专题03 一元二次方程的根与系数的关系（讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系核心知识点，系统梳理韦达定理内容、成立条件及注意事项，延伸至根与系数关系的变形公式、根的定义结合应用及构造方程等知识脉络，搭建从基础理解到综合应用的学习支架。 该资料以考点突破、题型探究、分层通关为框架，通过例题与变式题结合培养学生推理能力，分层练习满足不同学情需求，助力学生用数学语言解决参数求解、综合应用等问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

专题03 一元二次方程的根与系数的关系 目录 Part1考点突破 考点1：一元二次方程的根与系数的关系 考点2：根与系数关系的变形与综合应用 Part2 题型探究 题型1：根与系数关系的基础应用 题型2：根与系数关系的变形求值 题型3：根的定义与韦达定理综合求值 题型4：由根与系数关系求参数 题型5：根与系数关系的综合应用 Part3 分层通关 【考点1：一元二次方程的根与系数的关系】 1、韦达定理 若一元二次方程的两个实数根为，则，。这个关系叫做一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 2、注意事项 ①韦达定理成立的前提是方程有实数根，即判别式；②使用前需将方程化为一般形式，准确确定a、b、c的值；③等于一次项系数除以二次项系数的相反数，不要漏掉负号。 【考点2：根与系数关系的变形与综合应用】 1、常见变形公式 ①；②；③；④；⑤。 2、根的定义与韦达定理结合 若是方程的根，则，即。利用这一关系可对含的代数式进行降次，再结合韦达定理整体代入求值。 3、构造方程 以为根的一元二次方程（二次项系数为1）为。已知两根可直接构造方程，已知方程的根满足某些关系也可反求参数。 【题型1：根与系数关系的基础应用】 【例1】若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B． C．3 D．5 【变式1】若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式3】若关于x的方程的一个根是1，则另一个根为（ ） A． B． C． D． 【题型2：根与系数关系的变形求值】 【例2】已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A．6 B．2 C． D．3 【变式1】若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【变式2】已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】若，是方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【题型3：根的定义与韦达定理综合求值】 【例3】设，分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【变式1】若为方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B．13 C． D． 【变式2】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【变式3】已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（ ） A．4049 B．4047 C．2024 D．1 【题型4：由根与系数关系求参数】 【例4】若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（ ） A．或1 B． C．1 D．1或4 【变式1】已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A． B． C．或 D．或 【变式2】已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【变式3】若关于的方程的两根互为倒数，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【题型5：根与系数关系的综合应用】 【例5】已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【变式2】已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【基础通关练】 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A．3 B． C．10 D． 2．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 3．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（ ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 6．一元二次方程的两根为，，则______． 【提升通关练】 1．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（ ） A．16 B．11 C．9 D．7 2．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 3．若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 4．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（ ） A． B．2 C． D．4 5．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 6．若方程的两个根是，，则的值为________． 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 8．已知，是方程的两个根，则________． 9．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 10．若，则的值是___________． 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【培优通关练】 1．若实数满足，且，则的值为（ ） A． B． C． D．或 2．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 3．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的根与系数的关系 目录 Part1考点突破 考点1：一元二次方程的根与系数的关系 考点2：根与系数关系的变形与综合应用 Part2 题型探究 题型1：根与系数关系的基础应用 题型2：根与系数关系的变形求值 题型3：根的定义与韦达定理综合求值 题型4：由根与系数关系求参数 题型5：根与系数关系的综合应用 Part3 分层通关 【考点1：一元二次方程的根与系数的关系】 1、韦达定理 若一元二次方程的两个实数根为，则，。这个关系叫做一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 2、注意事项 ①韦达定理成立的前提是方程有实数根，即判别式；②使用前需将方程化为一般形式，准确确定a、b、c的值；③等于一次项系数除以二次项系数的相反数，不要漏掉负号。 【考点2：根与系数关系的变形与综合应用】 1、常见变形公式 ①；②；③；④；⑤。 2、根的定义与韦达定理结合 若是方程的根，则，即。利用这一关系可对含的代数式进行降次，再结合韦达定理整体代入求值。 3、构造方程 以为根的一元二次方程（二次项系数为1）为。已知两根可直接构造方程，已知方程的根满足某些关系也可反求参数。 【题型1：根与系数关系的基础应用】 【例1】若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个实数根，则两根之积，据此计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中， ∴． 【变式1】若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再根据根与系数的关系，得到两根之和m和两根之积n，代入得到一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断图象不经过的象限即可． 【详解】解：整理原一元二次方程得， ∵两根之和为，两根之积为， ∴，， ∴一次函数解析式为， ∵一次项系数，常数项， ∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 【变式2】一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 【变式3】若关于x的方程的一个根是1，则另一个根为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系快速求出另一个根，也可先代入已知根求出k的值，再解方程得到结果． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵对于一元二次方程，两根之和为， 又∵方程中，，一个根为1， ∴， ∴， 即方程的另一个根为， 故选：A． 【题型2：根与系数关系的变形求值】 【例2】已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A．6 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：． 【变式1】若，是一元二次方程的两根，则的值为______. 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 【变式3】若，是方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后再运用分式的加减运算法则计算，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 【题型3：根的定义与韦达定理综合求值】 【例3】设，分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及根与系数的关系，先利用根的定义求出的值，再根据根与系数的关系求出的值，最后将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根 ∴ ∴ ∵分别为该方程的两个实数根 ∴（一元二次方程的两根之和为） ∴ 故选：D． 【变式1】若为方程的两个实数根，则的值为（ ） A． B．13 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义可得，根与系数的关系可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵为方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故选A． 【变式2】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 【变式3】已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（ ） A．4049 B．4047 C．2024 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得 ． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 【题型4：由根与系数关系求参数】 【例4】若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（ ） A．或1 B． C．1 D．1或4 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∵一元二次方程有两个根， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式1】已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 【变式2】已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 【变式3】若关于的方程的两根互为倒数，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，是关于的一元二次方程，为常数)的两个实数根，则 ． 根据已知和根与系数的关系得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的的值． 【详解】解：设是方程的两根， ， ∵两根互为倒数， ∴， 解得或2； ∵方程有两个实数根，， ∴当时，，舍去， 故的值为． 故选：C． 【题型5：根与系数关系的综合应用】 【例5】已知关于的方程：，其中是常数． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)2015 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键； （1）证明方程的判别式大于0即可； （2）当时，原方程为，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定义可得，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，原方程为， ∵、是此方程的两个根， ∴， ∴ ∴ ． 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）把代入方程，因式分解法解方程即可； （2）求出判别式的符号，即可得证； （3）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， ∴或， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∴不论为何实数，方程总有实数根； （3）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵ ∴ ∴， 整理，得 ∴． 【变式2】已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用根与系数的关系求得，则新方程的两个根为再逐项判断即可． 【详解】解：A．由根与系数的关系可得方程的，符合题意； B．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； C．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； D．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意． 【变式3】已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 【基础通关练】 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（ ） A．3 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若是一元二次方程的两个实数根，则，直接代入系数即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得． 2．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 3．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据根与系数的关系解题即可． 【详解】解：， ， ∴，， ∴点为，在第四象限． 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程化为一般形式，求出得到点坐标，再根据对称特征求对称点坐标即可． 【详解】解： ，其中， ∴，，即点坐标为， ∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于y轴对称的点为． 5．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程两根之和的关系，结合已知的一个根即可求出另一个根． 【详解】解：由题意可知，一元二次方程中，，， 根据根与系数的关系，可得， ∵， ∴，即方程的另一个根为． 6．一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 【提升通关练】 1．已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（ ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 2．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 3．若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 4．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵，且， ∴ 将，代入得：， 整理得：， ∴． 5．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 6．若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，将所求代数式变形后，结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，即． ． ，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得． 代入，得 ． 8．已知，是方程的两个根，则________． 【答案】/ 【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， 对通分得 ， 将，代入得 原式． 9．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解： ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 10．若，则的值是___________． 【答案】 【分析】构造一元二次方程，根据求解． 【详解】解：∵，，且， ∴，可看作一元二次方程的两个不相等实数根， 根据根与系数的关系可得： ，， ． 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得，再解得，即可作答． （2）结合一元二次方程的根与系数的关系，得，，再代入，求出或，又因为，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 即， 整理得：， 解得：； （2）解：该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：或， 由（1）得， 则． 【培优通关练】 1．若实数满足，且，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知，和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解． 【详解】解：∵实数，满足，且， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 2．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，先判断a，b的符号，再化简所求二次根式，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∵，， ∴，， ∴． 3．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系求出与的值，判断的符号，再对所求二次根式进行化简，最后整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，， ，． ∴ ． 4．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $