2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考前强化训练卷

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中考试学情自测高频考点考前强化训练卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   4．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线，直线和被所截，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．下列说法正确的是（   ） A．已知线段，点是的黄金分割点，则 B．已知，，，，则，，，是成比例线段 C．方程有两个实数解 D．对角线相等且垂直的四边形是正方形 7．如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 8．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（   ） A．①有一组对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 9．如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 10．如图，正方形中，，点为边上一点，连接，过点作于点，点为边上一点，且，连接.下列结论：（1）；（2）；（3）若点为中点，则；（4）.正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若，则________． 12．已知是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 13．如图，大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为______． 14．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________．    15．为了加快发展新能源和清洁能源，助力实现“双碳”目标，大力发展高效光伏发电关键零部件制造．青岛某工厂今年第一季度生产某种零件的成本是20万元，由于技术升级改进，生产成本逐季度下降，第三季度的生产成本为万元，设该公司每个季度的下降率都相同．则该公司每个季度的下降率是__________． 16．如图，在菱形中，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是_____． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向下平移个单位得到，请画出； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为； (3)与关于点位似，请写出点坐标． 19．如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 20．某电商在网络平台上直播带货，已知该产品的进货价为20元/件，为吸引流量，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为35元/件时，日销售量为50件，售价每降低1元，日销售量增加2件．    (1)当日销售量为56件时，产品的售价为______元/件． (2)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利600元？ 21．如图，在中，对角线交于点O，且点E是边上一点，连接，若于点E，且， (1)求证：四边形为矩形； (2)延长交的延长线于点F，若，，求边的长度． 22．设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 23．（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 24．如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 参考答案 1．D 【详解】解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．C 【详解】解：A. 是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；     B. 是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C. 是一元二次方程，故本选项符合题意；     D. 一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．B 【详解】 解：由几何体可得，从正面看到的平面图形为， 故选：B． 4．A 【详解】解：A．∵，∴四条线段成比例，符合题意； B．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； C．∵，∴四条线段不成比例，不符合题意； D．∵，∴四条线段成比例，不符合题意． 故选：A． 5．B 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 6．A 【详解】解：∵线段，点是的黄金分割点， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，，， ∴， ∴，，，不是成比例线段，故B不符合题意； ∵， ∴， ∴方程没有实数根；故C不符合题意； ∵对角线相等且垂直的平行四边形是正方形， ∴D不符合题意； 故选：A 7．C 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8．A 【详解】解：A、有一组对角相等的平行四边形不一定是矩形， ∴此选项填写错误，故A符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴此选项填写正确，故B不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形， ∴此选项填写正确，故C不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形， ∴此选项填写正确，故D不符合题意． 故选：A． 9．D 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 10．B 【详解】解：（1）， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）， ， ， ， 故（2）正确； （3）如下图所示，过点作，分别交、于、点， 为的中点，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故（3）正确； （4）， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故（4）正确； 综上所述，正确的个数有个． 故选：B ． 11． 【详解】解：因为 ，且 ， 所以 ． 故答案为：． 12． 【详解】解：将代入一元二次方程得： ， 解得：， 故答案为：． 13． 【详解】解：由题意可知，，， ∴ 故答案为：． 14．2.7 【详解】解：如图，过作于，则， ∴，即， 解得， 故答案为：2.7    15． 【详解】解∶设该公司每个季度的下降率是x， 依题意，得∶， 解得∶， （不符合题意，舍去）． 即该公司每个季度的下降率是， 故答案为∶ ． 16． 【详解】解：连接交于，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴； 故答案为． 17．【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得，； （2）， ， ， ， 解得，． 18．(1)如图，将向下平移个单位得到， ∴即为所求； (2)如图，即为所求； （3）解：如图， ∵，，，，，， ∴． 19．【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 20．【详解】（1）设产品的售价为x元/件， 由题意得：， 解得：， 故答案为：32； （2）设该产品的售价每件应定为y元，电商每天可盈利600元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该产品的售价每件应定为30元，电商每天可盈利600元． 21．(1)证明： 四边形为平行四边形 ∴，即， 又 ， 又四边形为平行四边形 ∴四边形为矩形； (2)解：四边形为矩形 又∵，（公共角） ∴ 设，则 整理得， 解得（舍） ∴ ∴在中，． 22．【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； (2)证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 23．（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 24．【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 学科网（北京）股份有限公司 $