上册 5.2 二次函数的应用-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（北师大版·河南专版）

二次函塾 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.服装店将进价为每件100元的服装按每件 x(x>100)元出售，每天可销售(200-x)件， 若想获得最大利润，则x应定为( A.150元 B.160元 C.170元 D.180元 2.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵 感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿， 若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为( A.14 B.11 C.6 D.3 4 C B 个y(千克) 20 D 02030x(元/千克) E 第2题图 第3题图 3.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果 的销售情况进行统计，发现每天销售量y (千克)与销售价x(元/千克)存在一次函 数关系，如图所示。则最大利润是 ()元。 A.180 B.220 C.190 D.200 4.成都低空经济示范区测试一款垂直起降配 送无人机。一次试验中，该无人机从地面起 飞到降落过程中，飞行高度h(m)与时间t (s)满足二次函数h=at2+bt,其图象如图所 示。根据图象，下列说法错误的是( A.该图象的对称轴是直线 ↑h/m t=3 8 B.此次飞行无人机飞行的 最大高度为9m 024t/s C.当t=1时，该无人机飞行的高度为6m D.该无人机从地面起飞到降落地面经过的 时间是6s 追梦之旅铺路卷·铺路帮手， 玫的应用 测试分数：50分 二、填空题（每小题3分，共9分） 5.体育情境·羽毛球如图，羽毛球的运动路线 可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因 素，羽毛球飞行高度y(米)与水平距离x (米)之间满足关系：y=- +则 22 毛球飞出的水平距离为 米。 个y/m D aiaa OA B/m 第5题图 第6题图 6.某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛 物线形，该水流喷出的高度y(m)与水平距 离x(m)之间的关系如图所示，D为该水流 的最高点，DA⊥OB,垂足为A。已知OC= OB=8m,OA=2m,则该水流距水平面的最 大高度AD为 m。 7.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线 处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最 大程度地传承了苏州的历史文化。如图②， “门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部 AB宽度为80米，高度为200米。则离地面 150米处的水平宽度（即CD的 长)为 200m 50m A80mB 图① 图② 三、解答题（共29分） 8.(9分)园林部门计划在某公园建一个长方 形苗圃ABCD,苗圃的一面靠墙（墙最大可 用长度为14米)，另三边用木栏围成，中间 也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域， 九年级·BS·数学第21页 并在如图所示的两处各留1米宽的门（门 不用木栏)，建成后所用木栏总长22米，设 苗圃ABCD的一边CD长为x米。 (1)苗圃ABCD的另一边BC长为 米（用含x的代数式表示）； (2)若苗圃ABCD的面积为45m2,求x 的值； (3)当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大， 最大面积为多少平方米？ 9.(10分)某商场销售的某种商品每件的标价 是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利 60%,市场调查发现：在以标价打八折为销 售价的基础上，该种商品每星期可卖出220 件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20 件。设每件商品降价x元(x为整数)，每星 期的利润为y元。 (1)求该种商品每件的进价为多少元。 (2)求出当售价为多少时，每星期的利润最 大，最大利润是多少？ 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 10.跨学科试题·物理(10分)在物理实验课 上，晓欢和同学们研究小球从斜坡下滑。 如图，某一次实验中一小球沿斜坡下滑，经 过水平桌面，然后从点A处离开桌面（不 考虑空气阻力)。小球从A点离开桌面到 落到水平地面的路径是抛物线的一部分。 点O在点A的正下方且点0在水平地面 上，以点0为坐标原点，水平地面垂直于 OA的直线为x轴，OA为y轴建立平面直 角坐标系。水平桌面与水平地面平行，桌 面与地面之间的距离OA为90cm,利用频 闪照相机观测到小球运动到点B处时，到 y轴的距离与到水平桌面的距离均为20 cm,点A为图中抛物线的顶点。 (1)求抛物线的函数表达式； (2)在小球抛出的正前方有一高为20cm 的无盖正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计）， 纸箱左侧C到原点0的水平距离为 30cm,小球最终能否落到纸箱内？请通过 计算说明。（√14≈3.74) y/cm 斜坡 水平桌面20B 20N 0cD x/em 九年级·BS·数学第22页(2)令y=4,则4=(x+2)2,.x1=0,x2=-4,.C(-4, 4)。BC=4,0B=4,0A=2,S选0s=2×(2+4)X4 =12: (6分) (3)存在 （7分) P1(2,0),P2(-6,0),P3(-2,8)。 (10分) 二次函数的应用 1.A2.B 3.D【解析】设销售量y与销售价x之间关系式为y=x+ 6子0.肉图象可如，的0解得传d。 (b=60y= -2x+60。设销售利润为p,根据题意得p=(x-10)(-2x+ 60)=-2x2+80x-600。a=-2<0,p有最大值，当x= 80 -2×220时，P装大位=200。故选D。 4.C5.56.9 7.40m【解析】以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂 直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系。设 抛物线的解析式为y=ax2+200,将(40,0)代入，得0= 1600a+200,解得a=-1 8，执勉物线的解折式为y=一x2 +200,将y=150代入得-8x2+200=150,解得x=±20， C(-20,150),D(20,150),∴.CD=40m。 8.解：(1)(24-3x) (2分) (2)x(24-3x)=45,解得x1=5,x2=3。当x=3时，24-3x =15>14,不合题意，.x的值为5； (6分) (3)设苗圃的面积为S,则S=x(24-3x)=-3(x-4)2+48。 :-30,0<24-3≤14，即9≤<8，当4=4时，S最 大，最大值为48平方米。 (9分) 9.解：(1)设每件商品的进价为a元，根据题意，得80×0.8 -a=60%a,解得a=40,故该种商品每件的进价为40元。 (4分) (2)y=(80x0.8-x-40)(220+20x)=-20x2+260x+5280 =-20(x-6.5)2+6125,.当x=6.5时，y最大。x为 铺 整数，∴.当x=6或7时，y最大为6120元。 (8分) 80×0.8-7=57(元)，80x0.8-6=58(元)，.当售价为57 元或58元时，每星期的利润最大，最大利润为6120元。 手 (10分) 答案 10.解：(1)点A(0,90)为图中抛物线的顶点，设抛物线 的函数表达式为y=ax2+90(a≠0)， (2分) 把B(20,70)代人y=ax2+90得70=400a+90,解得a= 0抛物线的函数表达式为y=六+90，(5分) （2)把y=20代人y=+90得20=+90，解得 x=10√/14≈37.4,0C=30cm,∴0D=30+20=50(cm), 30<37.4<50,.小球最终能落到纸箱内。 (10分) 二次函数与一元二次方程 1.C2.B 3.C【解析】小△=42-4×1×4=16-16=0，.抛物线y=x2+ 4x+4与x轴有1个交点。：抛物线y=x2+4x+4与y轴 有1个交点，.1+1=2（个）。故选C。 4.B5.D6.A7.B 8.x1=3,x2=-59.k≤-2 10.、9 m<0 11.x,=-1,x2=3【解析】：不等式a+b≥am2+bm恒成 追梦之旅铺路卷·九年 立，∴a+b+c≥am2+bm+c恒成立，.点(1，a+b+c)是地 物线的顶点，点（-1,5)关于直线x=1的对称点为(3， 5),当y=5时，x=-1或3。 12.解：(1)利用函数y=x2-2x-2的图象可知，当x=2时，y <0,当x=3时，y>0,所以方程的另一个根在2和3之 间； (4分) (2)函数y=x2-2x+c的图象的对称轴为直线x=1,由题 童，每2e0g得0<1 (9分) 13.解：(1)-4-3 (2分) (2)如图 (4分) 39 6 (3)①8 (6分) ②1 (9分) 14.解：(1)把A(-1,0),点C(0,3)分别代入y=-x2+bx+c 得{-1+c=0,解得6=2，c=3,.抛物线解析式为y= (c=3 -x2+2x+3;y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.点D的坐标 为(1,4)； (4分) (2)当y=0时，-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,∴.B (3,0),Sa4m=2×(3+1)×4=8; (7分) (3)①0≤y≤4 (8分) ②y=-(x-1)2 (9分) 第六章概率的进一步认识 1.D2B3D4C5.D6A7.A8分 ,【解析】设“Deepseek”“豆包”“Kimi”三个主题分别 用A、B、C表示，列表如下： 小红 A B 小明 (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 共有9种等可能结果，其中她们恰好选中一个主题的结 果有3种，地们恰好选中一个主题的概率是31 9=3 11.9 10 2解：1)号 (2分) (2)将有害垃圾，厨余垃圾，其他垃圾，可回收垃圾分别 记为A,B,C,D,画树状图如下： 开始 ABCD ABCD ABCD ABCD (7分) 共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同 级·BS·数学第35页