专题10 分式（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题10 分式 5大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的加法与减法 考点04 整数指数幂 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）若是分式，则“”可以是（       ） A. 1 B.  C. 0.001 D. x 【答案】D 【分析】 本题考查分式的定义，根据分式的分母中含有字母，进行求解即可． 【详解】 解：若是分式，则“”中必须含有字母，故可以是； 故选D． 2．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）在，，，，中，分式的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】 解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母含字母和，是分式． ∴分式有个． 故选B． 3．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）对于给定的两个非零的实数a与x，把a的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；……例如，若，时，，，，……则下列三个命题中正确的命题个数为（     ） ①若，，则； ②在①的条件下，； ③当，时，若（，n为整数）为整数时，符合条件的所有整数n的和为536． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【分析】 本题考查了分式的运算和规律探究，先根据已知条件求出的表达式，再通过代入计算判断命题① 的正确性，然后利用裂项相消法计算命题② 中式子的值，最后根据分式的性质求出命题③ 中符合条件的n的值，进而判断命题③ 的正确性． 【详解】 解：命题① ：∵，， ∴，，，故命题① 正确； 命题② ：由， 得 ， ∴，故命题② 错误； 命题③ ：当，时，，则有， 则， 令，则， ∴表达式为， 要求为整数且， ∴且m是180的因数，且（即)， ∴，对应， ∴所有整数n之和为：，故命题③ 错误， 综上，正确命题个数为1个． 故选：B． 4．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）若分式的值为，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：分式的值为， ，且， ， 故答案为：． 5．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如果一个四位自然数M的千位数字a与个位数字d的和恰好是M的百位数字b与十位数字c的和的2倍，则称这个M为“好数”． （1）最小的“好数”M为　　　　　　　　； （2）若记，且能被6整除，则M的最大值为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意是解题的关键． （1）根据新定义依次确定出各个数位上的数字即可得答案； （2）根据新定义先确定出千位上的数字．再根据题意验证其他数位上的数字，可求得答案． 【详解】 解：（1）M为最小的“好数”， 千位数字a最小取1，百位b最小，取0． 设十位c最小也取0， 此时不符题意， 当时，． ， 最小的“好数”M为． （2）能被6整除， 是6的倍数． M的值为最大， 千位数字a最大取9． 依题意得， 的和为偶数，． 可能为9，7，5，3，1． 当个位d最大也取9， 则，不是6的倍数， 故d不是9； 当个位d取7时， ，是6的倍数， 故d可是7． 能被6整除，则为4的正约数，可取1, 2, 4，对应可取0, 1, 3. 为使最大，应取； ． 则M的最大值为． 故答案为∶ ，． 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（     ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的倍 C. 不变 D. 缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】 本题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将x和y同时扩大为原来的3倍后代入分式，化简后与原分式比较． 【详解】 解∶∵原分式为， 将x和y分别替换为和， ∴新分式为==， 而原分式为， ∴新分式是原分式的3倍， ∴分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 2．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值（     ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 扩大为原来的倍 【答案】A 【分析】 本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的计算原则是解题的关键． 将与都扩大为原来的3倍，代入代数式并化简，比较与原式的关系． 【详解】 解：与都扩大为原来的3倍， 得： ， ， ， ，即与原式相等， 代数式的值不变； 故选：A． 3．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（       ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【分析】 依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】 解：把分式中的、同时扩大为原来的2倍得：， ∵， ∴把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 4．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选项． 【详解】 解：选项A：，分子和分母同时加1，不符合分式基本性质，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，分子和分母同时乘以，但若，则右边分式无意义，而左边有意义（当），等式不成立，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，左边分母为，化简为，右边为，两者不相等，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，右边分子分母同时除以（），化简为，与左边相等，故本选项正确，符合题意； 故选：D 5．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若，则； ②，则需要满足的条件是； ③若为正整数，且为整数，则． 上面说法正确的有（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了多项式乘多项式，含绝对值一元一次方程，分式的化简相关知识点，能够正确解方程是本题的关键． ① 直接列方程求解即可；② 列绝对值方程即可直接求解；③ 列代数式，再化简，直接代数验证即可． 【详解】 解：① ∵， ∴， 解得：，故① 错误； ② ∵， ∴， 整理得：， 当时，，解得（不合题意，舍去）， 当时，恒成立， 当时，，解得（不合题意，舍去）， 故② 正确； ③ ∵ ， 又∵为整数，x为正整数， ∴，2，4，5， 故③ 正确． 综上所述，正确的有② ③ ，共2个． 故选：C． 6．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（     ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查分式中的规律探究，分式的求值，先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可，正确的找到规律，是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故① 错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③ 错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④ 正确， 故选：B． 考点03 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）已知关于，，的单项式，，，其中，，均不为0，，，均为正整数，规定，，下列说法，正确的个数为（       ） ①当时，代数式的值共有3种不同的结果； ②当多项式的次数为2时，满足条件的多项式一共有7个； ③当时，所有满足条件的的和恒为正数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题主要考查了单项式与多项式、分式的化简与求值、零指数幂、因式分解等知识．根据分式的化简，分别求得分子和分母的值，即可判断① ；找到多项式的次数为2的可能情况，即可判断② ；将原式利用完全平方公式分解为，据此即可判断③ ． 【详解】 解：① 当时，， ， 分子可能为，，，，分母为或， 分式化简后可能值为，，共3种不同结果，故① 正确； 多项式次数为2，即的最大值为2，且m，n，， 每个字母的指数可为1或2，且至少一个为2， 一共有种可能（排除全为1的情况），故② 正确； 当时，则， 因为， 所以满足条件的的次数为2，分别为、、、、、， 所有的和为， 表达式可变形为，恒为非负， 又由，，，则所有满足条件的的和恒为正数，故③ 正确； 综上，正确个数为3， 故选：D． 2．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）先化简，再求值：，其中的值从不等式的非负整数解中任选一个． 【答案】，当时，原式 【分析】 本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先算括号里的，然后利用完全平方公式，平方差公式化简，再算除法化简分式，最后将不等式的非负整数解代入求值即可． 【详解】 解：原式 ； 解不等式得：且是非负整数， 或或， 的值不能取，不能取， 的值只能取0， ． 3．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 【答案】；1 【分析】 本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可得到答案． 【详解】 解： ， ∵要满足分式有意义， ∴，， ∴，， ∴从中选择， 当时，原式． 4．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用分式的性质，分式的乘除法则计算即可； （2）运用分式的性质，分式混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 5．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记．若为整数，是4的倍数，则　　　　　　　　；所有满足条件的的最大值和最小值的差为　　　　　　　　． 【答案】① 5    ② 【分析】 根据定义得到，进一步得到；， ，则是4的倍数，9，进一步即可得到答案，此题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意，求出；是解题的关键． 【详解】 ， ， 为整数 ；， ， 是4的倍数， 或9 时，取到最小值， 或2， 的最小值为1239 时，取到最大值， ，或2， 的最大值为9321； 差为8082， 故答案为：5，8082 6．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分式的混合运算，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号内式子，再算括号外的除法，即可解答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）已知，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握分式的混合运算原则是解题的关键． 根据已知条件进行通分得到，等式两边同乘即可得到，再将所求表达式化简，最后代入求值即可． 【详解】 解：由可得：， 等式两边同乘， 得，即， 即： ， 故答案为：． 考点04 整数指数幂 1．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】 解：用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里， 故选：B． 2．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）下列四个数中，最小的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 科学记数法表示的数比较大小，先比较10的指数部分，指数越小数值越小；若指数相同，则比较系数部分，系数越小数值越小． 本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握比较的原则是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴ 选项C和D的数值均小于选项A和B； 又∵， ∴， 故最小的是C， 故选：C． 3．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）与相等的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了多重符号，负整数指数幂，零指数幂． 先分别计算多重符号，负整数指数幂，零指数幂，进而判断即可． 【详解】 解：A． ，与不相等，不符合题意； B． ，与不相等，不符合题意； C． ，与不相等，不符合题意； D． ，与相等，符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）某种流感病毒的直径大约为0.00000008米，用科学记数法表示为　　　　　　米． 【答案】 【分析】 确定所有零的个数n，省略所有的零，把小数点点在第一个非零数字的右边，得到a，把小数写成即可． 【详解】 ∵0.00000008=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了小于1的数的科学记数法，熟练掌握a，指数的确定方法是解题的关键． 5．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）计算：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算 和 ，再进行有理数加法运算． 本题主要考查零指数幂和负整数指数幂的计算，掌握其运算法则是关键． 【详解】 解： ， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）若（其中为正整数，且），则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握计算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂的意义，将转化为，再利用幂的乘方法则和已知条件 进行计算即可． 【详解】 解：由负整数指数幂的意义，得 ， 根据幂的乘方法则，， 代入已知条件，得， ； 故答案为：． 7．（25-26学年八·重庆高新·期中）我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将0.000000008用科学记数法表示为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 解：， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.00086平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为　　　　　　平方公里． 【答案】 【分析】 本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，需根据原数小数点移动的位数，由此求解即可． 【详解】 飞濑岛的面积约为0.00086平方公里，将小数点向右移动4位得到8.6， 因此，则用科学记数法表示为． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）计算： 【答案】3 【分析】 此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，然后计算加减． 【详解】 解： ． 10．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】 解：， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为.数字0.00092用科学记数法表示是　　　　　　　　　　． 【答案】9.2×10﹣4． 【分析】根据科学记数法的正确表示为,由题意可得0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣4. 【详解】根据科学记数法的正确表示形式可得: 0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣4. 故答案为: 9.2×10﹣4. 【点睛】本题主要考查科学记数法的正确表现形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的正确表现形式. 12．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】 先利用分式的乘除化简，后根据负整数指数幂，零指数幂运算法则确定字母的值，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】 解： ， 由， 得， 故原式． 考点05 分式方程 1．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键． 设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可． 【详解】 解：设规定时间为x天， ∵慢马所需时间为天， ∴慢马速度为； ∵快马所需时间为天， ∴快马速度为； ∵快马速度是慢马速度的倍， ∴， 故选A． 2．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 【答案】B 【分析】 此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 【详解】 解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 3．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】 解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 4．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）贵州黄果树瀑布景区为提升游客体验，决定对景区内的步行道进行改造，景区内需要改造的步行道共长，为了不影响游客在景区的体验，需要尽快完成步行道改造，景区实际每天多安排了5个工人进行工作，实际每天改造的步行道比原计划多，结果提前6天完成了景区的改造，设原计划每天改造，由题意列方程，正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，设原计划每天改造，由已知列出分式方程． 【详解】 解：设原计划每天改造， 根据题意可得， 故选：C． 5．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】 解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 6．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）解下列分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法、步骤和检验是解题关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． (1) 小问详解： 解： 解得， 检验：将代入原分母， ∴是原方程的解； (2) 小问详解： 解： 解得， 检验：将代入原分母， ∴是原方程的解． 7．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了解分式方程，求不等式的解集，理解分式方程的解为非负数，解分式方程的方法，求不等式的解集的方法是解题的关键． 先根据解分式方程的方法用含的式子表示出的值，再根据分式方程的解为非负数，分式方程有意义，求不等式的解集的计算方法即可求解． 【详解】 解： ∴， ∴关于的方程的解为， ∵解为非负数， ∴，即， 解得，， ∵分式方程有意义，即， ∴， 解得，， ∴则的取值范围是且， 故答案为：且 ． 8．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）解分式方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）原分式方程无解      【分析】 本题考查了解分式方程，包括去分母（方程两边同乘最简公分母）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后要检验所得的根是否为增根． （1）方程两边同乘得到，去括号得到，通过移项，合并同类项后得到，从而得到x的解，再将所得的x的解进行检验，经检验该x的解为原方程的解； （2）方程两边同乘得到，去括号得到，通过移项，合并同类项后得到，从而得到x的解，再将所得的x的解进行检验，经检验该x的解为原方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，所以该分式方程无解． (1) 小问详解： 解： ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 9．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． （1）甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ （2）超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 【答案】（1）乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元     （2）甲种月饼至少购进68盒      【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． （1）设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元，列分式方程求解后检验即可； （2）设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒，列一元一次不等式求出，根据为整数，求出m的最小值即可． (1) 小问详解： 解：设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元， 由题意得：， 解得：． 检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ． 答：乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元； (2) 小问详解： 解：设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒， 由题意可得： 解得： 为整数 答：甲种月饼至少购进68盒． 10．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）若关于x的一元一次不等式组 的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查解一元一次不等式组、解分式方程、分式方程的解，理解分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，正确求出a值是解答的关键，注意分式有意义的条件．先由不等式组的解集求得，再解分式方程得，然后根据分式方程的解为非负整数且得到a的值，进而可求解． 【详解】 解： ， 解① 得， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解方程， 去分母得：， 整理得： ∴， ∵分式方程的解为非负整数，且， ∴a的值为0，2，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：6． 11．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． （1）求甲、乙两种香椿每件的进价； （2）由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 【答案】（1）甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元     （2）最多可购买乙种香椿120件      【分析】 本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程，列不等式，是解本题的关键． （1）设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元，再利用花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等列方程，再解方程即可； （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件，利用总费用为4320元，列不等式，再解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元． 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元． (2) 小问详解： 设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件． 由题意得， 解得． ∵a为正整数， ∴a的最大值为120． 答：最多可购买乙种香椿120件． 12．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）是原方程的解     （2）原方程无解      【分析】 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． (1) 小问详解： 解：， 去分母得， 则， 解得：， 检验：当时，分母，原方程有意义， ； (2) 小问详解： 解：， 去分母得， 则， 则， 则， 解得：， 检验：当时，，原方程无意义， 是原方程的增根． 原方程无解． 13．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． （1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ （2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 【答案】（1）每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元     （2）A种商品至少购进10件      【分析】 本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题意找出数量关系列出方程或不等式是解答本题的关键． （1）设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x即可求出每件A种商品的进价和每件B种商品的进价． （2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，即可列出关于y的不等式，解出不等式即可求出至少需要购进A种商品的数量． (1) 小问详解： 解：设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元， 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元； (2) 小问详解： 解：设A种商品购进y件，则B种商品购进件， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：A种商品至少购进10件． 14．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． （1）求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ （2）已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】（1）A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米     （2）A施工队每天的费用是1200元      【分析】 （1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得 ，解答即可； （2）设施工队每天的费用为a元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． (1) 小问详解： 设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． (2) 小问详解： 解：设施工队每天的费用为a元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 经检验，是原分式方程的解， 答：A施工队每天的费用是1200元． 15．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）原方程无解      【分析】 本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键；解分式方程要将求得的解代入原分式方程的分母，如果使分母为零，则为原方程的增根，应舍去. （1）方程两边同乘以分母化为整式方程，求解后检验是否为原方程的增根； （2）方程两边同乘以分母的最简公分母化为整式方程，解得，这个解使原分式方程的分母为零，所以是原方程的增根，应舍去，故原方程无解。 (1) 小问详解： 解：                经检验是原方程的根， ∴原方程的解为； (2) 小问详解： 解：                                                             将代入原方程分母 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 16．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）若关于的不等式组 有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，解题的关键是分别求解不等式组和分式方程，再根据条件确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据整数解的个数确定的范围；再解分式方程，根据解为正数且分母不为零确定的另一范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】 解：解不等式组 解得：． 不等式组有且仅有3个整数解， 这3个整数解为、， ， 解得：， 解分式方程 解得：， 分式方程的解为正数，且． 由得，； 由得，即． 结合不等式组和分式方程的条件，的取值范围为且， 整数为， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）中秋佳节是中国的传统节日，吃月饼象征着团圆和幸福，寄托着人们对美好生活的祝愿．某公司为了迎接中秋节，特别推出了、两款月饼．已知生产5盒款月饼和生产6盒款月饼的成本相同，生产3盒款月饼的成本比生产2盒款月饼的成本多160元． （1）求每盒款和款月饼的成本； （2）该公司线上销售月饼，每盒款月饼的售价比每盒款月饼的售价少，中秋节当天两款月饼销售额都为54000元，款月饼比款月饼多售出100盒．求每盒款月饼的售价． 【答案】（1）每盒A款月饼的成本为120元，每盒B款月饼的成本为100元；     （2）每盒B款月饼的售价为135元．      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设每盒A款月饼的成本为x元，每盒B款月饼的成本为y元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设每盒B款月饼的售价为m元，则每盒A款月饼的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设每盒A款月饼的成本为x元，每盒B款月饼的成本为y元， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：每盒A款月饼的成本为120元，每盒B款月饼的成本为100元； (2) 小问详解： 解：设每盒B款月饼的售价为m元，则每盒A款月饼的售价为：元， 根据题意，得：， 解得： 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每盒B款月饼的售价为135元． 