精品解析：河南郑州市第四十七中学中州校区2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2025-2026学年河南省郑州市第四十七中学中州校区九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 2. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E为的中点，且，则菱形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 6. 如图，在正方形中，点E在对角线上，于点，于点，连接，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，在条件：①；②；③；④平分中，选择一个条件，使得四边形是菱形，可选择的条件是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 8. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减少 9. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　） A. x2+12＝（x+0.68）2 B. x2+（x+0.68）2＝12 C. x2+1002＝（x+68）2 D. x2+（x+68）2＝1002 10. 如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A. 矩形是正方形 B. C. 平分 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 12. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 13. 如图，在菱形中，，E是的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值为________________． 14. 如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，则的度数是________． 15. 如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，经过________秒，的面积是面积的一半？ 三、解答题（共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1） （2） 17. 如图，菱形的对角线交于点O，且，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 18. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值． 19. 如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由； 20. 阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若，求、的值； （2）已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 21. 如图，某农户想建一个花圃，用来种植两种不同的花卉，以供应城镇市场需要，现有一段长为36米的篱笆，利用一面墙（墙的最大可使用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（两种花卉种植面积相等），设垂直于墙的一边为x米． （1）请你用含x的代数式表示的长为_________米． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长和宽． 22. 如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB． ⑴用a表示四边形ADPE的周长为 ； ⑵点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由； ⑶如果△ABC不是等腰三角形(图2)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省郑州市第四十七中学中州校区九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （为常数） C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、不是整式方程，故该选项错误； B、，当时，未知数最高次数不是2，故该选项错误； C、化简后得，故该选项错误； D、时一元二次方程，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程．先将常数项移到方程的右边，再把二次项化系数为，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解． 【详解】解： 故选：D． 3. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E为的中点，且，则菱形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形性质结合题意可得出为中位线，即得出，进而由菱形的周长公式求解． 【详解】解：∵菱形中，对角线，相交于点O， ∴点O为中点， ∴为中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 故选D． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理．掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半是解题关键． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 5. 若，则的值为（ ） A. 2或 B. 或6 C. 6 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 6. 如图，在正方形中，点E在对角线上，于点，于点，连接，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接交于点，根据正方形的性质可得，是等腰直角形，可求出的长，同时可证，是等腰直角三角形，四边形是矩形，可求出的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵四边形是正方形，线段是对角线， ∴，，， ∴是等腰直角形，则， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，在条件：①；②；③；④平分中，选择一个条件，使得四边形是菱形，可选择的条件是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和菱形的判定进行选择即可，先证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形； ④∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 综上所述：选择①③④，使得四边形是菱形， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 8. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减少 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况． 【详解】如图，连接． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小， ∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 9. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（　　） A. x2+12＝（x+0.68）2 B. x2+（x+0.68）2＝12 C. x2+1002＝（x+68）2 D. x2+（x+68）2＝1002 【答案】D 【解析】 【分析】1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解. 【详解】解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸. 设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸， 依题意得：x2+（x+68）2＝1002. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A. 矩形是正方形 B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E分别作，垂足分别为K，L，则，根据角平分线的性质，可得，可证明四边形是矩形，再证明，可得，从而得到矩形是正方形，可判断A选项；证明，可得，，从而得到平分，可判断C选项；再由勾股定理可得，可判断D选项；再由 与的大小无法判断，可得不一定成立，可判断B选项． 【详解】解：如图，过点E分别作，垂足分别为K，L，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故A选项正确，不符合题意； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，平分，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵与的大小无法判断， ∴不一定成立，故B选项不正确，符合题意； 故选：B 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式大于，得出，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 12. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 13. 如图，在菱形中，，E是的中点，P为对角线上的一个动点，则的最小值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，则的长为的最小值，再根据菱形中，得出的度数，进而判断出是等边三角形，故是直角三角形，最后根据勾股定理即可得出的长． 【详解】解：连接，， 四边形是菱形， ∴，， 、关于直线对称， 的长为的最小值， ， ， 是等边三角形， 是的中点， ，， ． 14. 如图，在正方形中，是对角线上的一点，且，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得，由等边对等角知，最后利用三角形内角和定理得． 【详解】解：在正方形中，，， ， 又， ， 在中，， ． 15. 如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，经过________秒，的面积是面积的一半？ 【答案】或 【解析】 【分析】设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，由点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s表示出BP=4xcm，CQ=2xcm，进而表示出AP=（24-4x）cm，AQ=（16-2x）cm，利用面积列出方程求解即可． 【详解】设经过x秒△APQ的面积是△ABC面积的一半， ∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s， ∴BP=4xcm，CQ=2xcm， （1）当AP=（24-4x）cm，AQ=（16-2x）cm， 根据题意得：（24-4x）（16-2x）=××24×16， 整理得x2-14x+24=0， 解得：x=2或x=12（舍去）． （2）当AP=（4x-24）cm，AQ=（2x-16）cm， 根据题意得：（4x-24）（2x-16）=××24×16， 整理得x2-14x+24=0， 解得：x=2（舍去）或x=12． 故答案是：2或12． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是用x的式子表示出AP=（24-4x）cm，AQ=（16-2x）cm，利用面积列出方程. 三、解答题（共75分） 16. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可得到答案； （2）将原方程化为一般式根据求根公式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：因式分解可得， ， 即或， 解得：，； 【小问2详解】 解：原方程变形得， ， 即，，， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法及选择适当的方法． 17. 如图，菱形的对角线交于点O，且，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：四边形是矩形．理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴， 即， ∴四边形是矩形； （2）6 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到，得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质等知识点．熟记相关定理内容是解题关键． 18. 已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根均为整数，且k为正整数，求k的值． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ， ∵， ∴， ∴一元二次方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由即可得到结论； （2）利用公式法求出，根据方程两个根均为整数，且k为正整数，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵， ∴， ， ∵方程两个根均为整数，且k为正整数， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法，求出是解题的关键． 19. 如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，依次连接E，G，F，H，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由； 【答案】（1） 证明：因为E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，所以是的中位线， 所以是的中位线，是的中位线， 故，，，， 那么，， 所以四边形是平行四边形； （2） 解：，理由如下： 因为E是的中点，H是的中点， 所以是的中位线， 则，， 因为，且结合由（1）知， 所以， 因为四边形是平行四边形， 因为 因为四边形是平行四边形， 故 【解析】 【分析】（1）因为E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，所以是的中位线，是的中位线，故，，，，即，，即可作答； （2）因为E是的中点，H是的中点，所以是的中位线，则，，由（1）知，结合，得，又因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了中位线的性质、平行四边形的判定与性质，以及菱形的判定等知识内容；中位线的性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20. 阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若，求、的值； （2）已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质得出，，即可求出、的值； （2）根据，利用完全平方公式得出，根据平方的非负数性质求出，，根据等腰三角形的定义结合三角形的三边关系即可得出答案． 【小问1详解】 解： ∴ ， ，， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∵，， ∴，， 解得，， 是等腰三角形， 或， 经检验，或都符合三角形的三边关系． 21. 如图，某农户想建一个花圃，用来种植两种不同的花卉，以供应城镇市场需要，现有一段长为36米的篱笆，利用一面墙（墙的最大可使用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃（两种花卉种植面积相等），设垂直于墙的一边为x米． （1）请你用含x的代数式表示的长为_________米． （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长和宽． 【答案】（1） （2）此时花圃的长和分别为12米，8米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，据此可得答案； （2）根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，不符合题意； 当时，符合题意； ∴，， ∴此时花圃的长和分别为12米，8米． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，列代数式，正确根据矩形面积公式列出方程是解题的关键． 22. 如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB． ⑴用a表示四边形ADPE的周长为 ； ⑵点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由； ⑶如果△ABC不是等腰三角形(图2)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)． 【答案】⑴2a； ⑵当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形． 理由如下：连结AP， ∵PD∥AC，PE∥AB， ∴四边形ADPE为平行四边形， ∵AB=AC，P为BC中点， ∴∠PAD=∠PAE， ∵PE∥AB， ∴∠PAD=∠APE， ∴∠PAE=∠APE， ∴EA=EP， ∴四边形ADPE是菱形； (3)P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形 【解析】 【分析】（1）由题意可得四边形ADPE为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得DB=DP，即可求四边形ADPE的周长； （2）当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得AE=EP，则平行四边形ADPE是菱形； （3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，首先证明四边形ADPE是平行四边形，再根据平行线的性质可得∠1=∠3，从而可证出∠2=∠3，进而可得AE=EP，然后可得四边形ADPE是菱形． 【详解】解：⑴∵PD∥AC，PE∥AB， ∴四边形ADPE为平行四边形， ∴AD=PE，DP=AE， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DP∥AC， ∴∠B=∠DPB， ∴DB=DP， ∴四边形ADPE的周长=2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB=2a； 故答案为2a； ⑵略 ⑶P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形， ∵PD∥AC，PE∥AB， ∴四边形ADPE是平行四边形， ∵AP平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵AB∥EP， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AE=EP， ∴四边形ADPE是菱形． 【点睛】此题考查菱形的判定，平行线的性质和等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理和作辅助线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $