2026-2027学年北师大版九年级数学上册 期中考试学情自测拔尖卷

2026一2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试学情自测卷拔尖卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分) 1.下列式子是一元二次方程的是() A.x2-5x-3 B. x2-1=y C.5x+1=0 D.x2+2x-1=0 2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分D.对角线互相垂 直 3.如图所示几何体的俯视图是() 正面 4.若一元二次方程x2-2x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为（) A.-1 B.0 C.2 D.1 5.用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后所得的方程为() A.(x+1D2=0 B.(x-1D2=0 C.(x+1)2=2D.(x-1)2=2 2-10x-15=0的 6.根据表中的对应值，判断方程 一个解x的取值范围是() 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 x2-10x-15 -1.56 -0.31 0.96 2.25 3.56 A.11.2<x<11.3 B.11.3<x<11.4 C.11.4<x<11.5 D.11.5<x<11.6 7.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米.停车场内车道的 宽都相等，若停车位的总占地面积为390平方米，列方程求解车道宽度时，设车道宽度为 x(单位：米)，下列方程正确的是() 30米 停车何 车 19米 道 车道 不车道 宽度 停车位 入▣ 车道 宽度 A.19x+30x=30×19-390 B.2x2+30x=30×19-390 c.(30-x019-2x)=390 D.(30-x019-x)=390 8.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手.有人统计一共握了66次手，这 次会议到会的人数有多少人() A.8 B.10 C.12 D.14 9.如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F.当 AE AB=4,BC=6时，AC的值为() E B A.2:3 B.2:5 C.3:5 D.3:10 1O.如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为 16,则AE的长是() A D B A.3 B.4 C.5 D.7 二、填空题（每小题3分，满分18分） x_3+y= 11.已知y2,则x-y 12.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位 置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD-8,则树高 AB=m. 77 ,云是一元二次方程。-3x+m-2=0的两个根，且该方程的两根互为倒数， 13.已知， 则m的值为 14.如图，在正方形ABCD中，AB=2cm,对角线AC,BD交于点O,E是AC延长线上一 点，且OE=2C0,则BE的长度是 cm E D 15.在菱形ABCD中，E,F分别是AB,BC边上的中点，G为DE上一点，若AB=6, ∠B=∠EGF=60°，则DG的长为 C 16.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E为边BC上一个动点，把△AEB沿AE折 叠得到△AEB,连接CB，当CB最短时，BE的长为一· B B 三、解答题：(17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12 分，共计72分，解答题要有必要的文字说明) 17.解下列方程： 0r--30 2-9=2x-3》 18.如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为（一1,3） B (I)以点O为位似中心，在第二象限作△ABC的位似图形△AB'C',使△ABC△AB'C'的边 长放大到原来的2倍，并直接写出点A的对应点A'的坐标： (2)如果△ABC内部的一点M坐标为(x,),则M的对应点M'的坐标是 B)5as:n边= 19.如图，在△ABC中，D是边AB上一点. D ()当∠ACD=∠B时，若AD=1,BD=3,求AC的长： Q已知MB=24C=2MD,若CD=2,求BC的长. 20.汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.某型号 小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形.如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度 AB=1.5米，车前盖最高处与地面距离CD=1米，驾驶员与车头水平距离BE=2米，车前 盖最高处与车头水平距离DE=0.5米，点M在EF上，ME=0.8米 x可见区域 车头 盲区 <可见区域 -- 图1 图2 (I)求车头盲区EF的长度： (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理 由. 2-(m+5)x+6+2m=0 21.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根： (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围. 22.某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份 销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份 的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变 (1)求二、三这两个月的月平均增长率： (②)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1 元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 23.综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”.如：图1四边形ABCD中， ∠B=∠C,则四边形ABCD为邻等角四边形. 【理解】(1)以下平面图形中，是邻等角四边形的有」 (填序号)； ① ② ③ ④ 平行四边形；矩形；菱形；正方形 【应用】(2)如图2，口ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE并延长，交AD边 于点F,若CE=CD,求证：AB·DF=EF·AD 3 【延伸】(3)如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4 版=2，过点E作直线EG交 对角线AC于点F,交边AD所在直线于点G,若四边形ABEF为“邻等角四边形”，求 FG的长， 图1 图2 图3 备用图1 备用图2 24.在四边形ABCD中，E是边BC上的一点，O是对角线AC的中点， D D 图1 图2 图3 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE,作OF⊥OE交CD于点F,求证： OE=OF; (2)如图2，四边形ABCD是平行四边形， AB L 4C.4B-35 5 anZACB=2EC=1:之 OF ,连接AE,作EF⊥AE交CD于点F,连接OF,求CF的值： (3)如图3，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，BC=6,连接DE交AC于点G,F是边AB上 的点，2B0e=0,若4F-写4，求OG的长。 参考答案 1.D 【详解】解：A、x2-5x-3不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、女1=》不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、5x+1=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意： D、x2+2x-1=0是一元二次方程，故本选项符合题意： 故选：D 2.D 【详解】试题分析：，菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线 互相垂直： 平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分； ,菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直。 故选D 3.D 【详解】解：由图可知：该几何体的俯视图为 故选D 4.D 【详解】解：，一元二次方程x2-2x+C=0有两个相等的实数根， .4=(-2}-4c=0 解得：c=1, 故选：D. 5.D 【详解】解：利用配方法如下： x2-2x-1=0 x2-2x=1 x2-2x+1=1+1 (x-1)2=2 故选D 6.B 【详解】解：对于方程x2-10x-15=0,当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一 个解， 根据表格数据：当x=113时 +x2-10x-15=-0.31 (负数)： 当=1.4 x2-10x-15=0.96 时， (正数)， 由于代数式值在x=11.3到x=11.4之间由负变正，因此方程的解位于区间11.3<x<11.4, 故选：B 7.D 【详解】根据题意，存(30-19-)=390 故选D 8.C 【详解】解：设参加会议有x人，依题意得： 2x(x-1)=66 整理得：x2-x-132=0. 解得=12专-1 (舍去) 所以参加这次会议的有12人. 故选：C 9.B 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC ∴.∠AFB=∠FBC,△AEF∽△CEB :BF平分∠ABC ∴.∠ABF=∠FBC .∠AFB=∠ABF, .AF=AB=4, :△AEF∽ACEB AE_AF_4_2 ∴.ECBC63, AE2 .AC5, 故选：B 10.A 【详解】设CD=x, 四边形ABCD是矩形， .AB=CD,AD=BC,∠A=∠D=90°， .EF⊥EC ∴.