精品解析：江西吉安市四所省重点中学2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试卷

吉安市四所省重点中学2025—2026学年上学期 高二第一次联考数学试卷 一、单选题：每小题5分，共40分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为，然后利用倾斜角与斜率的关系得到直线的倾斜角. 【详解】直线可化为. 于是设直线倾斜角为，则， 所以，即倾斜角为. 2. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 3. 若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 4. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 5. 已知直线与平行，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，可得a值，代入两平行线间距离公式，即可得答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 6. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得直线经过定点．根据直线与线段相交，结合图形则可得直线的斜率取值范围． 【详解】直线，即，令，可得直线经过定点， 又，． 直线与线段相交， 由图可得，则直线的斜率取值范围是． 故选：D． 7. 若直线过点，则的最小值为（） A. 7 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B. 直线恒过定点 C. 不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D. 在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 10. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 11. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则（ ） A. B. 的最大值是5 C. 的取值范围是 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线方程确定定点坐标，再根据直线垂直的判定可得两直线相互垂直，结合勾股定理、基本不等式有，注意等号成立条件，即可求最大值，利用柯西不等式求解，确定选项. 【详解】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则,, 所以,点在以为直径的圆上，所以, 则,故A错误； 由，所以，故B正确； 由，即，当且仅当取等号. 由三角不等式，， 故的取值范围是，故C正确； 由，, 则，所以,故D正确. 故选：BCD 三、填空题：每小题5分，共15分． 12. 直线过点，且原点到直线距离为2，则直线的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】当斜率不存在时，即，符合题意；当斜率存在时，设出直线，由点线距离公式列式解出k即可. 【详解】当斜率不存在时，即，符合题意； 当斜率存在时，设为，即，则有，解得，故直线为. 故答案为：或 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14. 数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知的顶点、，其“欧拉线”的直线方程为，则的顶点的坐标_______. 【答案】 【解析】 【分析】设点，由重心的坐标公式可得出，求得线段的中垂线方程，与欧拉线方程联立可得出的外心坐标，利用外心的性质可得出，求出、的值，即可得解. 【详解】设，由重心坐标公式得的重心为， 代入欧拉线方得，整理得①， 因为线段的中点为，，所以的中垂线的斜率为， 所以线段的中垂线方程为，即， 联立，解得， 所以，的外心坐标为， 则②， 联立①②解得或. 当，时，点、两点重合，舍去. 所以，，，即的顶点的坐标为. 故答案为：. 四、解答题：共77分；第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分． 15. 的三个顶点是，求 （1）边AB上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边AC上的垂直平分线所在直线的方程； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出AB的中点坐标，再结合直线的两点式方程，即可求解. （2）根据已知条件，结合直线垂直的性质，以及直线的点斜式方程，即可求解. （3）根据已知条件，结合垂直的性质，先求出垂直平分线的斜率，结合AC的中点，列点斜式方程，即可求解. 【小问1详解】 由已知，得的中点的坐标为，又因为AB上的中线过， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 边所在直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为， 即. 【小问3详解】 由已知，得直线AC的斜率为，的中点的坐标为， 所以边AC上的垂直平分线所在直线斜率为，所以边AC上的垂直平分线所在直线方程为，即. 16. 已知三条直线，，. （1）若，，交于一点，求实数的值； （2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参； （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【小问1详解】 联立与的方程，得解得 即与的交点坐标为， 由题意知点在上，所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，所以， 当时，，所以， 当，，三条直线可以围成三角形，则且且， 故的取值范围为. 17. 已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. （1）求的值； （2）求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； （3）求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【小问1详解】 因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； 【小问2详解】 由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. 【小问3详解】 直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. 18. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； 【小问3详解】 由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 19. 已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射． （1）求点M关于x轴的对称点P的坐标； （2）求反射光线所在的直线的方程． （3）求与距离为的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】 （1）解方程组求得的坐标，然后得出其关于轴的对称点的坐标； （2）解法一：根据反射原理，确定直线和直线的倾斜角的关系，进而利用斜率公式求得直线的斜率，得到直线的斜率，进而用点斜式写出方程；解法二：反射光线所在的直线的方程就是直线PN的方程，利用两点式可求； （3）利用直线平行的条件设出所求直线的方程，利用平行直线间的距离公式求出所求直线的方程. 【详解】解：（1）由得，∴． 所以点M关于x轴的对称点P的坐标． （2）解法一： 因为入射角等于反射角， 直线MN的倾斜角为，则直线的斜角． ，所以直线的斜率． 故反射光线所在的直线的方程为：． 即． 解法二： 因为入射角等于反射角， 所以反射光线所在的直线的方程就是直线PN的方程． 直线PN的方程为：， 整理得：． 故反射光线所在的直线的方程为． （3）设与平行的直线为， 根据两平行线之间的距离公式得：， 解得，或， 所以与距离为的直线方程为： 或． 【点睛】本题关键是光线反射原理：入射角等于反射角，从而得到入射线与反射线所在直线的倾斜角的关系，求到给定直线距离为定值的直线的方程，关键是根据直线平行的条件设出所求直线的方程，熟练掌握平行直线的距离公式是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市四所省重点中学2025—2026学年上学期 高二第一次联考数学试卷 一、单选题：每小题5分，共40分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知直线与平行，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两点直线与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线过点，则的最小值为（） A. 7 B. C. 6 D. 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分；每小题全选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B. 直线恒过定点 C. 不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D. 在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 10. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 11. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则（ ） A. B. 的最大值是5 C. 的取值范围是 D. 的最大值是 三、填空题：每小题5分，共15分． 12. 直线过点，且原点到直线距离为2，则直线的方程为______. 13. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 14. 数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知的顶点、，其“欧拉线”的直线方程为，则的顶点的坐标_______. 四、解答题：共77分；第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分． 15. 的三个顶点是，求 （1）边AB上的中线所在直线的方程； （2）边BC上的高所在直线的方程； （3）边AC上的垂直平分线所在直线的方程； 16. 已知三条直线，，. （1）若，，交于一点，求实数的值； （2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 17. 已知三条直线：，：，：，且与间的距离是. （1）求的值； （2）求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； （3）求与平行且到，距离相等的直线的方程. 18. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19. 已知光线经过已知直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射． （1）求点M关于x轴的对称点P的坐标； （2）求反射光线所在的直线的方程． （3）求与距离为的直线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $