专题13 一次函数（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题13 一次函数 6大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数的表示 考点03 一次函数的概念 考点04 一次函数的图象和性质 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 考点06 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念 1．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）函数的自变量x的取值范围是　　　　　　． 考点02 函数的表示 1．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．当张华离开家时，他的妹妹也从家出发匀速步行直接到达了文化广场，然后和张华一同返回家中．下列说法中错误个数有（     ） ①张华两次骑行的速度不相等； ②妹妹从家去文化广场的步行速度是； ③妹妹在张华从家出发时追上张华： ④张华从家出发到达文化广场的过程中，在张华离家，，，时，他与妹妹的距离刚好为； A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 考点03 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）已知点在一次函数的图象上，则　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）若是关于x的正比例函数，则m的值是　　　　　　． 4．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）若关于的函数为一次函数，则值为　　　　　． 考点04 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）点在第二象限，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）已知，，是直线（为常数）上的三个点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）已知点在第四象限，则一次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）下列表示一次函数与正比例函数（其中k，b为常数且）的图像正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）在平面直角坐标系中，已知函数，则该函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）（多选）（多选）对于一次函数，下列说法正确的有（     ） A. 若，则函数值y随x的增大而减小 B. 若k越大，则函数图像直线越陡 C. 该函数图像一定过点 D. 若该函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为4，则 10．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是　　　　　． 11．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）直线沿y轴向上平移个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为　　　　　． 12．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）小明想买一些笔记本，经了解，每个笔记本定价元，如果一次性买个以上，超过个的部分打折，设小明购买个笔记本（），付款元，则与之间的函数关系式为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）若方程的解是，则直线与x轴的交点坐标为　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）已知点，在直线上，则　　　　　　　　　　．（填“>”、“<”或“=”号） 15．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）已知点和都在直线（m为常数）上，则　　　　　　　　（填“＞”、“＜”、“＝”）． 16．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在长方形中，，，点、点分别为边、边上的点，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到达点时停止．设运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若一次函数与函数的图象有且仅有1个交点，请直接写出的取值范围． 17．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）已知一次函数图象经过点，． （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 18．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在四边形中，，，且满足，，，点P从点A出发，沿着折线A→B→C运动，到达点Ｃ后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，当时，请直接写出x的值． x 0 2 4 6 9 y 4 8 12 8 2 19．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形并写出，，的坐标； （2）写出点C关于y轴的对称点的坐标：______； （3）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，不下结论），并求出周长的最小值：______． 20．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）探究与应用 【探究发现】 小文和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义→图象→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点A是数轴上一点，表示的数是1；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，AB的距离为y，随着x的变化，AB的距离y会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： x 0 1 2 3 4 5 … y 3 2 1 0 1 2 3 m … 其中________． 数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？________（填“是”或“不是”）． （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质：___________________________________________． 【应用拓展】 若点，均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系：_________． 将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为_________．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 21．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点A在第一象限，，且，，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，当点D运动到中点时，求的长； （2）如图2，点E是上一点，将沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处，连接，若面积为2，求出此时点D的坐标； （3）如图3，在（1）的条件下，直线上是否存在一点M，使是直角三角形，若存在，请直接写出此时所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，已知直线与直线相交于点，则关于，的方程组 的解为（ ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）直线的图象如图所示，则方程的解是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）函数与的图象如图所示， 则关于x的方程的解为　　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组 的解为　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组 的解为　　　　　　． 6．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图，直线：经过点，，且与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）直线与直线交于点，在同一直角坐标系中画出直线的图象，并根据图象，直接写出方程组 的解为______； （3）直线与轴交于点，求两直线与坐标轴围成的四边形的面积． 7．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，两条直线相交于点E，且满足，． （1）求直线的解析式； （2）连接，求的面积． 8．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，直线分别与轴、轴、直线交于、、三点，已知，． （1）求直线的表达式； （2）直线上有一点，满足，求点的坐标． 考点06 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（　　） A. 200 B. 80 C. 140 D. 120 2．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（       ） A. 乙车的速度是 B. 乙车比甲车晚出发，却早到 C. 乙车出发后追上甲车 D. 当甲、乙两车相距时，或 3．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）国庆假期，小文与小德两家人打算自驾游从重庆出发行驶至成都，小文开甲车，小德开乙车．两车离开重庆的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（     ） A. 甲车的速度是 B. 当时，乙追上甲 C. 乙追上甲的时候，两车距终点还有 D. 甲乙两车相距时，或 4．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 5．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： （3）已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 6．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 7．（25-26学年八·重庆高新·期中）双十二即将来临，某商超计划引进“广式糕点”和“京式糕点”两种礼盒，若购进3盒“广式糕点”礼盒和4盒“京式糕点”礼盒共需1420元，购进4盒“广式糕点”礼盒和3盒“京式糕点”礼盒共需1520元． （1）求每盒“广式糕点”礼盒和“京式糕点”礼盒的进价各是多少元？ （2）该商超计划用不超过5000元的资金购进两种礼盒共25盒，同时根据市场调研，“京式糕点”礼盒的进货数量应不超过“广式糕点”礼盒进货数量的2倍，若每盒“广式糕点”礼盒售价340元，每盒“京式糕点”礼盒售价250元（进价保持（1）中所求不变），且所有礼盒均能全部售出，请设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 8．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． （1）分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； （2）某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 9．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）一天下午，妈妈骑着小电驴从家出发到距家2400米的超市买菜，同时欣欣也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间），分钟后小欣和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花5分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了小欣，妈妈到家3分钟后小欣才到家．如图是两人离家的距离（米）与出发时间（分）之间的函数图象． 根据图象信息解答下列问题： （1）______，______； （2）①求小欣离家的距离（米）与出发时间（分）之间的函数关系式； ②请直接写出妈妈离家的距离（米）与出发时间（分）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）请直接写出小欣与妈妈恰好相距500米时x的值． 10．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． （1）若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 11．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 12．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． （1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； （2）若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 13．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，在中，，，，点P从点B出发沿的方向运动至点A处停止．设x表示点P运动的路程，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，若该函数图象与一次函数的图象有交点，则m的取值范围是_________． 14．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）若正实数满足，我们称一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”．已知一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”，点在一次函数上，点在正比例函数上，则以为边长的三角形的面积为　　　　　　． 15．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知2台A型机器人和3台B型机器人每小时共清洁170平方米， 3台A型机器人和1台B型机器人每小时共清洁150平方米． （1）一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ （2）某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台， B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a． （3）在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1.2万元一台， B型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；请说明理由 16．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 17．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，直线的函数表达式为：与轴和轴分别交于A，B两点，与直线交于点，； （1）求直线的函数表达式； （2）若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； （3）若点M是轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标，选一个点写过程． 18．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线与y轴交于点C，两直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，连接，点P是直线上一点，若，求点P的坐标； （3）如图3，点M是x轴上的一动点，点N是直线上的一动点，是否存在以点B、M、N为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 19．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D． （1）求直线解析式和点D坐标； （2）点P为射线上一动点，y轴上有一动点M，连接，当时，请求出点P的坐标和的最小值； （3）若点N是x轴上一动点，请直接写出使是等腰三角形的点N的坐标． 20．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； （3）如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 21．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线和直线的图象交于轴上的点，且分别交轴于点和，已知．    （1）求，的值； （2）如图2，点为直线上一点，已知点的横坐标为，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接、、．求周长的最小值和此时点的坐标； （3）如图3，在（2）中的周长取得最小值的条件下，连接，点为平面内任意一点，当是以为边，向右侧作的等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 一次函数 6大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数的表示 考点03 一次函数的概念 考点04 一次函数的图象和性质 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 考点06 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念 1．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）函数的自变量x的取值范围是　　　　　　． 【答案】x≤3 【详解】 由题意可得，3-x≥0， 解得x≤3． 故答案为：x≤3． 考点02 函数的表示 1．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了6min到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家中．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．当张华离开家时，他的妹妹也从家出发匀速步行直接到达了文化广场，然后和张华一同返回家中．下列说法中错误个数有（     ） ①张华两次骑行的速度不相等； ②妹妹从家去文化广场的步行速度是； ③妹妹在张华从家出发时追上张华： ④张华从家出发到达文化广场的过程中，在张华离家，，，时，他与妹妹的距离刚好为； A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】 本题主要考查函数图象，根据路程÷时间得出速度可判断① ；根据路程÷时间得出速度可判断② ；求出张华从家出发时妹妹的路程和张华的路程即可判断③ ；分别求出他与妹妹的距离刚好为的时间进行判断即可． 【详解】 解：① 张华从家到画社的路程是，时间是，速度为； 张华从画社到文化广场的路程是，时间是，速度； 所以张华两次骑行的速度相等，① 错误，符合题意； ② 妹妹从家出发到文化广场用了，路程是，速度为② 正确，不符合题意； ③ 张华从家出发时，张华的行程：前骑行到画社，停留到，所以时张华在画社停留（时，张华在画社，离家距离）．妹妹从张华出发后出发，时妹妹出发了，妹妹走的路程，，所以妹妹没有追上张华，③ 错误，符合题意； ④ 设张华出发时，他与妹妹的距离为； 当时，张华的速度是，妹妹还没出发，距离， 令， 解得，符合条件。 当时，张华在画社，离家，妹妹在时出发， 当，妹妹走的路程，距离， 当，解得，符合条件； 当，解得，不在范围内，舍去； 当时，张华从画社到文化广场，速度，张华离家的距离，妹妹走的路程，距离，化简得， 当，解得，符合条件； 当，解得，不在范围内，舍去； 当时，张华在文化广场停留，离家，妹妹在时到达文化广场，所以距离为，不符合题意； 所以在，，时，距离为，④ 错误，符合题意； 综上，② 和④ 正确，错误的个数是2个， 故选：C． 考点03 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）下列各点在一次函数的图象上的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了求一次函数的函数值，将每个点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，与对应点的纵坐标比较，判断点是否在图象上． 【详解】 解：在中，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴四个点中，只有点在一次函数的图象上， 故选：C． 2．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）已知点在一次函数的图象上，则　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 根据一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标满足函数解析式，代入横坐标即可求出纵坐标． 【详解】 解：将点A的横坐标代入函数解析式，得： ， 故答案为：． 3．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）若是关于x的正比例函数，则m的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义， 一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】 解：∵是关于x的正比例函数， ∴ ， ∴， 故答案为：． 4．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）若关于的函数为一次函数，则值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的定义，根据平方根的定义解方程．根据一次函数的定义，函数表达式中的自变量指数必须为1，且系数不为零． 【详解】 由一次函数的定义，需满足指数部分且系数部分． 解方程， 得， 即或． 当时，系数，不符合一次项系数不为零的要求； 当时，系数，符合要求． 故答案为：． 考点04 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定，由此可以推知一次函数的图象的大致情况． 【详解】∵正比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，且经过第一、三象限． 观察选项，只有A选项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键． 2．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）若正比例函数经过第二、四象限，则下列关于函数的图象正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是正比例函数的性质，一次函数的图象，一次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 先根据题意得出，进而可得出结论． 【详解】 解：正比例函数经过第二、四象限， ， ，， 函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 3．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）点在第二象限，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的图象，点的坐标特征，解题的关键是根据一次函数中k、b的符号确定函数图象所经过的象限． 根据点在第二象限，确定k、b的符号，进而得到，的符号，然后确定两个一次函数图象所经过的象限，逐项判断即可． 【详解】 解：∵点在第二象限， ∴，． ∴，． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限， 一次函数的图象经过第二、四象限和原点． 观察图象可知满足条件的只有选项D． 故选：D． 4．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）已知，，是直线（为常数）上的三个点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据k=-5知y随x的增大而减小，从而判断大小. 【详解】∵一次函数中，k=-5， ∴y随x的增大而减小， ∵-3＜-2＜1， ∴， 故选B. 【点睛】本题是对一次函数知识的考查，熟练掌握一次函数k与函数增减的关系是解决本题的关键. 5．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据随的增大而减小求出m的取值范围即可求解． 【分析】 解：∵随的增大而减小， ∴， ∴， 故选C． 6．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）已知点在第四象限，则一次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，熟练掌握、的符号与函数图象的位置关系是解题的关键．根据点在第四象限，可知，，然后根据、的符号与函数图象的位置关系即可得到答案． 【详解】 解：∵点在第四象限， ∴，， ∴经过一、三、四象限． 故选：A． 7．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）下列表示一次函数与正比例函数（其中k，b为常数且）的图像正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一次函数图像和正比例函数图像，熟练掌握一次函数图像和正比例函数图像的性质是解题的关键． 根据分析一次函数的图像确定和符号，通过分析图像确定一次函数和正比例函数的常数符号是否一致，据此逐项判断即可． 【详解】 解：选项A、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数矛盾，不符合题意； 选项B、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数矛盾，不符合题意； 选项C、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数一致，符合题意； 选项D、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数矛盾，不符合题意； 故选：C． 8．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）在平面直角坐标系中，已知函数，则该函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据得出经过第一、二、四象限，即可求解． 【详解】 解：∵中， ∴经过第一、二、四象限， 故选：C． 9．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）（多选）（多选）对于一次函数，下列说法正确的有（     ） A. 若，则函数值y随x的增大而减小 B. 若k越大，则函数图像直线越陡 C. 该函数图像一定过点 D. 若该函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为4，则 【答案】AC 【分析】 本题重点考查了一次函数的性质，通常一次函数的解析式为，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，函数的陡峭程度由决定，越大越陡峭，在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与轴、轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积，熟练掌握一次函数相关性质是本题求解的关键． 选项A中，时，随着的增大而减小，故正确；选项B中，时，越小越陡峭，通过推理得到答案；选项C中，令，可得到，故正确；选项D中，通过求解直线与轴、轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式可以得到三角形的面积，完成求解． 【详解】 解：对于选项A，当时，随着的增大而减小，正确； 对于选项B，陡峭程度由决定，仅增大但可能绝对值减小（如为负时），错误； 对于选项C，将代入得到，故一定经过点，故正确； 对于选项D，得到直线与轴、轴的交点坐标为和，面积为得，得到，故错误． 故选：AC． 10．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性，是解题的关键．根据直线解析式中，得出随的增大而减小，比较点、、的横坐标大小，即可得出值的大小关系． 【详解】 解：∵直线中， ∴随的增大而减小， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）直线沿y轴向上平移个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的平移、一次函数与坐标轴的交点问题，先根据一次函数的平移法则得出平移后的解析式，再求出当时的的值，即可得解． 【详解】 解：直线沿y轴向上平移个单位，得到的解析式为， 当时，， ∴平移后直线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）小明想买一些笔记本，经了解，每个笔记本定价元，如果一次性买个以上，超过个的部分打折，设小明购买个笔记本（），付款元，则与之间的函数关系式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，， 即， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）若方程的解是，则直线与x轴的交点坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题重点考查一次函数与坐标轴的交点问题，直线，与轴的交点为，与轴的交点为，熟练掌握一次函数的解析式和交点坐标是本题求解的关键． 方程的解，表示直线与轴的交点横坐标为，得到的关系，然后利用与的关系求直线与轴的交点坐标，完成求解． 【详解】 解：∵方程的解是， ∴，即， ∴， 对于直线， 令，则，即， ∴， 代入， 得， ∴直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）已知点，在直线上，则　　　　　　　　　　．（填“>”、“<”或“=”号） 【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的解析式可求得函数的增减性，则可比较a、b的大小． 【详解】 解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在直线上，且， ∴, 故答案为：． 15．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）已知点和都在直线（m为常数）上，则　　　　　　　　（填“＞”、“＜”、“＝”）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据一次函数中，可得函数值y随着x的增大而减小，再根据可得答案. 【详解】 解：∵一次函数中， ∴一次函数值y随着x的增大而减小，再 ∵中， ∴. 故答案为：. 16．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在长方形中，，，点、点分别为边、边上的点，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，到达点时停止．设运动的时间为秒（），的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）若一次函数与函数的图象有且仅有1个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2） 图象如图所示，      （3）或      【分析】 本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质； （1）根据三角形的面积以及点的位置，分类讨论，列出函数表达式即可求解； （2）根据列表、描点、连线的方法画出函数图象，结合函数图象写出一条性质，即可求解； （3）先求得当一次函数分别经过三个特殊点时的的值，结合函数图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：依题意，，， 当时， 当时，如图， ，， ∴ ∴ (2) 小问详解： 解：列表 描点连线略 性质，当时，取得最大值；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3) 小问详解： 当过点时， 解得：； 当过点时， 解得：； 当过点时， 解得： 结合函数图象可得，当与函数的图象有且仅有1个交点时，或． 17．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）已知一次函数图象经过点，． （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）     （2）、      【分析】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点的坐标的特点，求出函数解析式是解本题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别令x、y等于0，求出y与x的值，即可得到图象与y轴和x轴的交点． (1) 小问详解： 解：设一次函数解析式为， 把点，分别代入解析式得， ， 解得 ， ∴一次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 当时，， 解得：， ∴与坐标轴的交点为、． 18．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在四边形中，，，且满足，，，点P从点A出发，沿着折线A→B→C运动，到达点Ｃ后停止运动．设点P运动的路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出对应自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，当时，请直接写出x的值． 【答案】（1）     （2） 描点可得图象为： 性质：该函数在时取得最大值为12（答案不唯一）     （3）或      【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，一次函数的解析式的求解，一次函数的图象与性质，解决本题的关键是分类讨论点P的位置得到表达式． （1）作辅助线构造矩形，并证明为等腰直角三角形，由此可得的长度，分类讨论点P在上与点P在上两种情况，当点P在上时，根据求解即可；当点P在上时，根据三角形面积公式求解即可； （2）先列表，再描点，从而在给定的平面直角坐标系中画出函数图象即可，再根据一次函数的图象得到性质即可； （2）根据函数图象即可求解． (1) 小问详解： 解：过点C作的延长线于点D，如图， ∵，， ∴，即四边形是梯形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，即， ∴， 又， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， 当点P在上时，， ∵点P运动的路程为x，即，则， ∴， ， ， ∴； 当点P在上时，，如图， ∴，则， ∴； ∴ ； (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， 列表可得： 性质：该函数在时取得最大值为12； x 0 2 4 6 9 y 4 8 12 8 2 (3) 小问详解： 解：由图象可知，当时，或． 19．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形并写出，，的坐标； （2）写出点C关于y轴的对称点的坐标：______； （3）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，不下结论），并求出周长的最小值：______． 【答案】（1）如图，即为所求； ，，      （2）     （3）如图，点即为所求． ，      【分析】 本题主要考查了轴对称变换，平面直角坐标系中的点，两点间距离公式. （1）作出点A、B、C三个顶点的对称点、、，然后顺次连接，最后根据平面直角坐标系写出坐标即可； （2）根据平面直角坐标系写出点关于轴的对称点的坐标即可； （3）连接，先求出的解析式，从而求出点，可知当A、P、在同一直线上时，最小，此时最小，根据勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 解：作出点A、B、C三个顶点的对称点、、，顺次连接，则即为所求； 可知，，； (2) 小问详解： 解：点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：连接交y轴于点P，则点即为所求． ∵点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小， 设直线为：，把，代入得 解得 ∴直线为：， 当得， ∴； ∵点C关于y轴的对称点， ∴， ∴， ∴当A、P、在同一直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小，则周长的最小值为： ． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）探究与应用 【探究发现】 小文和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义→图象→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点A是数轴上一点，表示的数是1；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，AB的距离为y，随着x的变化，AB的距离y会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： x 0 1 2 3 4 5 … y 3 2 1 0 1 2 3 m … 其中________． 数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？________（填“是”或“不是”）． （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质：___________________________________________． 【应用拓展】 若点，均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系：_________． 将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为_________．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 【答案】（1）4，是； （2） 描点、连线，则所画函数图象如图所示： 函数的性质：① 该函数图象关于直线对称；② 当时，函数有最小值0；③ 当时，y随x的增大而增大；④ 当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分） （3）；或 【分析】 本题主要考查函数的图象和性质，数轴上两点间距离，二元一次方程组，涉及一次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数； （2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可； （3），关于直线对称，据此求解；作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线重合及平行时的k值，即可得出答案． 【详解】 解：（1）点B表示的数是5，的距离为， 给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数， 故答案为：4，是； （2）依题意得： （3）由（2）中函数图象可得：，关于直线对称， ， ， 翻折后新函数图象如下图所示： 则，，， 对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3， 因此一次函数图象过定点， 设直线的解析式为， 则 ，解得 ， ∴直线的解析式为； 同理，直线的解析式为，则点在直线上， 由图知，若一次函数图象与直线平行，则，此时一次函数与该函数图象只有一个交点， 若一次函数图象与直线重合时，则，此时一次函数与该函数图象有无数个交点， 当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点， 故答案为： ；或． 21．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点A在第一象限，，且，，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，当点D运动到中点时，求的长； （2）如图2，点E是上一点，将沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处，连接，若面积为2，求出此时点D的坐标； （3）如图3，在（1）的条件下，直线上是否存在一点M，使是直角三角形，若存在，请直接写出此时所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）根据勾股定理和直角三角形的性质得出结果； （2）作于G，根据轴对称的性质得出，，，从而得出，根据勾股定理得出方程，从而得出，可求得，作于C，根据勾股定理得出的值，从而得出A点的坐标，根据面积法得出的值即可； （3）当时，取的中点M，连接，进而得出M点坐标；当时，设，当时，根据列出关于a的方程，求得a的值，进而得出结果． (1) 小问详解： 解：，，， ， 是的中点， ； (2) 小问详解： 解：如图1， 作于G， 沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 作于C， 由得，， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：如图2， 取的中点M，连接， 设直线的关系式是：，则，解得：， 直线的关系式是：， 是的中点， ，， ， 此时， 如图3， 当时，设， 由得， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，一次函数等知识，解决问题的关键是分类讨论． 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，已知直线与直线相交于点，则关于，的方程组 的解为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，解题的关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．先求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】 解：直线过点， ， 点， 直线与直线相交于点， 二元一次方程组 即 的解为 ， 故选：B． 2．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）直线的图象如图所示，则方程的解是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】 解：∵在的图象上， ∴方程的解是 故选：B． 3．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）函数与的图象如图所示， 则关于x的方程的解为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查一次函数图象交点问题，利用函数图象得到方程的解，正确理解函数图象的交点与对应方程的解关系是解题的关键．结合图象即可解答． 【详解】 解：∵函数与的图象交点的横坐标为2， ∴方程的解为． 故答案为： 4．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组 的解为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系． 将点代入，求出点坐标，则点的横纵坐标即为方程组 的解． 【详解】 解：由题意得将代入，则， ∴， ∴关于，的方程组 的解为 ， 故答案为： ． 5．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组 的解为　　　　　　． 【答案】 【分析】 二元一次方程组的解对应两个一次函数图象交点的坐标，先整理方程组得到对应两个一次函数，再根据已知交点横坐标求纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】 解：整理方程组 ，可得 ， ∵直线与交点的横坐标为， 把代入，得， ∴两条直线的交点坐标为， ∴原二元一次方程组的解为 ． 6．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图，直线：经过点，，且与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）直线与直线交于点，在同一直角坐标系中画出直线的图象，并根据图象，直接写出方程组 的解为______； （3）直线与轴交于点，求两直线与坐标轴围成的四边形的面积． 【答案】（1）；     （2） ；     （3）．      【分析】 本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象、利用一次函数解二元一次方程组、坐标与图形性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 直接将点坐标代入即可得解； 依据题意画出函数图象，观察其交点坐标； 设与轴交于点，即可得解． (1) 小问详解： 解：将，代入得 ，解得 ， 直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：直线的图象如图所示： 由图象可知其交点坐标为， 方程组 的解为 ， 故答案为： ； (3) 小问详解： 解：设与轴交于点， 令， 解得， . 令， 解得， ， ， . 7．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线分别与x轴、y轴交于C、D两点，两条直线相交于点E，且满足，． （1）求直线的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）直线的解析式为     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，求直线围成的三角形面积等知识． （1）先求出C、D两点的坐标，由，，得点B、A的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）先求出点E的坐标，再求得，由即可求解． (1) 小问详解： 解：∵直线分别与x轴、y轴交于C、D两点， ∴令，得；令，则， ∴、， ∵，， ∴，， ∴，， 将，代入得： ， 解得 ． ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：联立：， 解得， ∴． ∵，， ∴， ∵． ∴． 8．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，直线分别与轴、轴、直线交于、、三点，已知，． （1）求直线的表达式； （2）直线上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】（1）直线的表达式为     （2）点P的坐标为或      【分析】 本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，结合三角形面积公式求解是关键． （1）设的表达式为，求出，，把坐标代入，求出的值即可； （2）联立 ，求出点，根据三角形面积公式求出，根据可得方程，求出的值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵，且A在轴负半轴上， ∴； ∵， ∴， ∵点B在x轴正半轴上， ∴， 设直线的表达式为, 把，代入解析式得， ， 解得 ， 所以直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：联立直线与直线的方程得 ， 解得 ， ∴， ∵, ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 当时，，解得，此时，所以； 当时，，解得，此时，所以， 综上，点P的坐标为或． 考点06 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（　　） A. 200 B. 80 C. 140 D. 120 【答案】D 【分析】 根据小明步行了5分钟，走了400米，求得小明步行的速度，由小明以同样的速度回家取作业，可得小明回家花的时间，由此得出小明骑车花的时间，用骑车的路程÷时间求得小明骑车的速度，即可得出结论． 【详解】 解：由图像知： 步行了5分钟，走了400米， ∴小明步行的速度为：400÷5＝80米/分钟， ∵又以同样的速度回家取作业， ∴又花了5分钟， 后面骑车用的时间为：16－5－5＝6分钟， ∴小明骑车的速度为：1200÷6＝200米/分钟， ∴小明骑车比步行的速度每分钟快200－80＝120米/分钟， 故选：D 【点睛】 本题是一次函数的综合题，也考查了行程问题：路程＝速度×时间的运用，解题时理解函数图像是关键． 2．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开宣城的距离与两车行驶的时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（       ） A. 乙车的速度是 B. 乙车比甲车晚出发，却早到 C. 乙车出发后追上甲车 D. 当甲、乙两车相距时，或 【答案】D 【分析】 本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键． 先设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可． 【详解】 解：设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， 由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，代入到乙的函数关系式中， ∴， ， 解得 ， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， A、乙车速度为，该选项正确，不符合题意； B、乙车在时出发，在到达，甲车在时出发，在到达，则乙车比甲车晚出发，却早到，该选项正确，不符合题意； C、联立两个函数解析式得 ， 解得 ， ∵乙车在时出发， ∴乙车出发后追上甲车，该选项正确，不符合题意； D、当乙出发前：， 解得，选项中没有； 乙出发后到甲到达前(：， 解得或； 乙到达后： 解得，选项中也没有，故该选项错误，符合题意； 故选D． 3．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）国庆假期，小文与小德两家人打算自驾游从重庆出发行驶至成都，小文开甲车，小德开乙车．两车离开重庆的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（     ） A. 甲车的速度是 B. 当时，乙追上甲 C. 乙追上甲的时候，两车距终点还有 D. 甲乙两车相距时，或 【答案】D 【分析】 本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象和性质，分类讨论，是解题的关键． 计算甲车的速度是，判断A；求出甲的函数关系式为，乙的函数关系式为，联立两个函数解析式求得 ，判断B、C；当两车相距时，分乙出发前，乙出发后，乙到达成都后，三种情况讨论，判断D即可． 【详解】 解：A、∵甲车的速度是， ∴该选项正确，不符合题意； B、设甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， 由函数图象得，将代入到甲的函数关系式中，，代入到乙的函数关系式中， ∴， ， 解得， ， ∴甲的函数关系式为，乙的函数关系式为， 乙追上甲的时候，，联立两个函数解析式得 ， 解得 ， ∴乙车在追上甲车， ∴该选项正确，不符合题意； C、此时，两车距终点还有， ∴该选项正确，不符合题意； D、当两车相距时， 乙出发前，甲行驶， ， 解得； 乙出发后，甲乙行驶中相距， ， 即， 解得； 或， 即， 解得； 乙到达成都后，甲距成都， ， 解得． ∴或或或． ∴该选项错误，符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m的值及一次函数的表达式； （2）若P是x轴上一点，且的面积是6，求点P的坐标． 【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）设点，则，据此即可求解； (1) 小问详解： 解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得： ， 解得： ， ∴一次函数的表达式为：； (2) 小问详解： 解：设点， 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或 5．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： （3）已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）     （2）性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大     （3）或      【分析】 本题为一次函数综合题目，考查了矩形的性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，动点问题，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． （1）分两种情况：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时，分别表示的面积即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）分别联立，和，，求出交点坐标，结合（2）的函数图象，即可写出满足的x的取值范围． (1) 小问详解： 解：在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发， (秒)，． 时，点B和点P重合，不能构成三角形． ∴当点P在边上运动时，． ，． ∴的面积为； 当点P在边上运动时， (秒)， 点为线段的中点， ． 由题意可知， ∴的面积为； 综上所述，y关于x的函数表达式为 (2) 小问详解： 解：画出函数的图象，如图 由图可知，性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； (3) 小问详解： 解：画出函数、的图象，如图 当点P在边上运动时， 解得 当点P在边上运动时， 解得 由图象可知时x的取值范围是或 6．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 【答案】（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨．     （2）；安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货      【分析】 本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；由解方程即可解答． (1) 小问详解： 解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨， 由表格可得： ， 解得 ． 答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． (2) 小问详解： 解：设甲种货车a辆，则乙种货车辆， 由题意可得：， 即货车所需总费用w与a之间的函数关系是； 当时，由得， ， 故当所需总费用为2350元，安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货． 7．（25-26学年八·重庆高新·期中）双十二即将来临，某商超计划引进“广式糕点”和“京式糕点”两种礼盒，若购进3盒“广式糕点”礼盒和4盒“京式糕点”礼盒共需1420元，购进4盒“广式糕点”礼盒和3盒“京式糕点”礼盒共需1520元． （1）求每盒“广式糕点”礼盒和“京式糕点”礼盒的进价各是多少元？ （2）该商超计划用不超过5000元的资金购进两种礼盒共25盒，同时根据市场调研，“京式糕点”礼盒的进货数量应不超过“广式糕点”礼盒进货数量的2倍，若每盒“广式糕点”礼盒售价340元，每盒“京式糕点”礼盒售价250元（进价保持（1）中所求不变），且所有礼盒均能全部售出，请设计利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1） “广式糕点”进价260元，“京式糕点”进价160元     （2） 进9盒“广式糕点”，16盒“京式糕点”，最大利润2160元      【分析】 本题考查二元一次方程组、一次函数的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设“广式糕点”礼盒进价为元，“京式糕点”礼盒进价为元，根据题意得到二元一次方程组并求解即可； （2）设购进“广式糕点”礼盒盒，则“京式糕点”礼盒购进盒，总利润为元，根据题意建立关于的一次函数关系式，根据的取值范围结合一次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设“广式糕点”礼盒进价为元，“京式糕点”礼盒进价为元， 根据题意，得方程组： 解得 ， 答：“广式糕点”进价260元，“京式糕点”进价160元。 (2) 小问详解： 解：设购进“广式糕点”礼盒盒，则“京式糕点”礼盒购进盒，总利润为元， 由题意得， ∵成本不超过5000元， ∴ 解得， ∵“京式糕点”数量不超过“广式糕点”数量的2倍， ∴， 解得，取， 又∵为整数，且， ∴的取值范围为， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当时，最大，（元），此时， 答：进9盒“广式糕点”，16盒“京式糕点”时利润最大，最大利润为2160元． 8．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内含10人不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． （1）分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； （2）某单位共38人去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】（1）；；     （2） 选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠．      【分析】 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． (1) 小问详解： 解：由题意，； ； ；； (2) 小问详解： 略 9．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）一天下午，妈妈骑着小电驴从家出发到距家2400米的超市买菜，同时欣欣也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间），分钟后小欣和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花5分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了小欣，妈妈到家3分钟后小欣才到家．如图是两人离家的距离（米）与出发时间（分）之间的函数图象． 根据图象信息解答下列问题： （1）______，______； （2）①求小欣离家的距离（米）与出发时间（分）之间的函数关系式； ②请直接写出妈妈离家的距离（米）与出发时间（分）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）请直接写出小欣与妈妈恰好相距500米时x的值． 【答案】（1）2400，11；     （2）①；；② ；     （3）小欣与妈妈恰好相距500米时x的值为3，5，．      【分析】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）由题意直接求出m；先求出妈妈的速度，再求出妈妈到超市的时间，再加上购物时间即可求出a； （2）① 用待定系数法求出小欣离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式； ② 分段求出妈妈离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式； （3）根据小欣与妈妈恰好相距500米分段列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，； 妈妈的速度为：米/分， 妈妈到超市所用时间为：分钟， 妈妈到达超市后花5分钟买完莱， ， 故答案为：2400，11； (2) 小问详解： 解：① 小欣到家所用时间（分）， 设小欣离家的距离y米与出发时间x分之间的函数关系式为， 把和代入解析式得： ， 解得 ， 小欣离家的距离y米与出发时间x分之间的函数关系式为； ② 当时，； 当时，； 当时，设y与x的解析式为， 把和代入解析式得： ， 解得 ， ， 综上所述：y与x的解析式为 ； (3) 小问详解： 解：妈妈在去往超市的过程中：， 解得或； 妈妈在回家过程中：， 解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，小欣与妈妈恰好相距500米时x的值为3，5，． 10．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在轴上．已知点，． （1）若点在轴负半轴上，求直线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标． 【答案】（1）     （2）存在，点的坐标为或     （3）点的坐标为或      【分析】 本题是一次函数的综合题，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键． （1）依题意可得，，由对称性可知，，由勾股定理得，在中，，可求得的长，用待定系数法即可求的解析式； （2）设，根据求出即可； （3）分两种情况：当点与点关于直线对称时，，求出直线的解析式，进而求解；当轴，轴时，，此时四边形是矩形，则． (1) 小问详解： 解：如图1， ，， ，． 由对称性可知，， 在中，， 在中，， 即，解得． ． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． (2) 小问详解： 存在． 设， 由（1）知，，，，则． ， ． ， ，解得或18． 点的坐标为或． (3) 小问详解： 情况1：如图2，当点与点关于直线对称时，． ∴点在直线上． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． ， ，，， ． ． ， ． 当时，，解得． ； 情况2：如图3，当轴，轴时，． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ． 综上，点的坐标为或． 11．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】（1）     （2）该户这一年的燃气费为1147元     （3）该户去年一年的用气量为      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． (1) 小问详解： 解： 由表格可知，当时，． (2) 小问详解： 解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． (3) 小问详解： 解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 12．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）某公司计划组织员工一日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人200元．且提供的服务完全相同．针对组团的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，其中20人按九折收费，超出部分每人按七折收费．假设组团参加一日游的人数为x人． （1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团一日游的总费用（元），（元），与x（人）之间的函数关系式； （2）若公司组团参加一日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助公司选择收取总费用较少的一家． 【答案】（1）甲旅行社：； 乙旅行社：当时，，当时，；     （2）选择甲旅行社．      【分析】 本题考查了一次函数的应用． （1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出总费用与人数的函数关系式，对于乙旅行社，需分人数不超过20人和超过20人两种情况讨论； （2）当人数为32时，计算两家旅行社的总费用并比较即可． (1) 小问详解： 解：甲旅行社：每人八折收费，报价200元，折扣后为  元/人，故 ； 乙旅行社：若，每人九折收费， 元/人，故 ；若，前20人九折收费，费用为 元，超出部分七折收费， 元/人，故； (2) 小问详解： 解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴选择甲旅行社． 13．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，在中，，，，点P从点B出发沿的方向运动至点A处停止．设x表示点P运动的路程，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，若该函数图象与一次函数的图象有交点，则m的取值范围是_________． 【答案】（1）     （2） 如图所示： 函数的一条性质：函数的最大值是6（答案不唯一）；     （3）      【分析】 本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，勾股定理等，熟练掌握函数的基本性质，是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当点在上运动，当点在上运动时，由三角形的面积公式求解即可； （2）根据题意画出图象，再根据图象得出函数的性质即可； （3）根据函数图象求解即可． (1) 小问详解： 解：过点A作于点D，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 当点在上运动时，则： 的面积为； 当点在上运动时，则： 的面积为； 即 ； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：当一次函数的图象经过点时，， 解得：， 当一次函数的图象经过点时，， 解得：， ∴根据函数图象可得：当时，该函数图象与一次函数的图象有交点． 14．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）若正实数满足，我们称一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”．已知一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”，点在一次函数上，点在正比例函数上，则以为边长的三角形的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，勾股定理的逆定理，由定义得 ，由点坐标得 和 ，进而求得，利用完全平方公式求出 ，利用勾股定理的逆定义可知以 为边的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】 解：∵一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”， ∴ ∵点 在 上， ∴， ∵点 在 上， ∴, ∴, ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∵， ∴以为边长的三角形为直角三角形，且为斜边，和为直角边， ∴三角形的面积为， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知2台A型机器人和3台B型机器人每小时共清洁170平方米， 3台A型机器人和1台B型机器人每小时共清洁150平方米． （1）一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ （2）某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台， B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a． （3）在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1.2万元一台， B型机器人的售价为1万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；请说明理由 【答案】（1）A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米     （2）     （3）购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为14.8万元      【分析】 本题考查二元一次方程组的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据“2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米”列出方程组即可求出答案； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米列式解答即可； （3）求得总费用，求出ｂ的取值，结合一次函数的性质分析最值即可求解． (1) 小问详解： 解：设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据题意得， , 解得 ， ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米， 答：A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； (2) 小问详解： 解：根据题意，， 整理得， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得，总费用（万元）， 代入得， ∵， ∴W随b增大而增大， 又∵，且a为整数， ∴， 解得， ∴， 同时a为整数， ∴为整数，即b为4的倍数， ∴b可取4，8，12， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴W最小值为14.8万元，此时，， 答：购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14.8万元． 16．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】（1）     （2）①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元      【分析】 本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）① 将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ② 先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得： ， ； (2) 小问详解： 解：①当时，，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 17．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，直线的函数表达式为：与轴和轴分别交于A，B两点，与直线交于点，； （1）求直线的函数表达式； （2）若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； （3）若点M是轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标，选一个点写过程． 【答案】（1）     （2）或     （3）或或或      【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，等腰三角形的性质，直角坐标系下三角形面积的求解，勾股定理解三角形，解决本题的关键是分类讨论点P的位置与等腰三角形中腰长为哪两边． （1）可知点，由可得点，再使用待定系数法将点E与点C的坐标代入求解即可； （2）分类讨论点P位于上方和下方两种情况，结合三角形面积公式求解即可； （3）根据等腰三角形中，，三种情况求解点M的坐标即可． (1) 小问详解： 解：设直线的函数表达式为， ∵， ∴点， 又点， ∴将点E与点C的坐标代入， 可得 ，解得 ， ∴直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由直线可得点，点， 由直线可得点， ∴， 当点P位于上方，此时点P位于第二象限，如图， ∴， 即， 解得，即， ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 当点P位于下方，此时点P位于第四象限，如图， ∴， 即， 解得，即 ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：点M的坐标为或或． ∵点，点， ∴，即为等腰直角三角形， ∴当点M与点O重合时，即，为等腰三角形， 此时点； 当为等腰三角形时，，如图， 在中，， ∴， ∴此时点； 当为等腰三角形时，，如图， 在中，， ∴， ∴此时点； 当为等腰三角形时，，如图， ∴， 又∵， 在中，， ∴此时点． 综上所述，点M的坐标为或或或． 18．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线与y轴交于点C，两直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，连接，点P是直线上一点，若，求点P的坐标； （3）如图3，点M是x轴上的一动点，点N是直线上的一动点，是否存在以点B、M、N为顶点的三角形是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为     （2）或     （3）或或或      【分析】 本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算方法，等腰直角三角形的定义等知识，结合图形分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）把点坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数与几何图形面积的计算方法，数形结合，分类讨论即可求解； （3）根据等腰直角三角形的定义，数形结合，分类讨论即可求解． (1) 小问详解： 解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：直线分别与x轴、y轴交于A、B两点， ∴当时，，则， 当时，，则， 直线与y轴交于点C， ∴当时，，则， ∴， ∵， ∴， 如图所示，设直线与轴交于点，点，过点作轴于点， ∴， ∴， 在直线中，时，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，， ① 当时， ∴， 解得，， ∴， ∴； ② 当时，， ∴， 即， 解得，， ∴（不符合题意，舍去）； ③ 当时，， ∴， 即， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， ① 如图所示，，过点作轴于点，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴； ② 如图所示， 同理，， ∴，则， ∴； ③ 如图所示，，过点作轴于点，作轴于点，设， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； ④ 如图所示， 同理，，即， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或或或． 【点睛】 19．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D． （1）求直线解析式和点D坐标； （2）点P为射线上一动点，y轴上有一动点M，连接，当时，请求出点P的坐标和的最小值； （3）若点N是x轴上一动点，请直接写出使是等腰三角形的点N的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，     （2），     （3）或或或      【分析】 本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，勾股定理，求一次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再联立两直线解析式求出点D的坐标即可； （2）可证明，则点P一定在线段的延长线上，则可求出，据此可求出点P的坐标；作点D关于y轴的对称点E，连接，则，由轴对称的性质可得，则当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用勾股定理求解即可； （3）分当时， 当时，则点D在线段的垂直平分线上，当时，三种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点C在轴上点A的右边，， ∴， ∵直线与正比例函数的图象平行， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点P一定在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点E，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵， ∴的最小值为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 当时，则点N的横坐标为或， ∴点N的坐标为或； 当时，则点D在线段的垂直平分线上， ∴点是线段的中点， ∴点N的坐标为； 当时，设， ∵， ∴， 解得， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 20．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交轴，轴于点，，点为线段的中点，且点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，点为直线上一点且在点的上方，点，分别是轴与直线上的动点，当的面积为9时，求的最小值； （3）如图3，直线经过点且与轴所成的锐角为，点为直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）直线的表达式     （2）     （3）或或      【分析】 本题考查了一次函数与几何图形综合问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等； （1）分别求得的坐标，进而根据中点坐标公式求得的坐标，再根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，结合已知可得为的中点，进而根据轴对称的性质以及垂线段最短，根据等面积法，即可求解； （3）根据构造等腰直角三角形，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，待定系数法求得的解析式，联立的解析式，其他情形同理求得即可． (1) 小问详解： 解：∵直线：分别交轴，轴于点，， 当时，；当时， ∴， ∵点为线段的中点， ∴ 设直线的表达式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式 (2) 小问详解： ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴点在上，且为的中点， ∵，， ∴， 作关于轴的对称点，则，则 如图，连接，过点作交于点，则的最小值为 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； (3) 小问详解： 解：如图，过点作于点，过点作轴的平行线，过点分别作轴的平行线，交于点； ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∴即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴ ， 解得： ， ∴的解析式为， ∵直线经过点且与轴所成的锐角为， ∴直线的解析式为， 联立 ， 解得： ， ∴， 当在的下方时，如图，作等腰直角三角形， 同理可得， 直线的解析式为， 联立 ， 解得： ， ∴， 当直线与轴正半轴的夹角为时，此时的解析式为 联立 ， 解得： ， ∴， 综上所述，或或． 21．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线和直线的图象交于轴上的点，且分别交轴于点和，已知．    （1）求，的值； （2）如图2，点为直线上一点，已知点的横坐标为，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接、、．求周长的最小值和此时点的坐标； （3）如图3，在（2）中的周长取得最小值的条件下，连接，点为平面内任意一点，当是以为边，向右侧作的等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1），     （2）周长的最小值为，此时点的坐标     （3）符合条件的点的坐标为或或．      【分析】 （1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）可得入直线，直线，则，由勾股定理逆定理可得，作点关于直线的对称点，则在直线上，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，那么，当点在上时，周长取得最小值即为，此时点与点重合，此时，然后求出直线，则； （3）当时，过点作轴的垂线，再分别过点作垂线的垂线，垂足为点，则，证明，则，，即可求解；当时，构造同样辅助线， 同理可求；当时，构造同样辅助线， 同理可求． (1) 小问详解： 解：对于直线， 当， ∴， ∵， ∴， 即， 将代入直线，则， ∴直线， 当时，则， 解得， ∴， 将代入直线，则， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）可得入直线，直线 将代入直线，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，则在直线上， ∵， ∴ 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，    ∴， ∴， 当点在上时，周长取得最小值即为，此时点与点重合，如图：    ∴ 设直线， 则 ， 解得 ， ∴直线， 当， ∴， ∴周长的最小值为，此时点的坐标； (3) 小问详解： 解：当时， 过点作轴的垂线，再分别过点作垂线的垂线，垂足为点，则，    ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图：    同理可证明：， ∴， ∴ 当时，构造同样辅助线，如图：    ∴， 设， 则， 解得， ∴， 综上：符合条件的点的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，二次根式的化简等知识点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 一次函数 考点01 函数的概念 考点02 函数的表示 考点03 一次函数的概念 考点04 一次函数的图象和性质 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 考点06 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念 1．【答案】x≤3 【详解】 由题意可得，3-x≥0， 解得x≤3． 故答案为：x≤3． 考点02 函数的表示 1．C 考点03 一次函数的概念 1．C 2．【答案】7 【分析】 根据一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标满足函数解析式，代入横坐标即可求出纵坐标． 【详解】 解：将点A的横坐标代入函数解析式，得： ， 故答案为：． 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义， 一般地，形如（k是常数，且）的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】 解：∵是关于x的正比例函数， ∴ ， ∴， 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的定义，根据平方根的定义解方程．根据一次函数的定义，函数表达式中的自变量指数必须为1，且系数不为零． 【详解】 由一次函数的定义，需满足指数部分且系数部分． 解方程， 得， 即或． 当时，系数，不符合一次项系数不为零的要求； 当时，系数，符合要求． 故答案为：． 考点04 一次函数的图象和性质 1．A 2．D 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．C 9．AC 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性，是解题的关键．根据直线解析式中，得出随的增大而减小，比较点、、的横坐标大小，即可得出值的大小关系． 【详解】 解：∵直线中， ∴随的增大而减小， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， ∵， ∴， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的平移、一次函数与坐标轴的交点问题，先根据一次函数的平移法则得出平移后的解析式，再求出当时的的值，即可得解． 【详解】 解：直线沿y轴向上平移个单位，得到的解析式为， 当时，， ∴平移后直线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，， 即， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题重点考查一次函数与坐标轴的交点问题，直线，与轴的交点为，与轴的交点为，熟练掌握一次函数的解析式和交点坐标是本题求解的关键． 方程的解，表示直线与轴的交点横坐标为，得到的关系，然后利用与的关系求直线与轴的交点坐标，完成求解． 【详解】 解：∵方程的解是， ∴，即， ∴， 对于直线， 令，则，即， ∴， 代入， 得， ∴直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的解析式可求得函数的增减性，则可比较a、b的大小． 【详解】 解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在直线上，且， ∴, 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据一次函数中，可得函数值y随着x的增大而减小，再根据可得答案. 【详解】 解：∵一次函数中， ∴一次函数值y随着x的增大而减小，再 ∵中， ∴. 故答案为：. 16．【答案】（1）     （2） 图象如图所示，      （3）或      【分析】 本题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质； （1）根据三角形的面积以及点的位置，分类讨论，列出函数表达式即可求解； （2）根据列表、描点、连线的方法画出函数图象，结合函数图象写出一条性质，即可求解； （3）先求得当一次函数分别经过三个特殊点时的的值，结合函数图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：依题意，，， 当时， 当时，如图， ，， ∴ ∴ (2) 小问详解： 解：列表 描点连线略 性质，当时，取得最大值；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3) 小问详解： 当过点时， 解得：； 当过点时， 解得：； 当过点时， 解得： 结合函数图象可得，当与函数的图象有且仅有1个交点时，或． 17．【答案】（1）     （2）、      【分析】 本题主要考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点的坐标的特点，求出函数解析式是解本题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别令x、y等于0，求出y与x的值，即可得到图象与y轴和x轴的交点． (1) 小问详解： 解：设一次函数解析式为， 把点，分别代入解析式得， ， 解得 ， ∴一次函数解析式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 当时，， 解得：， ∴与坐标轴的交点为、． 18．【答案】（1）     （2） 描点可得图象为： 性质：该函数在时取得最大值为12（答案不唯一）     （3）或      【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，一次函数的解析式的求解，一次函数的图象与性质，解决本题的关键是分类讨论点P的位置得到表达式． （1）作辅助线构造矩形，并证明为等腰直角三角形，由此可得的长度，分类讨论点P在上与点P在上两种情况，当点P在上时，根据求解即可；当点P在上时，根据三角形面积公式求解即可； （2）先列表，再描点，从而在给定的平面直角坐标系中画出函数图象即可，再根据一次函数的图象得到性质即可； （2）根据函数图象即可求解． (1) 小问详解： 解：过点C作的延长线于点D，如图， ∵，， ∴，即四边形是梯形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，即， ∴， 又， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， 当点P在上时，， ∵点P运动的路程为x，即，则， ∴， ， ， ∴； 当点P在上时，，如图， ∴，则， ∴； ∴ ； (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， 列表可得： 性质：该函数在时取得最大值为12； x 0 2 4 6 9 y 4 8 12 8 2 (3) 小问详解： 解：由图象可知，当时，或． 19．【答案】（1）如图，即为所求； ，，      （2）     （3）如图，点即为所求． ，      【分析】 本题主要考查了轴对称变换，平面直角坐标系中的点，两点间距离公式. （1）作出点A、B、C三个顶点的对称点、、，然后顺次连接，最后根据平面直角坐标系写出坐标即可； （2）根据平面直角坐标系写出点关于轴的对称点的坐标即可； （3）连接，先求出的解析式，从而求出点，可知当A、P、在同一直线上时，最小，此时最小，根据勾股定理计算即可． (1) 小问详解： 解：作出点A、B、C三个顶点的对称点、、，顺次连接，则即为所求； 可知，，； (2) 小问详解： 解：点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：连接交y轴于点P，则点即为所求． ∵点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小， 设直线为：，把，代入得 解得 ∴直线为：， 当得， ∴； ∵点C关于y轴的对称点， ∴， ∴， ∴当A、P、在同一直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小，则周长的最小值为： ． 故答案为：． 20．【答案】（1）4，是； （2） 描点、连线，则所画函数图象如图所示： 函数的性质：① 该函数图象关于直线对称；② 当时，函数有最小值0；③ 当时，y随x的增大而增大；④ 当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分） （3）；或 【分析】 本题主要考查函数的图象和性质，数轴上两点间距离，二元一次方程组，涉及一次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数； （2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可； （3），关于直线对称，据此求解；作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线重合及平行时的k值，即可得出答案． 【详解】 解：（1）点B表示的数是5，的距离为， 给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数， 故答案为：4，是； （2）依题意得： （3）由（2）中函数图象可得：，关于直线对称， ， ， 翻折后新函数图象如下图所示： 则，，， 对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3， 因此一次函数图象过定点， 设直线的解析式为， 则 ，解得 ， ∴直线的解析式为； 同理，直线的解析式为，则点在直线上， 由图知，若一次函数图象与直线平行，则，此时一次函数与该函数图象只有一个交点， 若一次函数图象与直线重合时，则，此时一次函数与该函数图象有无数个交点， 当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点， 故答案为： ；或． 21．【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）根据勾股定理和直角三角形的性质得出结果； （2）作于G，根据轴对称的性质得出，，，从而得出，根据勾股定理得出方程，从而得出，可求得，作于C，根据勾股定理得出的值，从而得出A点的坐标，根据面积法得出的值即可； （3）当时，取的中点M，连接，进而得出M点坐标；当时，设，当时，根据列出关于a的方程，求得a的值，进而得出结果． (1) 小问详解： 解：，，， ， 是的中点， ； (2) 小问详解： 解：如图1， 作于G， 沿翻折，点A恰好落在x轴上的点F处， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 作于C， 由得，， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：如图2， 取的中点M，连接， 设直线的关系式是：，则，解得：， 直线的关系式是：， 是的中点， ，， ， 此时， 如图3， 当时，设， 由得， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，一次函数等知识，解决问题的关键是分类讨论． 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 1．B 2．B 3．【答案】 【分析】 此题考查一次函数图象交点问题，利用函数图象得到方程的解，正确理解函数图象的交点与对应方程的解关系是解题的关键．结合图象即可解答． 【详解】 解：∵函数与的图象交点的横坐标为2， ∴方程的解为． 故答案为： 4．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系． 将点代入，求出点坐标，则点的横纵坐标即为方程组 的解． 【详解】 解：由题意得将代入，则， ∴， ∴关于，的方程组 的解为 ， 故答案为： ． 5．【答案】 【分析】 二元一次方程组的解对应两个一次函数图象交点的坐标，先整理方程组得到对应两个一次函数，再根据已知交点横坐标求纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】 解：整理方程组 ，可得 ， ∵直线与交点的横坐标为， 把代入，得， ∴两条直线的交点坐标为， ∴原二元一次方程组的解为 ． 6．【答案】（1）；     （2） ；     （3）．      【分析】 本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象、利用一次函数解二元一次方程组、坐标与图形性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 直接将点坐标代入即可得解； 依据题意画出函数图象，观察其交点坐标； 设与轴交于点，即可得解． (1) 小问详解： 解：将，代入得 ，解得 ， 直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：直线的图象如图所示： 由图象可知其交点坐标为， 方程组 的解为 ， 故答案为： ； (3) 小问详解： 解：设与轴交于点， 令， 解得， . 令， 解得， ， ， . 7．【答案】（1）直线的解析式为     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程组，求直线围成的三角形面积等知识． （1）先求出C、D两点的坐标，由，，得点B、A的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）先求出点E的坐标，再求得，由即可求解． (1) 小问详解： 解：∵直线分别与x轴、y轴交于C、D两点， ∴令，得；令，则， ∴、， ∵，， ∴，， ∴，， 将，代入得： ， 解得 ． ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：联立：， 解得， ∴． ∵，， ∴， ∵． ∴． 8．【答案】（1）直线的表达式为     （2）点P的坐标为或      【分析】 本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，结合三角形面积公式求解是关键． （1）设的表达式为，求出，，把坐标代入，求出的值即可； （2）联立 ，求出点，根据三角形面积公式求出，根据可得方程，求出的值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵，且A在轴负半轴上， ∴； ∵， ∴， ∵点B在x轴正半轴上， ∴， 设直线的表达式为, 把，代入解析式得， ， 解得 ， 所以直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：联立直线与直线的方程得 ， 解得 ， ∴， ∵, ∴， 设，则， ∵， ∴，即， 当时，，解得，此时，所以； 当时，，解得，此时，所以， 综上，点P的坐标为或． 考点06 实际问题与一次函数 1．D 2．D 3．D 4．【答案】（1），     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）将点代入可得，进而得点．将点、代入即可求得解析式； （2）设点，则，据此即可求解； (1) 小问详解： 解：将点代入得：， 解得：； ∴点． 将点、代入得： ， 解得： ， ∴一次函数的表达式为：； (2) 小问详解： 解：设点， 则， 解得：或， ∴点P的坐标为或 5．【答案】（1）     （2）性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大     （3）或      【分析】 本题为一次函数综合题目，考查了矩形的性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，动点问题，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． （1）分两种情况：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时，分别表示的面积即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）分别联立，和，，求出交点坐标，结合（2）的函数图象，即可写出满足的x的取值范围． (1) 小问详解： 解：在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发， (秒)，． 时，点B和点P重合，不能构成三角形． ∴当点P在边上运动时，． ，． ∴的面积为； 当点P在边上运动时， (秒)， 点为线段的中点， ． 由题意可知， ∴的面积为； 综上所述，y关于x的函数表达式为 (2) 小问详解： 解：画出函数的图象，如图 由图可知，性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； (3) 小问详解： 解：画出函数、的图象，如图 当点P在边上运动时， 解得 当点P在边上运动时， 解得 由图象可知时x的取值范围是或 6．【答案】（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨．     （2）；安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货      【分析】 本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；由解方程即可解答． (1) 小问详解： 解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨， 由表格可得： ， 解得 ． 答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． (2) 小问详解： 解：设甲种货车a辆，则乙种货车辆， 由题意可得：， 即货车所需总费用w与a之间的函数关系是； 当时，由得， ， 故当所需总费用为2350元，安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货． 7．【答案】（1） “广式糕点”进价260元，“京式糕点”进价160元     （2） 进9盒“广式糕点”，16盒“京式糕点”，最大利润2160元      【分析】 本题考查二元一次方程组、一次函数的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设“广式糕点”礼盒进价为元，“京式糕点”礼盒进价为元，根据题意得到二元一次方程组并求解即可； （2）设购进“广式糕点”礼盒盒，则“京式糕点”礼盒购进盒，总利润为元，根据题意建立关于的一次函数关系式，根据的取值范围结合一次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：设“广式糕点”礼盒进价为元，“京式糕点”礼盒进价为元， 根据题意，得方程组： 解得 ， 答：“广式糕点”进价260元，“京式糕点”进价160元。 (2) 小问详解： 解：设购进“广式糕点”礼盒盒，则“京式糕点”礼盒购进盒，总利润为元， 由题意得， ∵成本不超过5000元， ∴ 解得， ∵“京式糕点”数量不超过“广式糕点”数量的2倍， ∴， 解得，取， 又∵为整数，且， ∴的取值范围为， ∵， ， ∴随增大而减小， ∴当时，最大，（元），此时， 答：进9盒“广式糕点”，16盒“京式糕点”时利润最大，最大利润为2160元． 8．【答案】（1）；；     （2） 选方案二更优惠，理由如下： 当时，；； ， 选方案二更优惠．      【分析】 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式： （1）根据两种优惠方案，列出关系式即可； （2）求出时的值，比较大小即可． (1) 小问详解： 解：由题意，； ； ；； (2) 小问详解： 略 9．【答案】（1）2400，11；     （2）①；；② ；     （3）小欣与妈妈恰好相距500米时x的值为3，5，．      【分析】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）由题意直接求出m；先求出妈妈的速度，再求出妈妈到超市的时间，再加上购物时间即可求出a； （2）① 用待定系数法求出小欣离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式； ② 分段求出妈妈离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式； （3）根据小欣与妈妈恰好相距500米分段列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，； 妈妈的速度为：米/分， 妈妈到超市所用时间为：分钟， 妈妈到达超市后花5分钟买完莱， ， 故答案为：2400，11； (2) 小问详解： 解：① 小欣到家所用时间（分）， 设小欣离家的距离y米与出发时间x分之间的函数关系式为， 把和代入解析式得： ， 解得 ， 小欣离家的距离y米与出发时间x分之间的函数关系式为； ② 当时，； 当时，； 当时，设y与x的解析式为， 把和代入解析式得： ， 解得 ， ， 综上所述：y与x的解析式为 ； (3) 小问详解： 解：妈妈在去往超市的过程中：， 解得或； 妈妈在回家过程中：， 解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，小欣与妈妈恰好相距500米时x的值为3，5，． 10．【答案】（1）     （2）存在，点的坐标为或     （3）点的坐标为或      【分析】 本题是一次函数的综合题，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称的性质，数形结合解题是关键． （1）依题意可得，，由对称性可知，，由勾股定理得，在中，，可求得的长，用待定系数法即可求的解析式； （2）设，根据求出即可； （3）分两种情况：当点与点关于直线对称时，，求出直线的解析式，进而求解；当轴，轴时，，此时四边形是矩形，则． (1) 小问详解： 解：如图1， ，， ，． 由对称性可知，， 在中，， 在中，， 即，解得． ． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． (2) 小问详解： 存在． 设， 由（1）知，，，，则． ， ． ， ，解得或18． 点的坐标为或． (3) 小问详解： 情况1：如图2，当点与点关于直线对称时，． ∴点在直线上． 设直线的表达式为， 解得 直线的函数表达式为． ， ，，， ． ． ， ． 当时，，解得． ； 情况2：如图3，当轴，轴时，． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ． 