18．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）分式方程无解．      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； (2) 小问详解： 解： ， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 19．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）若不等式组 的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解及正整数解的应用．首先解不等式组，根据解集确定a的取值范围为，然后解分式方程，得到，要求y为正整数且，结合a的取值范围，得到满足条件的整数a为3 和5，求和即可． 【详解】 解：解不等式组 ， 由得， ① 当时，第二不等式解为，解集为，需，解得，故， ② 当时，第二不等式为，恒成立，解集为， ③ 当时，解集不能为， 因此a的取值范围为， 解分式方程，化简得，解得， 要求y为正整数，故且为整数，即，结合，需为正整数且， 代入a值验证： ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，为增根， ∴满足条件的整数a为3和5，和为8． 故答案为：8． 20．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若关于的不等式组 有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及分式方程的解，熟知解一元一次不等式组及解分式方程的步骤是解题的关键．先根据所给方程的解为非负数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】 解：由方程得，， ∵此分式方程的解为非负数， ∴， 解得， 解不等式组 得，， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ∵当时，， 此时分式方程无解，故舍去， ∴且， 则符合条件的所有整数的和是：． 故答案为：7． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 分式 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的加法与减法 考点04 整数指数幂 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．D 2．B 3．B 4．【答案】 【详解】 解：分式的值为， ，且， ， 故答案为：． 5．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意是解题的关键． （1）根据新定义依次确定出各个数位上的数字即可得答案； （2）根据新定义先确定出千位上的数字．再根据题意验证其他数位上的数字，可求得答案． 【详解】 解：（1）M为最小的“好数”， 千位数字a最小取1，百位b最小，取0． 设十位c最小也取0， 此时不符题意， 当时，． ， 最小的“好数”M为． （2）能被6整除， 是6的倍数． M的值为最大， 千位数字a最大取9． 依题意得， 的和为偶数，． 可能为9，7，5，3，1． 当个位d最大也取9， 则，不是6的倍数， 故d不是9； 当个位d取7时， ，是6的倍数， 故d可是7． 能被6整除，则为4的正约数，可取1, 2, 4，对应可取0, 1, 3. 为使最大，应取； ． 则M的最大值为． 故答案为∶ ，． 考点02 分式的基本性质 1．A 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 考点03 分式的加法与减法 1．D 2．【答案】，当时，原式 【分析】 本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先算括号里的，然后利用完全平方公式，平方差公式化简，再算除法化简分式，最后将不等式的非负整数解代入求值即可． 【详解】 解：原式 ； 解不等式得：且是非负整数， 或或， 的值不能取，不能取， 的值只能取0， ． 3．【答案】；1 【分析】 本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可得到答案． 【详解】 解： ， ∵要满足分式有意义， ∴，， ∴，， ∴从中选择， 当时，原式． 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用分式的性质，分式的乘除法则计算即可； （2）运用分式的性质，分式混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 5．【答案】① 5    ② 【分析】 根据定义得到，进一步得到；， ，则是4的倍数，9，进一步即可得到答案，此题考查了数字类规律、分式的运算等知识，读懂题意，求出；是解题的关键． 【详解】 ， ， 为整数 ；， ， 是4的倍数， 或9 时，取到最小值， 或2， 的最小值为1239 时，取到最大值， ，或2， 的最大值为9321； 差为8082， 故答案为：5，8082 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分式的混合运算，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号内式子，再算括号外的除法，即可解答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．【答案】 【分析】 本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握分式的混合运算原则是解题的关键． 根据已知条件进行通分得到，等式两边同乘即可得到，再将所求表达式化简，最后代入求值即可． 【详解】 解：由可得：， 等式两边同乘， 得，即， 即： ， 故答案为：． 考点04 整数指数幂 1．B 2．C 3．D 4．【答案】 【分析】 确定所有零的个数n，省略所有的零，把小数点点在第一个非零数字的右边，得到a，把小数写成即可． 【详解】 ∵0.00000008=， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了小于1的数的科学记数法，熟练掌握a，指数的确定方法是解题的关键． 5．【答案】 【分析】 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算 和 ，再进行有理数加法运算． 本题主要考查零指数幂和负整数指数幂的计算，掌握其运算法则是关键． 【详解】 解： ， 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握计算法则是解题的关键． 根据负整数指数幂的意义，将转化为，再利用幂的乘方法则和已知条件 进行计算即可． 【详解】 解：由负整数指数幂的意义，得 ， 根据幂的乘方法则，， 代入已知条件，得， ； 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 解：， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，需根据原数小数点移动的位数，由此求解即可． 【详解】 飞濑岛的面积约为0.00086平方公里，将小数点向右移动4位得到8.6， 因此，则用科学记数法表示为． 故答案为：． 9．【答案】3 【分析】 此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂和绝对值，然后计算加减． 【详解】 解： ． 10．【答案】 【分析】 本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；据此即可求解． 【详解】 解：， 故答案为：． 11．【答案】9.2×10﹣4． 【分析】根据科学记数法的正确表示为,由题意可得0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣4. 【详解】根据科学记数法的正确表示形式可得: 0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣4. 故答案为: 9.2×10﹣4. 【点睛】本题主要考查科学记数法的正确表现形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的正确表现形式. 12．【答案】， 【分析】 先利用分式的乘除化简，后根据负整数指数幂，零指数幂运算法则确定字母的值，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握化简是解题的关键． 【详解】 解： ， 由， 得， 故原式． 考点05 分式方程 1．A 2．B 3．B 4．C 5．A 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法、步骤和检验是解题关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． (1) 小问详解： 解： 解得， 检验：将代入原分母， ∴是原方程的解； (2) 小问详解： 解： 解得， 检验：将代入原分母， ∴是原方程的解． 7．【答案】且 【分析】 本题考查了解分式方程，求不等式的解集，理解分式方程的解为非负数，解分式方程的方法，求不等式的解集的方法是解题的关键． 先根据解分式方程的方法用含的式子表示出的值，再根据分式方程的解为非负数，分式方程有意义，求不等式的解集的计算方法即可求解． 【详解】 解： ∴， ∴关于的方程的解为， ∵解为非负数， ∴，即， 解得，， ∵分式方程有意义，即， ∴， 解得，， ∴则的取值范围是且， 故答案为：且 ． 8．【答案】（1）     （2）原分式方程无解      【分析】 本题考查了解分式方程，包括去分母（方程两边同乘最简公分母）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后要检验所得的根是否为增根． （1）方程两边同乘得到，去括号得到，通过移项，合并同类项后得到，从而得到x的解，再将所得的x的解进行检验，经检验该x的解为原方程的解； （2）方程两边同乘得到，去括号得到，通过移项，合并同类项后得到，从而得到x的解，再将所得的x的解进行检验，经检验该x的解为原方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，所以该分式方程无解． (1) 小问详解： 解： ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 9．【答案】（1）乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元     （2）甲种月饼至少购进68盒      【分析】 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． （1）设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元，列分式方程求解后检验即可； （2）设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒，列一元一次不等式求出，根据为整数，求出m的最小值即可． (1) 小问详解： 解：设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元， 由题意得：， 解得：． 检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ． 答：乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元； (2) 小问详解： 解：设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒， 由题意可得： 解得： 为整数 答：甲种月饼至少购进68盒． 10．【答案】6 【分析】 本题考查解一元一次不等式组、解分式方程、分式方程的解，理解分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，正确求出a值是解答的关键，注意分式有意义的条件．先由不等式组的解集求得，再解分式方程得，然后根据分式方程的解为非负整数且得到a的值，进而可求解． 【详解】 解： ， 解① 得， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解方程， 去分母得：， 整理得： ∴， ∵分式方程的解为非负整数，且， ∴a的值为0，2，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：6． 11．【答案】（1）甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元     （2）最多可购买乙种香椿120件      【分析】 本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列方程，列不等式，是解本题的关键． （1）设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元，再利用花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等列方程，再解方程即可； （2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件，利用总费用为4320元，列不等式，再解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为元． 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元． (2) 小问详解： 设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿件． 由题意得， 解得． ∵a为正整数， ∴a的最大值为120． 答：最多可购买乙种香椿120件． 12．【答案】（1）是原方程的解     （2）原方程无解      【分析】 本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． (1) 小问详解： 解：， 去分母得， 则， 解得：， 检验：当时，分母，原方程有意义， ； (2) 小问详解： 解：， 去分母得， 则， 则， 则， 解得：， 检验：当时，，原方程无意义， 是原方程的增根． 原方程无解． 13．【答案】（1）每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元     （2）A种商品至少购进10件      【分析】 本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据题意找出数量关系列出方程或不等式是解答本题的关键． （1）设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x即可求出每件A种商品的进价和每件B种商品的进价． （2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，即可列出关于y的不等式，解出不等式即可求出至少需要购进A种商品的数量． (1) 小问详解： 解：设每件A种商品的进价是x元，则每件B种商品的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元， 答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元； (2) 小问详解： 解：设A种商品购进y件，则B种商品购进件， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：A种商品至少购进10件． 14．【答案】（1）A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米     （2）A施工队每天的费用是1200元      【分析】 （1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得 ，解答即可； （2）设施工队每天的费用为a元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． (1) 小问详解： 设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． (2) 小问详解： 解：设施工队每天的费用为a元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 经检验，是原分式方程的解， 答：A施工队每天的费用是1200元． 15．【答案】（1）     （2）原方程无解      【分析】 本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键；解分式方程要将求得的解代入原分式方程的分母，如果使分母为零，则为原方程的增根，应舍去. （1）方程两边同乘以分母化为整式方程，求解后检验是否为原方程的增根； （2）方程两边同乘以分母的最简公分母化为整式方程，解得，这个解使原分式方程的分母为零，所以是原方程的增根，应舍去，故原方程无解。 (1) 小问详解： 解：                经检验是原方程的根， ∴原方程的解为； (2) 小问详解： 解：                                                             将代入原方程分母 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 16．【答案】 【分析】 本题考查一元一次不等式组的整数解和分式方程的解，解题的关键是分别求解不等式组和分式方程，再根据条件确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据整数解的个数确定的范围；再解分式方程，根据解为正数且分母不为零确定的另一范围，最后找出符合条件的整数并求和． 【详解】 解：解不等式组 解得：． 不等式组有且仅有3个整数解， 这3个整数解为、， ， 解得：， 解分式方程 解得：， 分式方程的解为正数，且． 由得，； 由得，即． 结合不等式组和分式方程的条件，的取值范围为且， 整数为， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 17．【答案】（1）每盒A款月饼的成本为120元，每盒B款月饼的成本为100元；     （2）每盒B款月饼的售价为135元．      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设每盒A款月饼的成本为x元，每盒B款月饼的成本为y元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设每盒B款月饼的售价为m元，则每盒A款月饼的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设每盒A款月饼的成本为x元，每盒B款月饼的成本为y元， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：每盒A款月饼的成本为120元，每盒B款月饼的成本为100元； (2) 小问详解： 解：设每盒B款月饼的售价为m元，则每盒A款月饼的售价为：元， 根据题意，得：， 解得： 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每盒B款月饼的售价为135元． 18．【答案】（1）；     （2）分式方程无解．      【分析】 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； (2) 小问详解： 解： ， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 19．【答案】8 【分析】 本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解及正整数解的应用．首先解不等式组，根据解集确定a的取值范围为，然后解分式方程，得到，要求y为正整数且，结合a的取值范围，得到满足条件的整数a为3 和5，求和即可． 【详解】 解：解不等式组 ， 由得， ① 当时，第二不等式解为，解集为，需，解得，故， ② 当时，第二不等式为，恒成立，解集为， ③ 当时，解集不能为， 因此a的取值范围为， 解分式方程，化简得，解得， 要求y为正整数，故且为整数，即，结合，需为正整数且， 代入a值验证： ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，为增根， ∴满足条件的整数a为3和5，和为8． 故答案为：8． 20．【答案】7 【分析】 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及分式方程的解，熟知解一元一次不等式组及解分式方程的步骤是解题的关键．先根据所给方程的解为非负数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】 解：由方程得，， ∵此分式方程的解为非负数， ∴， 解得， 解不等式组 得，， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得， ∵当时，， 此时分式方程无解，故舍去， ∴且， 则符合条件的所有整数的和是：． 故答案为：7． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 分式 5大高频考点概览 考点01 从分数到分式 考点02 分式的基本性质 考点03 分式的加法与减法 考点04 整数指数幂 考点05 分式方程 考点01 从分数到分式 1．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）若是分式，则“”可以是（       ） A. 1 B.  C. 0.001 D. x 2．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）在，，，，中，分式的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）对于给定的两个非零的实数a与x，把a的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；的倒数与x的和的倒数记为，则；……例如，若，时，，，，……则下列三个命题中正确的命题个数为（     ） ①若，，则； ②在①的条件下，； ③当，时，若（，n为整数）为整数时，符合条件的所有整数n的和为536． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）若分式的值为，则　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如果一个四位自然数M的千位数字a与个位数字d的和恰好是M的百位数字b与十位数字c的和的2倍，则称这个M为“好数”． （1）最小的“好数”M为　　　　　　　　； （2）若记，且能被6整除，则M的最大值为　　　　　　　　． 考点02 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（     ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的倍 C. 不变 D. 缩小到原来的倍 2．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值（     ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 扩大为原来的倍 3．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（       ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 4．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若，则； ②，则需要满足的条件是； ③若为正整数，且为整数，则． 上面说法正确的有（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（     ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考点03 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）已知关于，，的单项式，，，其中，，均不为0，，，均为正整数，规定，，下列说法，正确的个数为（       ） ①当时，代数式的值共有3种不同的结果； ②当多项式的次数为2时，满足条件的多项式一共有7个； ③当时，所有满足条件的的和恒为正数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）先化简，再求值：，其中的值从不等式的非负整数解中任选一个． 3．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）先化简：，再从，，这几个整数中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 4．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）计算： （1）； （2）． 5．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）若一个四位自然数的千位数字与个位数字之和恰好是的百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数为“好数”．一个“好数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记．若为整数，是4的倍数，则　　　　　　　　；所有满足条件的的最大值和最小值的差为　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）计算： （1）； （2）． 7．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）已知，则　　　　　　　　． 考点04 整数指数幂 1．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（　　）平方公里． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）下列四个数中，最小的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）与相等的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）某种流感病毒的直径大约为0.00000008米，用科学记数法表示为　　　　　　米． 5．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）计算：　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）若（其中为正整数，且），则　　　　　　　　． 7．（25-26学年八·重庆高新·期中）我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将0.000000008用科学记数法表示为　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为0.00086平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为　　　　　　平方公里． 9．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）计算： 10．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，将用科学记数法表示为　　　　　　． 11．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为.数字0.00092用科学记数法表示是　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）化简求值：，其中． 考点05 分式方程 1．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（       ） A.  B. 且 C.  D. 且 3．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）贵州黄果树瀑布景区为提升游客体验，决定对景区内的步行道进行改造，景区内需要改造的步行道共长，为了不影响游客在景区的体验，需要尽快完成步行道改造，景区实际每天多安排了5个工人进行工作，实际每天改造的步行道比原计划多，结果提前6天完成了景区的改造，设原计划每天改造，由题意列方程，正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A. 或 B.  C.  D. 或 6．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）解下列分式方程： （1）； （2）． 7．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是　　　　　　． 8．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）解分式方程 （1） （2） 9．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． （1）甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ （2）超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 10．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）若关于x的一元一次不等式组 的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等． （1）求甲、乙两种香椿每件的进价； （2）由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价提高了，则最多可购买乙种香椿多少件？ 12．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）解分式方程： （1）； （2）． 13．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）2025年9月20日“世界的白鹤梁幸福的新涪陵”涪陵白鹤梁文化旅游节顺利拉开帷幕，推出了多款以白鹤梁为主题的文化产品，推动了涪陵本地文旅产品经济的发展．滨江路某文创店想购进A、B两种商品，已知每件B种商品的进价比每件A种商品的进价多5元，且用300元购进A种商品的数量是用100元购进B种商品数量的4倍． （1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？ （2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于210元，求A种商品至少购进多少件？ 14．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． （1）求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ （2）已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 15．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）解分式方程： （1）； （2）． 16．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）若关于的不等式组 有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为　　　　　． 17．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）中秋佳节是中国的传统节日，吃月饼象征着团圆和幸福，寄托着人们对美好生活的祝愿．某公司为了迎接中秋节，特别推出了、两款月饼．已知生产5盒款月饼和生产6盒款月饼的成本相同，生产3盒款月饼的成本比生产2盒款月饼的成本多160元． （1）求每盒款和款月饼的成本； （2）该公司线上销售月饼，每盒款月饼的售价比每盒款月饼的售价少，中秋节当天两款月饼销售额都为54000元，款月饼比款月饼多售出100盒．求每盒款月饼的售价． 18．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）解分式方程： （1）； （2）． 19．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）若不等式组 的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若关于的不等式组 有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和是　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $