河南郑州市中原区郑州外国语中学2026-2027学年九年级上学期数学学情自测1（B卷）

周测1（B卷） （时间100分钟，分值120分，内容九上1-2章） 一．选择题（共10小题） 1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则x1+x2的值为（　　） A．5 B．﹣2 C．0 D．2 2．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　） A．20% B．25% C．50% D．62.5% 3．关于一元二次方程x2+2x﹣3＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 5．下列说法不正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OD＝6，OF＝5，则DE的长为（　　） A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．9.6 7．如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那x满足的方程是（　　） A．2x2﹣25x+16＝0 B．x2﹣25x+32＝0 C．x2﹣17x+16＝0 D．x2﹣17x﹣16＝0 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC，BD分别在x轴、y轴上，且相交于点O，∠ABC＝120°，OB＝2．直线y＝x+b与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段EF的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论： ①当b＝2时，； ②当d取最大值时，b的值一定为0； ③函数d的图象是一个轴对称图形； 上述结论中，所有正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，Q是线段CD上的一点，其中DQ＝2CQ，点P是对角线BD上的任意一点，过点P作PE⊥AB于点E，作PF⊥AD于点F，则PQ+EF的最小值为（　　） A．2 B．2 C．+3 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′（点A′与点C重合），则点B′的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，3） C．（3，6） D．（6，3） 二．填空题（共5小题） 11．已知﹣2是关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0的一个根，则m＝　 　 ． 12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　 ． 14．设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则＝　 　 ． 15．若三角形中有一个内角等于与它不相邻的一个外角的一半，则称这个三角形为半角三角形．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是BC中点，点F在射线CD上，若△AEF为半角三角形，则CF的长为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．解方程： （1）3x2+10x+5＝0； （2）（3x+1）2﹣9＝0． 17．已知：关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0 （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两根为x1，x2，且|x1|＝|x2|，求m的值． 18．求证：对角线互相垂直的矩形是正方形． 19.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）填空： ①当AB＝AC时，四边形ADCF是　 　 形； ②当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是　 　 形． 20．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率＝） 21．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D． （1）点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？ （2）是否存在一点P，使矩形OCPD的面积为1.5？说明你的理由． 22．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根分别是x1，x2（x1＜x2），若x1，x2为整数，则称（x1，x2）为“Deep”点． （1）x2+5x+4＝0　 　 （填是或否）存在“Deep”点； （2）若关于x的一元二次方程：x2+bx+c＝0的“Deep”点为（2，3），求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0是否存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 23．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD　 　 （填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点M，N分别在AD，CD上（不含端点），连接BM，BN，若∠MBN＝60°，证明四边形BMDN是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料ABCD，连接AC，，BC＝7，，点E在BC上，且BE＝4，在边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则x1+x2的值为（　　） A．5 B．﹣2 C．0 D．2 【解答】解：由题意可知，a＝1，b＝﹣5， ∴， 故选：A． 2．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　） A．20% B．25% C．50% D．62.5% 【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元， 由题意可得：2（1+x）2＝4.5， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意舍去）， 答：该店销售额平均每月的增长率为50%； 故选：C． 3．关于一元二次方程x2+2x﹣3＝0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【解答】解：x2+2x﹣3＝0， a＝1，b＝2，c＝﹣3， b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣3）＝4+12＝16＞0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．如图，工人师傅在做矩形零件的时候，为了确保四边形零件是矩形，除了要测量四边形的边长，还要测量四边形的对角线是否相等，其原理是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．两点之间，线段最短 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点确定一条直线 【解答】解：其原理是：对角线相等的平行四边形是矩形． 故选：C． 5．下列说法不正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，原说法正确，不符合题意， 故选：C． 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AB于点E，F是线段AD的中点，连接OF．若OD＝6，OF＝5，则DE的长为（　　） A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．9.6 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，AB＝AD＝DC， ∴∠AOD＝90°， ∵F是线段AD的中点，OF＝5， ∴DC＝2OF＝2×5＝10（三角形中位线定理）． 即DC＝10． ∴AB＝AD＝DC＝10， ∵OD＝6， ∴BD＝2OD＝12，， ∴AC＝2OA＝16， ∵， 解得：DE＝9.6． 故选：D． 7．如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那x满足的方程是（　　） A．2x2﹣25x+16＝0 B．x2﹣25x+32＝0 C．x2﹣17x+16＝0 D．x2﹣17x﹣16＝0 【解答】解：由题意可得， （16﹣2x）（9﹣x）＝112， 整理得：x2﹣17x+16＝0， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC，BD分别在x轴、y轴上，且相交于点O，∠ABC＝120°，OB＝2．直线y＝x+b与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段EF的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论： ①当b＝2时，； ②当d取最大值时，b的值一定为0； ③函数d的图象是一个轴对称图形； 上述结论中，所有正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝2， ∴OD＝OB＝2，D（0，2），B（0，﹣2）， ①当b＝2时，直线y＝x+2与菱形的交点E、F如图1所示．过点E作EM垂直y轴，垂足为M. 很显然，FM＞OD， ∵OD＝OB＝2，， ∴，故结论①错误． ②如图2所示，E1F1、E2F2、E3F3互相平行， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴四边形E1E2F1F2，E2E3F3F2，都是平行四边形，E1F1＝E2F2＝E3F3， ∴当a取最大值时，b的值不一定为0．故结论②错误． ③结合图2可以看到，随着b从正往负的变化，EF会呈现出斜着向下平移的变化，在运动到E1F1的位置之前EF的长度（也就是a的大小）会从O逐渐增大，在到达E1F1的位置之后，EF的长度保持不变，直至到达E3F3的位置，然后EF的长度逐渐减小为0．整个变化过程具有对称性， 因此函数d的图象也会是一个轴对称图形．故结论③正确． 故选：B． 9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，Q是线段CD上的一点，其中DQ＝2CQ，点P是对角线BD上的任意一点，过点P作PE⊥AB于点E，作PF⊥AD于点F，则PQ+EF的最小值为（　　） A．2 B．2 C．+3 D． 【解答】解：连结AP、AQ， ∵四边形ABCD是边长为6正方形， ∴AD＝CD＝6，∠ADQ＝∠EAF＝90°， ∵DQ＝2CQ， ∴DQ＝CD＝×6＝4， ∴AQ＝＝＝2， ∵PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F， ∴∠PEA＝∠PFA＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴AP＝EF， ∵PQ+AP≥AQ， ∴PQ+EF≥2， ∴PQ+EF的最小值为2， 故选：B． 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′（点A′与点C重合），则点B′的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，3） C．（3，6） D．（6，3） 【解答】解：如图，过B′作B′D⊥y轴于D，连接OB′， ∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′，∠AOC＝60°，菱形OABC的边长为2， ∴OC′＝C′B′＝2，∠C′OB′＝∠C′OC＝30°，B′C′∥OC， ∴∠DC′B′＝∠C′OC＝60°， ∴∠DB′C′＝30°， ∴，DB′＝B′C′＝3， ∴， ∴B′的坐标是（3，3）， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．已知﹣2是关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0的一个根，则m＝　12　 ． 【解答】解：由条件可得4+8﹣m＝0， ∴m＝12． 故答案为：12． 12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为　24　 ． 【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE＝6， 在RT△BCO中，BO＝＝4，即可得BD＝8， 又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10， ∴△BDE是直角三角形， ∴S△BDE＝DE•BD＝24． 故答案为：24． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞﹣　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝4a+1＞0， 解得：a＞﹣． 故答案为：a＞﹣． 14．设x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根，则＝　9　 ． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝3，﹣3x1+1＝0，x1x2＝1， ∴＝3x1﹣1， ∴+3x2+x1x2 ＝3x1﹣1+3x2+1 ＝3（x1+x2） ＝3×3 ＝9． 故填空答案：9． 15．若三角形中有一个内角等于与它不相邻的一个外角的一半，则称这个三角形为半角三角形．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是BC中点，点F在射线CD上，若△AEF为半角三角形，则CF的长为　2或　 ． 【解答】解：如图，△ABC是半角三角形，∠CBD是△ABC的外角， 根据半角三角形的定义不妨设， ∵∠CBD＝180°﹣∠ABC， ∴， ∴． 作∠ABC的平分线，交AC于点E， ∴， ∴∠A+∠ABE＝90°， ∴∠C+∠CBE＝∠AEB＝90°， ∴， ∴∠C＝∠A， ∴BA＝BC， ∴半角三角形是等腰三角形． 由矩形性质可知：CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴在Rt△ABE中，． 设CF＝x， ①当点F在线段CD上时，0≤x≤2，DF＝CD﹣CF＝2﹣x． ∴在Rt△CEF中，， 在Rt△ADF中，． ∵△AEF是半角三角形， ∴△AEF是等腰三角形， 若AE＝EF，则，即，解得x＝2（负值已舍去）； 若AE＝AF，则，即，该方程无实数解； 若EF＝AF，则，即，解得，不满足0≤x≤2，舍去． ∴当点F在线段CD上时，CF＝2． ②当点F在线段CD的延长线上时，x＞2，DF＝CF﹣CD＝x﹣2． ∴在Rt△CEF中，， 在Rt△ADF中，． ∵△AEF是半角三角形， ∴△AEF是等腰三角形， 若AE＝EF，则，即，解得x＝±2，不满足x＞2，舍去； 若AE＝AF，则，即，该方程无实数解； 若EF＝AF，则，即，解得． ∴当点F在CD的延长线上时，． 综上所述，CF的长为2或． 故答案为：2或． 三．解答题（共7小题） 16．解方程： （1）3x2+10x+5＝0； （2）（3x+1）2﹣9＝0． 【解答】解：（1）3x2+10x+5＝0， a＝3，b＝10，c＝5， ∵Δ＝102﹣4×3×5＝40＞0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝； （2）（3x+1）2﹣9＝0， （3x+1）2＝9， ∴3x+1＝±3， ∴x1＝，x2＝﹣． 17．已知：关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0 （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两根为x1，x2，且|x1|＝|x2|，求m的值． 【解答】解：（1）关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0， ∴Δ＝（2m+1）2﹣8m＝（2m﹣1）2≥0恒成立， 故方程一定有两个实数根； （2）①当x1≥0，x2≥0时，即x1＝x2， ∴Δ＝（2m﹣1）2＝0， 解得m＝； ②当x1≥0，x2≤0时或x1≤0，x2≥0时，即x1+x2＝0， ∴x1+x2＝2m+1＝0， 解得：m＝﹣； ③当x1≤0，x2≤0时，即﹣x1＝﹣x2， ∴Δ＝（2m﹣1）2＝0， 解得m＝； 综上所述：m＝±． 18．求证：对角线互相垂直的矩形是正方形． 【解答】解：在矩形ABCD中，AC⊥BD， 求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CB，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90°， AC＝BD，AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD， ∴AO＝OD＝OC＝OB， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， ∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△AOD（SAS）， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． 19.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）填空： ①当AB＝AC时，四边形ADCF是　矩　 形； ②当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是　菱　 形． 【解答】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD． 在△AEF和△DEB中 ∵， ∴△AEF≌△DEB（AAS）． ∴AF＝BD． ∴AF＝DC． 又∵AF∥BC， ∴四边形ADCF为平行四边形； （2）①当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形； ②当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形． 故答案为矩形，菱形． 20．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率＝） 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 21．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D． （1）点P在何处时，矩形OCPD的面积为1？ （2）是否存在一点P，使矩形OCPD的面积为1.5？说明你的理由． 【解答】解：（1）∵点P在一次函数y＝﹣2x+3的图象上， ∴P（a，﹣2a+3）（a＞0）， 由题意得，a•（﹣2a+3）＝1， 整理得，2a2﹣3a+1＝0， 解得a1＝1，， ∴﹣2a+3＝1或﹣2a+3＝2． 综上所述，当P（1，1）或，2）时，矩形OCPD的面积为1； （2）由题意得，， 整理得，4x2﹣6x+3＝0， ∵Δ＝36﹣48＜0，此方程无实数根， ∴不存在一点P，能使矩形OCPD的面积为 22．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根分别是x1，x2（x1＜x2），若x1，x2为整数，则称（x1，x2）为“Deep”点． （1）x2+5x+4＝0　是　 （填是或否）存在“Deep”点； （2）若关于x的一元二次方程：x2+bx+c＝0的“Deep”点为（2，3），求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0是否存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由x2+5x+4＝0，得（x+4）（x+1）＝0， ∴x+4＝0或x+1＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝﹣1， ∵﹣4，﹣1为整数， ∴（﹣4，﹣1）是“Deep”点， 故答案为：是； （2）由条件可知2+3＝﹣b，2×3＝c， 故b＝﹣5，c＝6； （3）假设关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上， 由x2+2mx+m2+m＝0， 得Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2+m）＝﹣4m≥0， 故m≤0， 由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，， ∴x2＝﹣2m﹣x1， ∵“Deep”点（x1，x2）在直线y＝﹣2x+2上， ∴x2＝﹣2x1+2， ∴﹣2x1+2＝﹣2m﹣x1， 解得x1＝2+2m，x2＝﹣2﹣4m， ∴9m2+13m+4＝0， 解得m＝﹣1或， 当m＝﹣1时，方程为x2﹣2x＝0，x1＝0，x2＝2，“Deep”点坐标为（0，2），符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0存在一“Deep”点，且该点在直线y＝﹣2x+2上，此时m＝﹣1． 23．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD　一定　 （填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点M，N分别在AD，CD上（不含端点），连接BM，BN，若∠MBN＝60°，证明四边形BMDN是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料ABCD，连接AC，，BC＝7，，点E在BC上，且BE＝4，在边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积． 【解答】（1）解：∵矩形ABCD是“等邻边四边形”， ∴四边形ABCD的邻边相等， ∴矩形ABCD 一定是正方形； 故答案为：一定； （2）证明：连接BD． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°， ∴△ABD，△BDC都是等边三角形， ∴∠BDM＝∠BCN＝60°，DB＝CB， ∵∠MBN＝∠DBC＝60°， ∴∠DBM＝∠CBN， ∴△DBM≌△CBN（ASA）， ∴BM＝BN，DM＝CN， ∴四边形BMDN是等邻四边形； （3）解：如图③中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EN⊥AD于N，则四边形AHEN是矩形． ∵，BC＝7，， ∴AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2， ∴20﹣BH2＝41﹣（7﹣BH）2， ∴BH＝2，AH＝EN＝＝4， ∵BE＝4， ∴AN＝HE＝4﹣2＝2， ①当AP＝AB＝2时，S四边形ABEP＝•（BE+AP）•AH＝×（2+4）×4＝4+8．②当PA＝PE时，设PA＝PE＝x， 在Rt△PEN中，PE2＝NE2+PN2， ∴x2＝42+（x﹣2）2， ∴x＝5， ∴S四边形ABEP＝•（BE+AP）•AH＝×（5+4）×4＝18．③当PE＝BE时，点P与N重合， ∴S四边形ABEP＝（BE+AP）•AH＝×（2+4）×4＝12． 综上：四边形ABEP的面积为4+8或12或14． 故答案为：4+8或12或14． $