综上，点的坐标为或． 11．【答案】（1）     （2）该户这一年的燃气费为1147元     （3）该户去年一年的用气量为      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． (1) 小问详解： 解： 由表格可知，当时，． (2) 小问详解： 解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． (3) 小问详解： 解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 12．【答案】（1）甲旅行社：； 乙旅行社：当时，，当时，；     （2）选择甲旅行社．      【分析】 本题考查了一次函数的应用． （1）根据甲、乙旅行社的优惠方案，分别列出总费用与人数的函数关系式，对于乙旅行社，需分人数不超过20人和超过20人两种情况讨论； （2）当人数为32时，计算两家旅行社的总费用并比较即可． (1) 小问详解： 解：甲旅行社：每人八折收费，报价200元，折扣后为  元/人，故 ； 乙旅行社：若，每人九折收费， 元/人，故 ；若，前20人九折收费，费用为 元，超出部分七折收费， 元/人，故； (2) 小问详解： 解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴选择甲旅行社． 13．【答案】（1）     （2） 如图所示： 函数的一条性质：函数的最大值是6（答案不唯一）；     （3）      【分析】 本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，勾股定理等，熟练掌握函数的基本性质，是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当点在上运动，当点在上运动时，由三角形的面积公式求解即可； （2）根据题意画出图象，再根据图象得出函数的性质即可； （3）根据函数图象求解即可． (1) 小问详解： 解：过点A作于点D，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 当点在上运动时，则： 的面积为； 当点在上运动时，则： 的面积为； 即 ； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：当一次函数的图象经过点时，， 解得：， 当一次函数的图象经过点时，， 解得：， ∴根据函数图象可得：当时，该函数图象与一次函数的图象有交点． 14．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，勾股定理的逆定理，由定义得 ，由点坐标得 和 ，进而求得，利用完全平方公式求出 ，利用勾股定理的逆定义可知以 为边的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】 解：∵一次函数与正比例函数互为“勾股对称一次函数”， ∴ ∵点 在 上， ∴， ∵点 在 上， ∴, ∴, ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∵， ∴以为边长的三角形为直角三角形，且为斜边，和为直角边， ∴三角形的面积为， 故答案为：． 15．【答案】（1）A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米     （2）     （3）购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，为14.8万元      【分析】 本题考查二元一次方程组的应用、列代数式以及一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据“2台型机器人和3台型机器人每小时刚好可以清洁170平方米，3台型机器人和1台型机器人每小时刚好可以清洁150平方米”列出方程组即可求出答案； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米列式解答即可； （3）求得总费用，求出ｂ的取值，结合一次函数的性质分析最值即可求解． (1) 小问详解： 解：设A型机器人每小时清洁x平方米，B型机器人每小时清洁y平方米，根据题意得， , 解得 ， ∴A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米， 答：A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； (2) 小问详解： 解：根据题意，， 整理得， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得，总费用（万元）， 代入得， ∵， ∴W随b增大而增大， 又∵，且a为整数， ∴， 解得， ∴， 同时a为整数， ∴为整数，即b为4的倍数， ∴b可取4，8，12， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴W最小值为14.8万元，此时，， 答：购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14.8万元． 16．【答案】（1）     （2）①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元      【分析】 本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）① 将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ② 先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得： ， ； (2) 小问详解： 解：①当时，，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 17．【答案】（1）     （2）或     （3）或或或      【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，等腰三角形的性质，直角坐标系下三角形面积的求解，勾股定理解三角形，解决本题的关键是分类讨论点P的位置与等腰三角形中腰长为哪两边． （1）可知点，由可得点，再使用待定系数法将点E与点C的坐标代入求解即可； （2）分类讨论点P位于上方和下方两种情况，结合三角形面积公式求解即可； （3）根据等腰三角形中，，三种情况求解点M的坐标即可． (1) 小问详解： 解：设直线的函数表达式为， ∵， ∴点， 又点， ∴将点E与点C的坐标代入， 可得 ，解得 ， ∴直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由直线可得点，点， 由直线可得点， ∴， 当点P位于上方，此时点P位于第二象限，如图， ∴， 即， 解得，即， ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 当点P位于下方，此时点P位于第四象限，如图， ∴， 即， 解得，即 ∵点P为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：点M的坐标为或或． ∵点，点， ∴，即为等腰直角三角形， ∴当点M与点O重合时，即，为等腰三角形， 此时点； 当为等腰三角形时，，如图， 在中，， ∴， ∴此时点； 当为等腰三角形时，，如图， 在中，， ∴， ∴此时点； 当为等腰三角形时，，如图， ∴， 又∵， 在中，， ∴此时点． 综上所述，点M的坐标为或或或． 18．【答案】（1）直线的解析式为     （2）或     （3）或或或      【分析】 本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算方法，等腰直角三角形的定义等知识，结合图形分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）把点坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数与几何图形面积的计算方法，数形结合，分类讨论即可求解； （3）根据等腰直角三角形的定义，数形结合，分类讨论即可求解． (1) 小问详解： 解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：直线分别与x轴、y轴交于A、B两点， ∴当时，，则， 当时，，则， 直线与y轴交于点C， ∴当时，，则， ∴， ∵， ∴， 如图所示，设直线与轴交于点，点，过点作轴于点， ∴， ∴， 在直线中，时，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，， ① 当时， ∴， 解得，， ∴， ∴； ② 当时，， ∴， 即， 解得，， ∴（不符合题意，舍去）； ③ 当时，， ∴， 即， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， ① 如图所示，，过点作轴于点，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴； ② 如图所示， 同理，， ∴，则， ∴； ③ 如图所示，，过点作轴于点，作轴于点，设， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴； ④ 如图所示， 同理，，即， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，或或或． 【点睛】 19．【答案】（1）直线的解析式为，     （2），     （3）或或或      【分析】 本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，勾股定理，求一次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再联立两直线解析式求出点D的坐标即可； （2）可证明，则点P一定在线段的延长线上，则可求出，据此可求出点P的坐标；作点D关于y轴的对称点E，连接，则，由轴对称的性质可得，则当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用勾股定理求解即可； （3）分当时， 当时，则点D在线段的垂直平分线上，当时，三种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点C在轴上点A的右边，， ∴， ∵直线与正比例函数的图象平行， ∴可设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立 ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点P一定在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点E，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当E、M、P三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵， ∴的最小值为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 当时，则点N的横坐标为或， ∴点N的坐标为或； 当时，则点D在线段的垂直平分线上， ∴点是线段的中点， ∴点N的坐标为； 当时，设， ∵， ∴， 解得， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 20．【答案】（1）直线的表达式     （2）     （3）或或      【分析】 本题考查了一次函数与几何图形综合问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式等； （1）分别求得的坐标，进而根据中点坐标公式求得的坐标，再根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，结合已知可得为的中点，进而根据轴对称的性质以及垂线段最短，根据等面积法，即可求解； （3）根据构造等腰直角三角形，进而根据全等三角形的性质求得点的坐标，待定系数法求得的解析式，联立的解析式，其他情形同理求得即可． (1) 小问详解： 解：∵直线：分别交轴，轴于点，， 当时，；当时， ∴， ∵点为线段的中点， ∴ 设直线的表达式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式 (2) 小问详解： ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴点在上，且为的中点， ∵，， ∴， 作关于轴的对称点，则，则 如图，连接，过点作交于点，则的最小值为 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； (3) 小问详解： 解：如图，过点作于点，过点作轴的平行线，过点分别作轴的平行线，交于点； ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∴即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴ ， 解得： ， ∴的解析式为， ∵直线经过点且与轴所成的锐角为， ∴直线的解析式为， 联立 ， 解得： ， ∴， 当在的下方时，如图，作等腰直角三角形， 同理可得， 直线的解析式为， 联立 ， 解得： ， ∴， 当直线与轴正半轴的夹角为时，此时的解析式为 联立 ， 解得： ， ∴， 综上所述，或或． 21．【答案】（1），     （2）周长的最小值为，此时点的坐标     （3）符合条件的点的坐标为或或．      【分析】 （1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）可得入直线，直线，则，由勾股定理逆定理可得，作点关于直线的对称点，则在直线上，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，那么，当点在上时，周长取得最小值即为，此时点与点重合，此时，然后求出直线，则； （3）当时，过点作轴的垂线，再分别过点作垂线的垂线，垂足为点，则，证明，则，，即可求解；当时，构造同样辅助线， 同理可求；当时，构造同样辅助线， 同理可求． (1) 小问详解： 解：对于直线， 当， ∴， ∵， ∴， 即， 将代入直线，则， ∴直线， 当时，则， 解得， ∴， 将代入直线，则， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）可得入直线，直线 将代入直线，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，则在直线上， ∵， ∴ 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，    ∴， ∴， 当点在上时，周长取得最小值即为，此时点与点重合，如图：    ∴ 设直线， 则 ， 解得 ， ∴直线， 当， ∴， ∴周长的最小值为，此时点的坐标； (3) 小问详解： 解：当时， 过点作轴的垂线，再分别过点作垂线的垂线，垂足为点，则，    ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图：    同理可证明：， ∴， ∴ 当时，构造同样辅助线，如图：    ∴， 设， 则， 解得， ∴， 综上：符合条件的点的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，二次根式的化简等知识点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $