AC、BC互相垂直，道路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为2400m，则M、C两点间的距离为（　　） A．3600m B．2400m C．1200m D．600m ( 第4题图 第5题图 第6题图 ) 5．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，DE的长为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　） A． B． C． D． ( 第7题图 第8题图 第9题图 ) 8．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D从点B出发沿BC边向点C运动，运动到点C停止，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形AEDF形状的变化依次为（　　） A．矩形→菱形→矩形 B．矩形→正方形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形 9．（5分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 10．（5分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，点D是AC的中点，则BD＝ 　 　 ． 12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD，BC边于点F，G．若AB＝4，则FG的长为 　 　 ． 13．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为　 　 ． ( 第13题图 第14题图 第15题图 第13题图 ) 14．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　 　 ． 15．（4分）如图，大正方形ABCD中，AB＝5，小正方形AEFG中，AE，在小正方形绕A点旋转的过程中，当∠EFC＝90°时，线段BE的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共6小题，总分80分） 16．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 17．（10分）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形DECF是正方形． 18．（12分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？ 19．（14分）如图，长方形纸片ABCD的边长AB＝8，AD＝4．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色． （1）求FG的长； （2）求图中阴影部分的面积． 20．（16分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动． （1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？ （2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？ 21．（16分）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接EF． （1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程； （2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．请直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，总分50分） 1．（5分）下列说法中，正确的是（　　） A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．四条边都相等的四边形是菱形 【分析】根据矩形、平行四边形、正方形、菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不符合题意； C、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，可能是等腰梯形，不符合题意； D、四条边都相等的四边形是菱形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定定理，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 2．（5分）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（　　） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【分析】根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等． 【解答】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，AD＝BC，AB＝DC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形． 故选：B． 【点评】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键． 3．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．25° 【分析】先求出∠BCD＝50°，再由直角三角形的性质可得，由等边对等角可得∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，∠EBD＝∠EDB，再由三角形外角的定义及性质可得∠BED＝100°，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【解答】解：由四边形的内角和是360°，可知，∠BCD＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC﹣∠BAD＝50°， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为对角线AC的中点， ∴， ∴∠EBC＝∠ECB，∠EDC＝∠ECD，∠EBD＝∠EDB， ∴∠BED＝∠BEA+∠DEA＝∠EBC+∠ECB+∠EDC+∠ECD＝2（∠ECB+∠ECD）＝100°， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了等边对等角、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，关键是根据直角三角形的性质解答． 4．（5分）某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路AC、BC互相垂直，道路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为2400m，则M、C两点间的距离为（　　） A．3600m B．2400m C．1200m D．600m 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【解答】解：根据题意可知，△ACB是直角三角形，点M是斜边AB的中点， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 5．（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为3，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值． 【解答】解：∵AB＝3，BC＝4， ∴矩形ABCD的面积为12，AC， ∴AO＝DOAC， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为3， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3AO×EODO×EF， ∴3EOEF， ∴5（EO+EF）＝12， ∴EO+EF， 故选：C． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分． 6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接EC，EC恰好平分∠BED，DE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点C作CF⊥BE于点F，证明出△ABE是等腰直角三角形，得到AE＝AB＝2，勾股定理求出，然后得到CF＝CD＝2，证明出△BCF是等腰直角三角形，得到BF＝CF＝2，勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【解答】解：过点C作CF⊥BE于点F， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝2， ∴∠D＝∠A＝∠ABC＝90°，CD＝AB＝2（矩形的对边相等）， ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝AB＝2， ∴， ∵EC恰好平分∠BED，∠D＝90°，CF⊥BE， ∴CF＝CD＝2， ∵CF⊥BE，∠CBF＝45°， ∴△BCF是等腰直角三角形， ∴BF＝CF＝2， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（5分）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　） A． B． C． D． 【分析】要求△BEF的周长，就需要知道三边长，经过观察我们会发现只有BF能求出，BE和EF的长可以是变化的，但是EF＝EC，所以BE+EF＝BE+EC＝BC＝2，进而就可以求出周长． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长是2， ∴BD2， ∵△DEF与△DEC关于直线DE对称， ∴DC＝DF＝2，EC＝EF， ∴BF＝22， △BEF的周长＝BF+BE+EF＝BF+BE+EC＝BF+BC＝22+2＝2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 8．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D从点B出发沿BC边向点C运动，运动到点C停止，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形AEDF形状的变化依次为（　　） A．矩形→菱形→矩形 B．矩形→正方形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形 【分析】根据DE∥AC，DF∥AB得四边形AEDF是平行四边形，再根据∠A＝90°得平行四边形AEDF是矩形，由此得在点D的运动过程中，四边形AEDF始终是矩形，只有当AE＝AF时，矩形AEDF是正方形，据此即可得出答案． 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴平行四边形AEDF是矩形， ∴在点D的运动过程中，四边形AEDF始终是矩形， 当AE＝AF时，矩形AEDF是正方形， ∴四边形AEDF形状的变化依次为：矩形→正方形→矩形． 故选：B． 【点评】此题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定是解决问题的关键． 9．（5分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解． 【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 又∵∠EPM＝∠EQN＝90°， ∴∠PEQ＝90°， ∴∠PEM+∠MEQ＝90°， ∵三角形FEG是直角三角形， ∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°， ∴∠PEM＝∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°， ∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中， ， ∴△EPM≌△EQN（ASA） ∴S△EQN＝S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴ACa， ∵EC＝2AE， ∴ECa， ∴EP＝PCa， ∴正方形PCQE的面积aaa2， ∴四边形EMCN的面积a2， 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN． 10．（5分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG； ③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE； ④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2； 【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC． ∴DEAC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，点D是AC的中点，则BD＝ 　4　 ． 【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点， ∴BDAC8＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 12．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD，BC边于点F，G．若AB＝4，则FG的长为 　2　 ． 【分析】过点B作BN∥GF交AD于点N，先证明△AED≌△BNA（AAS），推出AE＝BN＝FG，利用勾股定理求出AE，即可求解． 【解答】解：过点B作BN∥GF交AD于点N，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°， ∴四边形BGFN是平行四边形， ∴BN＝GF， ∵AE⊥FG，BN∥GF， ∴BN⊥AE， ∴∠BNA+∠EAD＝90°， ∵∠AED+∠EAD＝90°， ∴∠BNA＝∠AED， 在△AED和△BNA中， ， ∴△AED≌△BNA（AAS）， ∴AE＝BN＝FG， ∵点E是DC边的中点， ∴DE＝CD＝2， ∴， ∴． 【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 13．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为　20　 ． 【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值． 【解答】解：∵AG∥BD，BD＝FG， ∴四边形BGFD是平行四边形， ∵CF⊥BD， ∴CF⊥AG， 又∵点D是AC中点， ∴BD＝DFAC， ∴四边形BGFD是菱形， 设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x， ∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°， ∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2， 解得：x＝5， 故四边形BDFG的周长＝4GF＝20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形． 14．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　1　 ． 【分析】如图，取AD的中点T，连接BT，GT，首先利用全等三角形的性质证明∠AGD＝90°，求出GT＝1，BT，根据BG≥BT﹣GT，可得结论． 【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°， 在△DAE和△ABF中， ， ∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵∠BAF+∠DAF＝90°， ∴∠EDA+∠DAF＝90°， ∴∠AGD＝90°， ∵DT＝AT， ∴GTAD＝1，BT， ∴BG≥BT﹣GT， ∴BG1， ∴BG的最小值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出GT，BT是解题的关键． 15．（4分）如图，大正方形ABCD中，AB＝5，小正方形AEFG中，AE，在小正方形绕A点旋转的过程中，当∠EFC＝90°时，线段BE的长为　或2　 ． 【分析】连接DG，AC，过点D作DH⊥AG，交AG的延长线于H，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，BE＝DG，通过证明点A，点C，点D，点G四点共圆，可得∠CGD＝∠DAC＝45°，由勾股定理可求GH的长，即可求BE的长． 【解答】解：当点F在正方形ABCD内时， 如图，连接DG，AC，过点D作DH⊥AG，交AG的延长线于H， ∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAC＝45°，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE＝DG， ∵∠EFC+∠EFG＝180°， ∴点G，点F，点C三点共线， ∵∠AGF＝90°＝∠ADC， ∴点A，点C，点D，点G四点共圆， ∴∠CGD＝∠DAC＝45°， ∴∠DGH＝∠CGH﹣45°＝45°， ∵DH⊥AH， ∴∠HGD＝∠HDG＝45°， ∴HG＝HD，GDHD， ∵AD2＝AH2+DH2， ∴25＝（GH）2+GH2， ∴GH＝﹣2（舍去），GH， ∴GDGH， ∴BE， 如图，当点F在正方形ABCD外时，同理可求BE＝2， 故答案为：或2． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，总分80分） 16．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，进而利用菱形的判定得出平行四边形ADCE是菱形； （2）根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，解直角三角形得到CECD＝3，根据菱形的性质得到结论． 【解答】（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6， ∵AD∥CE， ∴∠DCE＝60°， ∵CD＝AD＝6， ∴CFCD＝3， ∵四边形ADCE是菱形， ∴CE＝CD＝6， ∴EF＝3． 【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 17．（10分）如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形DECF是正方形． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H，则∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°，由此得四边形DECF是矩形，再根据角平分线性质得DE＝DH＝DF，然后根据正方形的判定即可得出结论． 【解答】证明：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： ∵DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠DEC＝∠DFC＝∠C＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∵BD平分∠ABC，AD平分∠BAC，DE⊥BC，DF⊥AC，DH⊥AB， ∴DE＝DH，DH＝DF， ∴DE＝DF， ∴矩形DECF是正方形． 【点评】此题主要考查了正方形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的判定，角平分线的性质是解决问题的关键． 18．（12分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，可证∠ADE＝∠CBF，然后通过SAS证△ADE≌△CBF即可； （2）由BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠CBD，又因为∠ADB＝∠CBD，则∠ABD＝∠ADB，有AB＝AD，可证出AC⊥BD，然后证出四边形AFCE为平行四边形即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）四边形AFCE是菱形，理由如下： ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∴AC⊥BD， ∵△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴▱AFCE是菱形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，证出AC⊥BD是解题的关键． 19．（14分）如图，长方形纸片ABCD的边长AB＝8，AD＝4．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色． （1）求FG的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）利用翻折变换的性质可得：FG＝DF，CG＝AD，设FG＝x，利用勾股定理在Rt△FGC中列出方程，解方程即可求解； （2）利用（1）中的结论用矩形ABCD的面积减去△BFC的面积即可得出结论． 【解答】解：（1）由翻折变换的性质可得：FG＝DF，CG＝AD＝4， 设FG＝x，则FD＝x，FC＝CD﹣FD＝8﹣x， 在Rt△FGC中， ∵GF2+GC2＝FC2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴FG＝3； （2）由（1）知：FG＝3， ∴FC＝8﹣3＝5， ∴FC×BC5×4＝10， 由翻折变换的性质可得：S四边形EFGC＝S四边形EFDA， ∴图中阴影部分的面积＝S四边形EFGC+S△BEC ＝S四边形EFDA+S△BEC ＝S矩形ABCD﹣S△EFC ＝8×4﹣10 32﹣10 ＝22． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 20．（16分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动． （1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？ （2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？ 【分析】（1）若是平行四边形，所以BD＝12cm，则B0＝DO＝6cm，故有6﹣t＝2t，即可求得t值； （2）由菱形的性质得AC⊥EF，再由勾股定理求出AB的长即可． 【解答】解：（1）若四边形AECF为平行四边形， 则OA＝OC，OE＝OF， ∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝12cm，AC＝6cm， ∴BO＝OD＝6cm，OA＝OC＝3cm， ∴OE＝（6﹣t）cm，OF＝2tcm， ∴6﹣t＝2t， ∴t＝2， ∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形， 则AC⊥EF， ∴AO2+BO2＝AB2， ∴AB3（cm）， ∴当AB为3cm时，▱AECF是菱形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 21．（16分）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，且∠ECF＝45°，连接EF． （1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并写出证明过程； （2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．试探究线段EF，BE，DF之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）延长AB使得BG＝DF，连接CG，先证明△DCF≌△BCG，得出∠DCF＝∠BCG，CF＝CG，再证明△CFE≌△CGE得出GE＝EF即可解答； （2）把△CDF绕点C逆时针旋转90°后，得到△CBG．根据旋转的性质证明△CEF≌△CEG得出EF＝EG，由EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF即可解答． 【解答】解：（1）EF＝BE+DF， 证明：如图，延长AB使得BG＝DF，连接CG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°＝∠D＝∠CBG．CD＝CB， ∴△CDF≌△CBG（SAS）， ∴∠DCF＝∠BCG，CF＝CG， ∵∠ECF＝45°， ∴∠BCE+∠DCF＝45°． ∴∠ECG＝∠BCG+∠BCE＝45°＝∠ECF， ∵CF＝CG，CE＝CE， ∴△CFE≌△CGE（SAS）． ∴GE＝EF． ∵GE＝GB+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （2）EF＝BE﹣DF． 证明：如图，把△CDF绕点C逆时针旋转90°后，得到△CBG． 由旋转可得BG＝DF，CF＝CG，∠BCG＝∠DCF，点A，G，B在同一直线上． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°． ∵∠ECF＝45°， ∴∠DCE+∠DCF＝45°． ∴∠DCE+∠BCG＝45°． ∴∠ECG＝∠BCD﹣（∠DCE+∠BCG）＝90°﹣45°＝45°． ∴∠ECF＝∠ECG． ∵CF＝CG，CE＝CE， ∴△CEF≌△CEG（SAS）． ∴EF＝EG． ∵EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣DF． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 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