∠FEC=90° ∴.∠AFE+∠AEF=90°，∠AEF+∠DEC=90°， .∠AFE=∠DEC, 在△AFE和△DEC中， ∠AFE=∠DEC ∠A=∠D EF=EC ∴.△AFE≌ADEC(AAS) .AE=DC=x, DE=2, .AD=BC=x+2」 :矩形ABCD的周长为16， :.2(x+x+2)=16 x=3 即AE=3 故选：A. 11.5 【详解】解：“y2, ∴.可设x=3a,y=2a. x+y_3a+20_50=5 ∴x-y3a-2aa 故答案为：5. 12.5.5 ∠D=∠D 【详解】在△DEF和△DBC中，∠DEF=∠DCB, .△DEF∽△DBC, DE CD :EF BC' 40cm=0.4m,20cm-0.2, 0.48 即0.2BC· 解得BC=4, AC-1.5m, ∴.AB=AC+BC=1.5+4-5.5 故答案为：5.5m 13.3 【详解】解：“5，=m-2 =m-2 1 又“该方程的两根互为倒数，即：5=1， .m-2=1. 解得：m=3, 14.10 【详解】解：四边形ABCD是正方形， .BC=AB=2cm,∠ABC=90°，AC⊥BD,AC=-BD ,正方形对角线互相平分且相等， 0c-4C=D=0B BD=AC=BC2+4B2=2(cm) :0c=0B=24C=2cm, 则0E=2C0=22(cm) ,AC⊥BD, :在Rt△OBE中，BE=VOE2+OB-o(cm) 故答案为： V10 157 15.7 16.3 【详解】解：如图所示， B D 四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, ∴.∠D=∠ABC=90°CD=AB=6.BC=AD=8. 当点E在边BC上运动时，根据折叠的性质可知，点B在以A为圆心，AB为半径的圆上运 动，当点B在矩形ABCD的对角线上时，CB最短， 此时，由折叠可得∠AB'E=∠ABE=90°，AB'=AB=6,B'E=BE, ∴∠CB'E=∠CBA=90°， 又∠ECB'=∠ACB ∴.△ABC∽△EB'C、 ·EBCB AB CB, CD=6,AD=8, .AC=VCD2+AD2=V6+82=10 ∴.CB=AC-AB=10-6=4, 、EB_4 °68， 解得：EB=3 :BE B'E=3, 故答案为：3， 17.【详解】(1)解：x2-x-3=0, x2-x=3 父-x+3+ 4 . x-=t 2 2, +府 1-V13 2 2； (2)解：-9=2x-3) (x+3)(x-3)-2(x-3)=0 (x-3)(x+3-2)=0 “x-3=0或x+1=0 =3,x2=-1 18.(1) 由位似的性质作图，如图1： A B B 图1 :4-26) M'(2x,2y) (2)解：由位似的性质可知， 故答案为： (2x2y) (3)解：如图2，连接OA,OB, B 图2 由位似的性质可知， S.O4R =4SAOAB .S,0MB:Sg边形MBB=S.0MB:(S.0fr-S,04B）=1:3 故答案为：1：3 19.【详解】(1)解：AD=1,BD=3, ∴.AB=AD+BD=1+3=4, '∠ACD=∠B,∠A=∠A, .△ACDn△ABC, AC AD 'AB AC' ∴AC2=AD·AB=1×4=4 AC=2或AC=-2(不符合题意，舍去)， AC的长是2： 2AC=2AD (2)解： .AD ·AC-2, △ACD∽△ABC,CD=2, CDAD2 'BC AC 2, ，2V2 BC=2, :.BC=2√2 ..BC 2W2 的长是 20.【详解】(1)解：根据题意，AB⊥BF,CD⊥BF,BE=2m,DE=0.5m, 所以BD=BE-DE=2-0.5=1.5m,CD∥AB, 所以△FCD∽△FAB」 FD CD 所以FB=AB,又FB=FD+BD=FD+1.5, FD 1 所以，FD+1.51.5 解得，FD=3, 检验，当FD=3时，原方程的分母不为零， 所以FD=3m, 所以EF=FD-DE=3-0.5=2.5m: (2)解：不能； 如图所示，过点M作MN⊥FB交AF于点N, M E D 所以FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7m,FD=3m,MD=ME+DE=0.8+0.5=1.3m, :MN⊥FB,CD⊥BF, .MW∥CD 所以△FMN∽△FDC, MN FM 所以CDFD' 5所以Mw=FCP_17X1s057m ED 3 因为0.57>0.4. 所以驾驶员不能观察到物体 21.(①i证明：△=[-(m+5]-4(6+2m）=m2+10m+25-24-8m=(m+≥0 ∴此方程总有两个实数根： (2)解：·r-(m+5列x+6+2m=0 :(-2儿x-(3+mj]=0 :-2=0或-(3+m)=0 解得：x=2.龙2=m+3 ,此方程恰有一个根小于1， .m+3<1, 解得：m<-2. 22.【详解】(1)解：设二、三这两个月的月平均增长率为x, 根据题意得： 256(1+x)2=400 x=025=25%x2=-2.25 解得： (不符合题意，舍去)， 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%： (2)解：设商品降价'元，则每件的销售利润为0-y-25 元，月销售量为 400+5y) 件， (40-y-25)(400+5y)=4250 根据题意得： y2+65y-350=0 整理得： 解得： y=5y2=-70 (不符合题意，舍去)， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元. 23.【详解】(1)解：平行四边形和菱形都是邻角互补，矩形和正方形都是邻角相等， 故矩形和正方形是邻等角四边形， 故答案为：②④： (2)证明：如图，过A作AMCF于交BD于点M, M 则∠DEF=∠DMA, ∠FDE=∠ADM, .DFE△DAM, :DF、EF AD AM AM·DF=EF.AD」 .CE=CD ∴.∠CDE=∠CED=∠FEB CE∥AM. ∴.∠AMB=∠FEB=∠CDE, 在oABCD中，ABIICD ∴.∠ABM=∠CDE ∴.∠ABM=∠AMB, .AB=AM .AB·DF=EF·AD; (3)解：①当∠B=∠BEF=90时，此时EF‖AB,如图， G 3 BE=BC=4 ÷CE=BC-BE=4-3_§ 22' :∠FCE=∠ACB,∠B=∠FEC=90°， .ACEFACBA, :EF、CE AB CB .EF-15 8 :∠BAD=∠B=∠BEF=90°， ,四边形ABEG为矩形， .EG=AB=3. ∴.FG=EG-EF=3- 159 88; ②∠BAF=∠AFE 当 ，如图，过9作NEG交1C于点N,过作KL1C于 D G B E 则∠ANB=∠AFE=∠BAN. .BN =BA=3 在Rt△ABC中，AB=3,BC=4, ∴.AC=VAB2+BC2=5 由等面积可知BK=B.BC12 AC 5, 在Rt△ABK中，AK=VAB2-BK 5 :AB=BN,BK⊥AC AN=2AK=5, ÷CW=AC-Aw=5-187 5=5 EF∥BN, ∴.ACEFACBN, 5 EF CF ,CE_EF_CF,即4 3 7, CB BN CN 解得BF 8 CF-1 ·AF=AC-C℉=5-7-33 88 :CE∥AG ,.ACEF∽△AGF 715 :即，即扇是. AF FG 8 解得FG=495 56： ③、，∠AFE=∠BEF 时，如图，过F作L1aD于 L 点 D E 则180°-∠AFE=180°-∠BEF,即∠CFE=∠CEF, CF=CE=5 , AF=AC-CF=5-5-5 22, ..AF=CF AD/IBC ∴.∠GAF=∠FCE 在△AGF和△CEF中， [∠GAF=∠FCE AF=CF ∠AFG=∠CFE' :.AAGF≌△CEF(ASA) 46-cE-3, FL⊥AD,CD⊥AD .FL‖CD △AFL△ACD, AL=LF AF “AD CD-AC 即LLF 4 3 5 解得AL=2 LF=3 2 ÷LG=AG-AL=ξ-2= 2 .FG=LG2+LF2 2 9495V10 综上，G的长为8或56或2. 24.(1)证明：连接0D B E 图1 :ABCD是正方形，OF⊥OE, ∴.OD=0C,，∠COD=∠EOF=90°，∠ACD=∠ACB=45°， .∠DOF=∠COE. ∴△OCE≌△ODE. ..OE=OF; (2)解：过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥BC于点H, A B H G E 图2 :AC⊥AB, m乙ACB=4g=}AB=35 AC 2. 5, 4c-2g5 BC=AB+4C=3 .BE:EC=1:2, CE=2, .S平行四边形ABD=AB:AC=BC,AG 又 .G=AB·AC=55xV 6 BC 5 又：an∠ACB=AB、1 AC-2 “CG=2AG=12 , G=CG-CE--2 5 ,ABCD是平行四边形， ABI∥CD .∠ACD=∠BAC=90° .∠ACB+∠FCH=∠FCH+∠CFH=90°， .∠ACB=∠FCH, CH 1 .FH2' 设CH=a,则FH=2a, CF=CH+HF2=5a 2a=1 2+a3: 能糊0子 .CF=25 5, 又O是AC的中点， .0c=35 5, .OF=0C2+C2 5 V65 .v3 .CF-252; 5 (3)解：过点D作DP⊥BA于点P,作D0⊥BC于点O,设CE=x, ABCD是菱形， .ADI BC,DC∥AB, :∠PAD=∠DCQ=∠B=60° .∠ADP=∠CDQ=30° AP=CO=3 DP=DQ=ADP-AP=33 -写 AF=2, .PF=PA+AF=5. :.DF2=DP2+PF2=27+25=52.DE2=D0+QE2=27+3+x)2 在射线CA上截取AM=AF=2,在射线AC上截取CN=CE=x, ABCD是菱形， BA=BC,∠BAC=∠DAC=∠D=60, .∠MAD=∠FAD=120°，AC=AB=6. 又DA=DA, .△ADM≌△ADF, .DM=DF,∠MDA=∠FDA, 同理：DN=DE,∠NDC=∠EDC :∠MF+∠BDN=2(2ADF+∠BDC)=2(∠ADC-∠BDP)-2x160°-309）=60 ∴.∠MDN=90° .DM2+DN2 MN2,DF2+DE2 MN2, :52+27+(3+x=(2+6+x 解得CE=2.4, 又：CEI‖AD .LBCA=LCAD,∠CEG=∠ADG. ∴.△CEG∽△ADG, .CGCE CG2.4 AGAD,即6-CG=6, 解得：CG=12 又，O是AC的中点， .0C=3 ：0G=0C-CG=3-12_9 77·