第22章 图形的相似（铺路帮手）-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级全一册数学单元检测卷（华东师大版·新教材 河南专版）

第22章 成比例线段 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.人们出行方式越来越丰富，以下四组L0G0 中，不相似的一组是( A. B. 美B州N地失知州取纸 郑州公交郑州公交 C. 中国肤髓中烟 昆明航空 a Kunming Alrllnes 2.下列结论中，错误的是( A若-则-a400) B.若-61 66,则了 C.若“=c、2 b d3 6-d≠0)，则4-c=2 "b-d 3 D若8-则a=3,64 3.如图，AD∥BE∥CF,直线m,n与这三条平行 线分别交于点A、B、C和点D、E、F,已知AB= 5,BC=10,DE=4,则DF的长为( ) A.2 B.8 c.10 D.12 2 4 a9 165° 45 a m 45o 第3题图 第4题图 4.如图所示的两个四边形相似，则下列结论不 正确的是( A.a=22 B.m=2n C.x=2 D.∠a=609 5跨学科试题·音乐玻璃瓶中装入不同量的 水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当 液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比(AC >BC)时，可以敲击出音符“sol”的声音.若 AB=8cm,且敲击时发出音符“sol”的声音， 则液面高度AC约为() 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 图形的相似 相似图形 测试分数：65分 A.(4-25)cm B.(4V5-4)cm C.(45+4)cm D.(4-45)cm 8cm ?cm A 第5题图 第6题图 6.如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD 上的一点，BE=BC,过点E作EF⊥AB,EG ⊥BC,垂足分别为点F,G,则BG:BC的 值为() A.2:3 B.√2：2C.2:1D.2:2 7.在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新 的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩 形与原矩形相似 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新 的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱 形与原菱形相似 对以上两人的观点，下列判断正确 的是( 图1 图2 A.甲错 B.乙错C.都错 D.都对 二、填空题（每小题3分，共6分） 8.若线段a,b,c,d依次成比例线段，且a=1cm, b=5cm,c=3cm,则d为 cm. 9.[教材习题变式]如图，在矩 D 形ABCD中，AD=2,AB=4, B 剪去一个矩形AEFD后，余 下的矩形EBCF与原矩形BCDA相似，则 CF的长为 九年级·HS·数学第9页 三、解答题（共38分） 63,求0426 10.(10分)(1)已知=2 的值； a (2)已知a,b,c是△ABC的三边，且满足 a+4b+3c+8 3=2三4，a+6+c=12,请你探索 △ABC的形状. 11.(9分)如图，已知DEBC,FE∥CD (1)若AF=3,AD=5,AE=4.求CE的长； (2)求正部品 B 追梦之旅铺路卷·铺路帮手， 12.(9分)如图，在平行四边形ABCD中，点 E,F分别为AD,BC的中点，连结BE,DF 分别交AC于点G,H.求证：AG=GH=HC 13.（10分)如图，点E是菱形ABCD对角线 CA的延长线上任意一点，以线段AE为边 作一个菱形AEFG,且菱形AEFG与菱形 ABCD相似，连结EB,GD. (1)求证：EB=GD; (2)若∠DAB=60°，AB=2,AG=√3，求GD 的长. 九年级·HS·数学第10页 相似三角 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=4,AC=6, 将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角 形与△ABC不相似的是( B D 60 2.如图，E是口ABCD边AB的延长线上一点， DE交BC于F,则图中的相似三角形共 有() A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 B B D 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边 上，DE∥BC,且∠DCE=∠B.那么下列各判 断中，错误的是( A.△ADE∽△ABC B.△ADE∽△ACD C.△ADE∽△DCB D.△DEC∽△CDB 4.如图，在△ABC中，P,Q分别为AB、AC边上 的点，且满足AP-4Q 根据上述信息，嘉嘉 AC AB 和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连结PQ,则PQ∥BC 淇淇说：△AQP∽△ABC 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的 是() A.两人都正确 B.两人都错误 C.嘉嘉正确，淇淇错误 D.嘉嘉错误，淇淇正确 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 形的判定 测试分数：65分 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,正 方形DEFG的顶点E,F在△ABC内，顶点 D,G分别在AB,AC上，AD=AG=2.5,则DG 的长为( B.2 5 A.3 D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 6.如图，AE与BD相交于C,要使△ABC∽ △DEC,需要条件 .(只需写一个 条件) D E 第6题图 第7题图 7.如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点， 若∠ACD=∠B,AD=2,AC=4,则BD 8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=9,BP= BC=2,D在AC上，且LAPD=∠B,则CD B P 第8题图 第9题图 9.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是 BC边的中点，点P是线段AD上的动点，过 P作PF⊥AE于点F,当以点P、F、E为顶点 的三角形与△ABE相似时，AP的长 为 九年级·HS·数学第11页 三、解答题（共38分） 10.(9分)求证：三边成比例的两个三角形 相似. 如图：已知在△ABC和△A'B”C中，4B AB BC CA BC=CA,求证：△ABC△A'B'C 11.（9分)如图，A、B、C三点均在边长为1的 小正方形网格的格点上. (1)请在BC上标出点D,连结AD,使得 △ABD∽△CBA; (2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA, 追梦之旅铺路卷·铺路帮手、 12.（10分)如图，D是△ABC的边AB上的一 4 点，BD=3,AB=3,BC=2 (1)△BCD与△BAC相似吗？请说明理由. (2)若CD=,求AC的长 13.（10分)如图所示，在△ABC中，BA=BC= 20cm,AC=30cm,点P从点A出发，沿AB以 4c/s的速度向点B运动，同时点Q从C点 出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设 运动时间为x秒. (1)当x为何值时，BP=CQ (2)△APQ能否与△CQB相似？若能，求 出x的值：若不能，请说明理由 九年级·HS·数学第12页 相似三角 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.若△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF相似 比是2：3，则它们对应高的比是() A.3:2 B.2:3 C.49 D.9:4 2.若△ABC△DEF,且对应中线比为4：7，则 △ABC与△DEF的周长比为( A.7:4 B.4:7 C.16:49 D.49:16 3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格 中，A,B,C,D四个点均在格点上，AC与BD 相交于点E,连结AB,CD,则△CDE与 △ABE的面积之间的关系为( B A.SACDE= SAABE B.SACDE=2SAABE 1 C.SACDE=4SARE D.S△CDE=4S△ABE 4.如图，在口ABCD中，E为CD上一点，连结 AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF:S△ABF= 4:25,若SADEF=8,则SAA0p=() A.25 B.15 16 C.20 0.5 第4题图 第5题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 形的性质 测试分数：65分 5.如图，△ABC是面积为18cm2的等边三角 形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成 三等份，则图中阴影部分的面积为() A.4 cm2 B.6 cm2 C.8 cm2 D.10 cm2 二、填空题（每小题3分，共15分） 6.已知△ABC∽△A'B'C',顶点A、B、C分别与 A'、B'、C'对应，AD、A'D'分别是△ABC和 △4BC的角平分线，0AB=9,则 A'B'= 7.已知△ABC△DEF,S△ABC:S△DEr=1:6, △ABC的周长为15cm,△DEF的周长为 cm. 8.已知两个相似三角形的一组对应边长分别 是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高 的长度相差2.4厘米，那么这两条高的长度 和为 厘米 9.如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上， △ADE∽△ABC,M、N分别是DE、BC的中 点者器 SAABG BF D G 第9题图 第10题图 10.如图，矩形EFGH的四个顶点都在△ABC 的边上，且边FG落在BC上，AD⊥BC.若 2 BC=3,AD=2,EF=3EH,那么EH的长 为 九年级·HS·数学第13页 三、解答题（共35分） 11.（8分)如图，点D、E分别在△ABC的边 AB、AC上，△ADE∽△ABC,且△ADE与 △ABC的相似比为2：3.已知AE=4,求AC 的长 D B 12.(9分)如图，在△ABC和△DEF中，G、H 分别是边BC和EF的中点，已知AB= 2DE,AC=2DF,∠BAC=∠EDF. (1)中线AG与DH的比是多少？ (2)△ABC与△DEF的面积比是多少？ CE H 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 13.(9分)如图，在△ABC中，点D、E、F分别 在边ABAC、BC上，EF∥AB,BPAD3, CF BD 2 BC=15. (1)求DE的长； (2)如果C△ADE=24,则求BD+CE的长. 14.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,延长BC 至点D,使得CD=BC,连结AD,过点C作 BD的垂线CE交AD于点E,连结BE交 AC于点F. (1)求证：△ABD∽△FCB; (2)若△FCB的面积为9，BC=6,求DE 的长 九年级·HS·数学第14页 相似三角 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共15分） 1.如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距离 墙角1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长 0.55m,则梯子长为( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m B R 甲 ) 第1题图 第2题图 2.跨学科试题·物理阿基米德曾说过：“给我 一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生 动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和 力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一 原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠 杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一 端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA三 150cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则 AC的长度是( A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm 3.如图是小明实验小组成员在小孔成像实验 中的影像，蜡烛在刻度尺50cm处，遮光板 在刻度尺70cm处，光屏在刻度尺80cm 处，量得像高3cm,则蜡烛的长为( ) A.5 cm B.6 cm C.4 cm D.4.5 cm 50607080cm D 第3题图 第4题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 形的应用 测试分数：40分 4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的 高.明明同学根据已知条件，得出下列结论， 其中正确的有() (1)AC2=AD·AB(2)BC2=BD·AB (3)CD2=AD·DB(4)CD·AB=AC·CB A.1个B.2个C.3个 D.4个 5.生活情境·燕尾夹一种燕尾夹如图1所示， 图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打 开状态时的示意图（此时AB∥CD),相关数 据如图（单位：cm).从图2闭合状态到图3 打开状态，点B,D之间的距离减少 了( 42E3B (C)F D C 2 F 3 D 图1 图2 图3 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 二、填空题（每小题3分，共6分） 6.如图，A,B两点被池塘隔开，小吴为了测量 A,B两点间的距离，他在AB外选一点C,连 结AC和BC,延长AC到D,延长BC到E, CE=2BC,连结DE,使DE/AB.若小吴测得 DE的长为300米，则AB= 米 -D 第6题图 第7题图 九年级·HS·数学第15页 7.文化情境·数学文化《九章算术》是中国古 代第一部数学专著，是《算经十书》中最重 要的一种，成于公元一世纪左右.在其“勾 股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七 里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有 木，问：出南门几何步而见木？”意思是说： 如图，矩形城池ABCD,东边城墙AB长9 里，南边城墙AD长7里，东门点E,南门点 F分别是AB,AD的中点，EG⊥AB于E,FH ⊥AD于F.EG=15里，HG经过点A,则FH 为 里 三、解答题（共19分） 8.(9分)如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC 上的高，∠ABC的平分线BE交AC于点E, BF AB 交AD于点R求证：BRBC 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 9.新考法·项目式学习(10分)某数学研究性 学习小组在老师的指导下，利用课余时间进 行测量活动 活动 主题 探究晒衣架的相关问题 小红家阳台上放置了一个晒 衣架，如图是晒衣架的侧面示 意图，立杆AB,CD相交于点 O,B、D两点置于地面上，现将 晒衣架完全张开，根据三角形 模型 的稳定性，扣链EF成一条直 抽象 线起稳固作用，且EF∥BD. 7A 活 动 过 程 B G 过，点O作OG⊥BD于点G,交 EF于点H,经测量与比对，有 数据 信息 0C=80cm,0D=120cm,0B OA 3,20E=EB,0H=24cm. 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接AC,求证：AC∥BD; (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度 达到126cm,则挂在晒衣架上是否会碰到 地面？请通过计算说明， L年级·HS·数学第16页 位似图形 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.如图，△ABC与△DEF位似，点0为位似中 心，AD=2A0,若△ABC的周长是5，则 △DEF的周长是( A.10 B.15 C.20 D.25 第1题图 第2题图 2.如图，在6×6的正方形网格中，以点0为位 似中心，把△ABC放大为原来的2倍，则点 B的对应点为( A.点M B.点N C.点P D.点Q 3.如图，已知△A'B'C与△ABC是以点O为位 似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说 法错误的是( A.BC//B'C' B.OB':BB′=3：5 C.△A'B'C'与△ABC的周长比是3：5 D.△A'B'C与△ABC的面积比是9：25 0 A 01 46 第3题图 第4题图 4.如图，在平面直角坐标系中，已知点0(0， 0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似中心， 作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE, 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 图形与坐标 测试分数：50分 则位似中心的坐标和飞的值分别为() A.(0,0),2 B.(2,2),2 C.(2,2),2 D.(1,102 5.如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为 x轴，镜面侧面为y(镜面厚度忽略不计)建 立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点 的坐标是(x-2,2),此时对应的虚像S的坐 标是(3，y),则(x+y)225=( A.1 B.0 (x-2,2) C.-1 D.-2 6.如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点B的坐标为(2,0)，点A在第一象限 内，将△OAB沿直线OA的方向平移至 △O'A'B'的位置，此时点A'的横坐标为3， 则点B'的坐标为( A.(4,23) B.(3,2√3) C.(4,33) D.(3,33) 012x 第6题图 第7题图 7.如图，已知平行四边形OABC的顶点O(0, 0),B(2,2),C(1.6,0.8).若将平行四边形 先沿着y轴进行第一次轴对称变换，所得图 形再沿着x轴进行第二次轴对称变换，轴对 称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴 九年级·HS·数学第17页 …的规律进行，则经过第2026次变换后， 平行四边形顶点A的坐标为() A.（-0.4,1.2) B.（-0.4,-1.2) C.(1.2,-0.4) D.(-1.2,-0.4) 二、填空题（每小题3分，共12分） 8.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点 O,且BC:EF=3:2,则SA4Bc: SADEF= ☒ 第8题图 第9题图 9.如图，点A是反比例函数y=二(x<0)图象 上的一点，直线AD分别与x轴，y轴交于点 D和C,AB⊥y轴于点B,若△ABC与△DOC 的位似比为1：3，△AC的面积为子，则长值 为 10.如图，第一象限内有两点P(m-3,n),Q (m,n-2),将线段PQ平移使点P落在y 轴上，点Q落在x轴上，则点P平移后的 对应点的坐标是 0 第10题图 第11题图 1.如图，直线y=了+1与x轴，y轴分别交于 A、B两点，△B'O'C'与△BOC是以点A为 位似中心的位似图形，且相似比为2：1，则 点B'的坐标为 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 三、解答题（共17分） 12.（8分)如图，△ABC与△DEF位似，点O 是位似中心，若OA:AD=2:3,△DEF与 △ABC的面积差为21cm2,求△ABC的 面积. 13.（9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A(-2,-2),B(-5, -4),C(-1,-5) (1)请在平面直角坐标系中画出△ABC关 于x轴对称的△A,B1C1; (2)以点O为位似中心，将△ABC放大为 原来的2倍，得到△A2B2C2,请在平面直角 坐标系中画出△A2B2C2; (3)求△A2B2C2的面积 九年级·HS·数学第18页14.(1)证明：△=[-(m+5)]2-4×1×(3m+6)=m2-2m+1= (m-1)2≥0，所以无论m取何值，该方程总有实数根； （3分) (2)解：设矩形的两邻边长分别为a,b,.a+b=m+5,ab =3m+6, (4分) .(a+b)2=(m+5)2,.a2+b2+2ab=m2+10m+25,.a2+ b2=m2+10m+25-2(3m+6)=m2+4m+13. (6分) :a2+b2=52,.m2+4m+13=25,解得m1=-6,m2=2, a+b=m+5>0,.m的值为2. (8分) (3)解：由题意得4=(m-1)2=0,.m=1. (10分) 15.解：(1)由题意得，a,b可看作一元二次方程x2-7x-2= 0的两个不等实数根， (2分) ∴.a+b=7,ab=-2, (3分) ∴.a+b-ab=7-(-2)=9; (4分) (2)在方程2n2+7n-3=0的两边同时除以-n2得 3()2-7x-2=0, (5分) 又：实数m满足3m2-7m-2=0,且mn≠1，可将m, 看作一元二次方程3x2-7x-2=0的两个不等实数 n 1-7m_2 根，∴.m+ n3’n 3 (8分) 1 7 m+- mn+1 3 1 (10分) mn+m+1 725 nn 33 实践与探索 1.C 【方法点拨】列一元二次方程解决平均增长（降低）率问 题：a(1±x)2=b,其中a为原有基础量，x为两次平均增 长（降低）率，b为增长（降低）后的现有量 2.C 3.C【解析】设劳动基地中的道路宽为x米，由题意得， (34-2x)(18-x)=480,解得x1=2,x2=33(不符合题意， 舍去).故选C. 4.C【解析】设涨价t元，根据题意列方程得：(10+t-8)》 [200-10×(t÷0.5)]=700,∴.(2+t)(10-t)=35,解得t1= 3,2=5,.10+3=13(元)或10+5=15（元），即售价为13 或15元时，每天的利润可得到700元.故选C. 5.C 6.C【解析】设四个数中最小数为x,则其他三个数为x+ 路 1,x+7,x+8,由题意，列方程得x(x+8)=153,解得x1=- 17(舍去)，x2=9,.x+1=10,x+7=16,x+8=17,9+10+ 手 16+17=52,∴.这四个数的和为52.故选C. 7.(40-x)(20+2x)=1200 案 8.1【解析】设AB长为xm,则BC长为(5+1-2x)m.依题 意得x(5+1-2x)=4,整理得x2-3x+2=0,解方程得x1= 1,x2=2..当x=1时，6-2x=4;当x=2时，6-2x=2(舍 去)..AB的长为1m. 9.14【解析】设A组共有x个班，依题意得 x(x-1)= 21,解得x1=7,x2=-6(舍去)，.九年级共有2×7=14个 班级. 10.解：设剪掉的正方形纸片的边长为xCm.由题意，得(30 -2x)(20-2x)=264.整理，得x2-25x+84=0.解方程，得 x三4，x2=21(不符合题意，舍去).答：剪掉的正方形的 边长为4cm. （9分)》 11.解：(1)设x秒后，PQ=2√10，BP=5-x,BQ=2x,BP2 +BQ=PQ,∴.(5-x)2+(2x)2=(210)2,解得x1=3, x2=-1(舍去)，.3秒后，PQ的长度等于2√10cm; (5分) (2)△PQB的面积不能等于7cm2, (6分) 原因如下：设t秒后，△PQB的面积等于7cm2,则PB=5 -1,QB=2L,又：SArQ=2×BPXQB 2×(5-t)x2=7, .t2-5t+7=0, (7分) 追梦之旅铺路卷·九年 △=(-5)2-4×1×7=-3<0，.方程没有实数根， △PQB的面积不能等于7cm2. (9分) 12.解：(1)设将每件商品的售价提高x元，则每天可售出 该商品(200-10xx)件.根据题意得(10-8+x)(200- 0.5 0x。5年640.整理，得x-8x+12=0, (2分) 解得x1=2,x2=6,.10+x=12或16.故将每件商品的售 价定为12元或16元时，才能使每天的利润为640元； (5分) (2)同意小红的说法. (6分) 理由：设每件商品提价m元，则每天可售出商品(200 10×。5)件.根据题意得10-8+m)(200-10x。)= 800,整理，得m2-8m+20=0. (8分) 4=(-8)2-4×1×20=-16<0,该方程无解，.小红 的说法正确. (10分) 第22章图形的相似 成比例线段相似图形 1.D2.D 3.D【解析】AD/BE/CF,BCEF10EFEF =8,∴.DF=4+8=12.故选D. 4.B【解析】：两个四边形相似，.√2：a=x:4=mn=2: 4,解得a=22,x=2,2m=n,∠a=360°-45°-90°-165°= 60°，综上所述，故选B. 5. 6.B【解析】设BG=x,则BE=√2x,BE=BC,∴BC= √2x,∴.BG:BC=√2：2.故选B. 7.A8.159.1 6=2,0=3·a+2b 10.解：16=子… h 2=1+2x6=1+2× 3 24 (5分) (2)令a+4_643_48=ka+4=3张，6+3=2k,c+8= 324 4k,∴a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8.又a+b+c=12.. (3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12,∴.k=3.∴.a=5,b=3,c= 432+42=52,..△ABC是直角三角形. (10分) 11.(1)解：由题意可知：DF=AD-AF=5-3=2. (1分) AF4g,即3=4 FE∥CD,DFEC' 2EC CE=8 3 (4分) AD AE (2)证明：DE/BC,DBEC （5分) AF AE AF AD FE//CD,FD-ECFD DB (9分) 12.证明：E、F是口ABCD对边AD、BC的中点，∴.DE∥BF 且DE=BF∴四边形BEDF是平行四边形，.BEDF. (3分) 在△ADH中，EG∥DH,∴. AE AG ED GH ,又：E是AD的中点， ∴.AE=ED,∴.AG=GH. (6分) 同理，在△BCG中，CH=HG,.∴.AG=GH=HC. (9分) 13.(1)证明：·菱形AEFG与菱形ABCD相似，∴.∠EAG= ∠BAD,∴.∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,∴.∠EAB= ∠GAD. (2分) ·AE=AG,AB=AD,.△AEB≌△AGD(SAS),.EB= GD: (5分) (2)解：连结BD交AC于点P,则BP⊥AC, (6分) 1 LDAB=60,AB=AD,BP=BD=AB=1,AP 2 =√AB2-BP2=√3，AE=AG=3,∴.EP=2V3,∴.EB= WEP2+BP2=√12+1=√13，∴.由(1)知GD=EB= /13, (10分) 级·HS·数学第25页 相似三角形的判定 1.A2.C3.C4.D5.A 6.∠B=∠E(答案不唯一)7.6 8号【解析1：BP号BC=2BC=6CP=4,A= AC=9,∴.∠B=∠C,.∠BAP+∠APB=180°-∠B, ∠APD=∠B,.∠APB+∠DPC=180°-∠APD=180°- AB PB ∠B,.∠DPC=∠BAP,.△ABP△PCD,.PFDC' ..CD=8 9 93或25 6 【解析】分两种情况：①若△EFP∽△ABE,则 ∠PEF=∠EAB,.PE∥AB,.四边形ABEP为矩形， PA=EB=3;②若△PFE∽△ABE,则∠PEF=∠AEB.,: AD∥BC,.∠PAF=∠AEB,∴.∠PEF=∠PAF,.PE= PA.PF⊥AE,点F为AE的中点，Rt△ABE中，AB= 4,BE=3,AE=5,-EF=)AE=5 F2:△PEF∽△AEB, PE EF 25 六AE-BEPE=-PA=G 6 ∴满足条件的PA的值为3或 25 6 10.证明：在线段AB上截取 AD=A'B',过点D作DE∥ BC,交AC于点E,如图， .·DE∥BC,∴.△ADE∽ △ABC,. AB BC AC AD DE AE (2分) AB BC CA ABBC-CATAD=AB', BCBC AC CA DE B'CAE C'A' .DE=B'C',AE=A'C' (5分) (AD=A'B' 在△ADE和△A'BC中，DE=B'C',△ADE≌ AE=A'C △A'B'C'(SSS) (8分) ,.△ABC∽△A'B'C (9分) 11.（1)解：如图，点D是所求作的点； (4分) B (2)证明：AB=√+2=√5，BC=5,BD=1, BD AB 15 AB5 BD AB 5 5'BC5AB-BC (7分) .·∠DBA=∠ABC,.△ABD∽△CBA. (9分) 12.解：(1)△BCD△BAC. (1分) 4 里由如下品：子：船：子肥面 BC BA' ∠DBC=∠CBA,∴.△BCDN△BAC; (5分) (2):△BCD∽△BAC,CD_BC AC-BA CD=5 ,BA=3, BC=2,..AC= CD·BA (10分) BC 2 13.解：(1)依题意可得BP=20-4x,CQ=3x,当BP=CQ时， 20 20-4x=3x,解得x= 7 (4分) (2)能. (5分) ①当A4P网△c08时，省-品经-0n解得 3x x=g或=0（含去） (7分) 追梦之旅铺路卷·九年 ②当△0△ca0时有品-器货-0懈特 =5或=-10（会去）.放当=号秒或=5秒时， △APQ与△CQB相似. (10分) 相似三角形的性质 1.B2.B3.C 4.C【解析】四边形ABCD是平行四边形，.DC∥AB, △DFE△BFA.S△DEF:S AABF=4:25,.EF:FA=2:5,， ∴.S ,=25..S DE pr=8SA4Dr=20.故选C. 5.B【解析：EH∥FG∥BC,∴.△AEH∽△AFG△ABC, 又：AB孩藏成三等份，六SA Sa4=(AE)= 1 SAAFG= =（AB=9'SAADG A2=4, AB' =g.SAARH=2cm2,Sawe=8cm2,则S影=SArG -S△4Em=6cm2.故选B. 6.67.1568.5.69.4 10子【解析】设AD交BH于点M:回边形EFCH是矩 形，EH∥BC,△AEH△ABC,AD=BC,设EH 3x,则有EF=2x,M=AD-EF=2-24,22-解 得则B号 11.解：：△ADE∽△ABC,且△ADE与△ABC的相似比2： AE 2 3,AC3 (5分) .AE=4,∴.AC=6. (8分) AB AC 12.解：(1)：AB=2DE,AC=2DF,DE0F2∠BMC =∠EDF,.△BAC△EDF.AG,DH分别是△ABC, △DEF的中线，AC=AB 2. (5分) DH DE (2:△ABC△DEE,SAg a4c=(Ag)2=4. (9分) DE CF CE 2 CF BD CE 1B.解：(1)：EF/AB,÷BFAE=行“BF-ADAE BD 2 AE AD 3 AD3,ACAB=方：∠A=LA,△ADE 路 AABC.G=5BC=15,DE=9 (4分) 手 CAADE=3. （2A08-号：Ca=24 案 CA4Bc=40,BC=15,·.AB+AC=25,.BD+CE=25- (24-9)=10. (9分) 14.（1)证明：AB=AC,.∠ABC=∠ACB.EC⊥BD,BC =CD,∴.BE=DE,∴.∠EBD=∠EDB,.△ABD △FCB; (4分) (2)解：作AH1BC于H.:△ABD△FCB,FCFB AB AD BD S△Bcr-/BC)21 ·0c=6c=6小0-(0-5e9, 1 .SAA8m=36.2 ×BD×AH=36,.∴.AH=6..AB=AC, AH⊥BC,∴.BH=CH=3,.DH=9..EC⊥DB,∴.EC∥ CE DC CE 6 M,△DEC△DM,÷HM0m69CE= 4,∴.DE=√/42+62=2√13. (9分) 相似三角形的应用 1.C 2.B【解析】：AC⊥AB,BD⊥AB,.AC∥BD,.△AOC∽ AC OA AC 150 △B0D,÷BD0B2050,AC=60.故选B. 及 ·HS·数学第26页 3.B4.D 5.B【解析】在图2中连接BD,由题意得，AE=AC 'ABAD∠A= ∠A,△AEF∽△ABD,AS=EF22 BBD5=BDBD= 5cm,5-2=3(cm).故选B. 6.600 71.05【解析】由题意可知，AE=号AB=45里，AF= 2AD=3.5里，：四边形ABCD是矩形，EG⊥AB,FH1 AD,.∠HFA=∠DAB=LAEG=90°，.FA∥EG,.∠HAF FH AF FH3.5 =LG△HFM△MBG,EAGE,即4515， 解得： FH=1.05,即FH为1.05里. 8.证明：.：∠ABC的平分线为BE,AD为高，∴.∠ABE= BD ∠EBC,∠BDF=∠BAE=90°，.∴.△BDF∽△BAE,. AB BF (4分) BE .·∠BAC=∠BDA=90°，∠ABC=∠DBA,∴.△ABC AB BD BF AB △DBA,.BC-AB'BE BC (9分) 9.(1)证明：.0C=80cm,0D=120cm,. 0C_2.0A 0D30B 2 OA OC 3 OB-ODLAC0C=∠B0D,.△A0CM△B0D, ∠A=∠OBD,∴.AC∥BD: (4分) (2)解：小红的连衣裙会碰到地面， (5分) 理由如下：EF∥BD,.△OEF∽△OBD,. OH OE OG OB 0H0E1 2OE=EB,OB=OE+EB,∴.OB=3OE,∴. 0G0B3 0G=30H=72cm. (8分) 设点0到AC的距离为h,由(1)可知：△AOC∽△BOD: h OA 2 六0c0B3.h= 20G=48cm,72+48=120<126, .小红的连衣裙会碰到地面. (10分) 位似图形图形与坐标 1.B2.A3.B4.B 铺5.A【解析】根据题意可知，x-2=-3,y=2,x=-1,y=2, 路 .原式=（-1+2)2=1.故选A. 6A【解析】过点A作AD⊥OB于点D,A'E⊥x轴于，点E, 手 .AD∥A'E,.△OADM△OA'E,在等边三角形OAB中， OD AD 1 OB=OA=2,OD=BD=1,∴.AD=√3.. 案 OE AE-3A'E =33.33-√3=23.∴.B'的坐标为(4,2√3).故选A. 7.B【解析】.平行四边形OABC的顶，点O(0,0),B(2 2),C(1.6,0.8),..A(0.4,1.2),将平行四边形先沿着y 轴进行第一次轴对称变换，A1(-0.4,1.2),所得图形再 沿着x轴进行第二次轴对称变换，A,(-0.4,-1.2),第三 次轴对称变换，A3(0.4,-1.2),第四次轴对称变换，A4 (0.4,1.2),即A,点回到原处，即每4次轴对称变换重复 一轮，2026÷4=506…2，.经过第2026次变换后，平行 四边形顶，点A的坐标为(-0.4，-1.2).故选B. 8.9:4 9.-6【解析】连结OA,.·△ABC与△DOC的位似比为1： BC 1 BC 1 3 3, OC3B=4SRG=SAAm=4SAAR= 3,.k=-6. 10.(0,2) 11.(3,2)或(-9，-2)【解析】当x=0时，y=1,当y=0 时，x=-3,则点B的坐标为(0,1)，∴.A(-3,0) OB OA :△B'0'C∽△B0C,且相似比为2：1，心0B0A 20B'=2,A0=6,.B'(3,2)或(-9，-2). 追梦之旅铺路卷·九年 12.解：△ABC与△DEF位似，点0是位似中心， △ABC∽△DEF,AB∥DE,△OAB△ODE,OD OA AB (3分) DE 0AAD=2:3,.0A:0D=25, AB2.S△ABC= ·DE5,心SADEF (设△C的面积为，△nP的面 积为25kcm2,.25k-4k=21,.k=1,.△ABC的面积为 4cm (8分) 13.解：(1)△AB,C,如图所示， (3分) (2)△A2B2C2如图所示. (6分) (3)Sa4,9=6x8- 2x6x4 8x2 ×6×2=48-8 2 12-6=22. (9分) 用 封祛由 第23章解直角三角形 测量直角三角形的性质 1.C2.B3.B 4.C【解析】取CF的中点T,连结DT,AT.∠BAC=90°， FD⊥BC,.∠CAF=∠CDF=90°，AT=DT=2CF,. TD=TC=TA,∴.∠TDA=∠TAD,∠TDC=∠TCD,.: ∠ADB=45°，.∠ADT+∠TDC=135°，.∠ATC=360°-2 ×135°=90°，.AT⊥CF,CT=TF,∴.AC=AF,.∠AFC= 45°，.∠BFD=45°-32°=13°，∠BDF=90°，.∠B= 90°-∠BFD=77°.故选C. 5.D【解析】：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC =2cm,∴.AB=2BC=4cm,.'BC=2cm,D为BC的中点， .BD= 2BC=1cm,若LBED=90°，当A→B时， ∠ABC=60,LBDE=30°，BE=,BD= 2cm,..t= 3.5,当B→A时，t=4+0.5=4.5.若∠BDE=90°时，当A →B时，∠ABC=60°，∴.∠BED=30°，.BE=2BD= 2cm,∴.t=4-2=2,当B→A时，b=4+2=6(舍去).综上可 得：t的值为2或3.5或4.5.故选D. 6.57.4 8.22【解析】∠CAD=∠CAB,∠CAB=30°，∴.∠CAD= 30°，∠ADC=90°，点F是AC的中，点，AC=4,.DF= AF= 2AC=2,.∠CAD=LADF=30°，.∠DFC=∠CAD +LADF=60,:E、F分别是BC、AC的中点，EF= AB=2,EF∥AB,∴.∠EFC=∠BAC=30°，∴.∠EFD= ∠EFC+LCFD=90°，在Rt△DFE中，DE=√DF2+EF= √J22+22=2√2 9.解：FG⊥AC,DC⊥AC,FG∥DC,.△BEF∽△BHD, FE AG DH AC (4分) AG=1.6m,CG=4.8m,EF=1.4m,0i.6+48,解 得DH=5.6m,∴.5.6+1.2=6.8(m). (9分) 10.(1)证明：BM⊥AC,点D是BC的中点，.BD=CD= DM-2 BC.DN=2 BC,..DM DN BD=CD,. ∠DBN=∠BND,∠DNC=∠DCN. (3分) '∠NBD+∠BNC+∠NCD=180°，.2∠BND+2∠CND= 180°，.∠BND+∠CND=90°，即∠CNB=90°，.CN⊥ .·HS·数学第27页