专题12 勾股定理（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题12 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 根据勾股数的定义逐项分析即可． 【详解】 A、，故，，不是勾股数； B、，故，，是勾股数； C、，故，，是勾股数； D、，故，，是勾股数． 故选：A． 2．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（        ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】 解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴点表示的数． 故选：． 3．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先算出、、的长，然后根据三角形的面积求出边上的高即可． 【详解】 解：， ， ∵根据网格特点可知，为直角三角形， ∴边上的高为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，三角形面积的有关计算，根据网格特点得出为直角三角形，是解题的关键． 4．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】 解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 5．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在矩形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点F，则为（       ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了图形翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是由图形翻折得到边和角度不变． 设，则，由矩形的性质可得，再根据图形翻折可得，则可得为等腰三角形，再由勾股定理即可求解． 【详解】 解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， 则， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 在中，， 即，即， 解得， 则为． 故选：C ． 6．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 米 【答案】C 【分析】 此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．昆虫有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的路径． 【详解】 解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴5为最短路径． 故选：C． 7．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，则的长是（     ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理的证明，正方形面积的计算，整式的运算等，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】 解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：C． 8．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，和都是等腰直角三角形，的延长线交于点，且恰为的中点，若，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D. 9 【答案】A 【分析】 如图，延长至，使，连接，证明，可得，再证明，可得，，再进一步求解即可． 【详解】 解：如图，延长至，使，连接， ∵恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 9．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，在中，，根据作图的痕迹可知，点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查实数与数轴，勾股定理等知识，利用基本作图得到，，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后利用数轴表示数的方法得到点C表示的实数． 【详解】 解：由作图的痕迹得，， ∵， ∴， ∴C点表示的数为． 故选：B． 10．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，根据四边形是矩形得到，结合得到，根据折叠得到，即可得到答案； 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点， ∴， ∴， 故选：A． 11．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）如图，，过点P作且，得，再过点作且，得的长；又过点作且，得的长……依此法继续作下去，得（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查图形变化的规律，分别求出、、、，根据所发现的规律即可解决问题． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 12．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据折叠的性质以及勾股定理求得，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，进而在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】 解：依题意，，， ∴ ∵将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上， ∴，，， ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴， 如图，过点作于点， ∵，即 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：，即，则， ∴， ∴， 故选：A． 13．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】 解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：D． 14．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图，在中，，，，，若点M、N分别在边，上，当四边形的周长最小时，则这个最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作点P关于的对称点，点Q关于的对称点，连接交于M，交于N，此时四边形的周长最小，过点P作于H，由勾股定理求出，推出，得出，再求出，过点作于K，在中，求出可得结论． 【详解】 解：如图，作点P关于的对称点，点Q关于的对称点，连接交于M，交于N，此时四边形的周长最小，过点P作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作于K， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的周长的最小值为． 故选：A． 【点睛】 本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含角的直角三角形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角形解决问题． 15．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． （1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ （2）当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】（1）不会     （2）两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； (2) 小问详解： 解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 16．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平面展开—最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 把底面和隔板的两面展开，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：如图， 则小蚂蚁所走的最短路径长， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，以为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点表示的数是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】 解：由题意可得：， 由作图得：， 故弧与数轴的交点B表示的数为：． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点与原点重合，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴这个点表示的实数是． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键． 将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ∴， 故答案为：． 20．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）如图，在中，，，在数轴上，点与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数在数轴上的表示，根据勾股定理求出，根据题意即可求解，熟练掌握知识点得应用是解题的关键． 【详解】 在中，，， 由勾股定理得：， 则这个点表示的实数是， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】 解：在 中，，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． （1）求处离地面的垂直高度； （2）在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 【答案】（1）米     （2） 如图，连接， 依题意，， 在中，． ∵，． ∴不能够到维修点正上方0.5米处的维修点．      【分析】 本题考查了勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理解，即可求解； （2）连接，勾股定理求得，而，比较大小，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， 依题意，，，， 在中，， ∴（米） (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，于E，于点，，已知为线段上一动点，为线段上一动点，在点、运动过程中，的最小值是　　　　　　　　　　　；此时，的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】① 9    ② 【分析】 本题主要考出了垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，设相交于O，根据等腰三角形的性质可证是线段的垂直平分线，即，则；当且仅当，A、M、N在一条直线上，且时，有最小值，此时点M和O重合，点N和点D重合，即；如图：连接，则，理由勾股定理列方程可求得，易得，最后代入即可解答． 【详解】 解：如图：连接，设相交于O， ∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当且仅当，A、M、N在一条直线上，且时，有最小值，此时点M和O重合，点N和点D重合，即， 如图：连接，则， 中，， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：9，． 24．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质等，在上取一点，使，连接，过点作于点，可得，即得，得到，即得到的最小值为，再利用勾股定理和直角三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：在上取一点，使，连接，过点作于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 25．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，且、满足，过点作垂直于轴，垂足为，在第二象限内找一点，使得且． （1）如图1．求点，的坐标和． （2）如图2，且的面积为，的长为7，连接，求的面积． 【答案】（1），；     （2）14      【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，偶次方及绝对值的非负性，勾股定理， （1）过点B作轴于点E，由偶次方及绝对值的非负性求出，证明，得到，由此得到，根据求出面积即可； （2）过点B作于F，过点A作于点H，由的面积为求出，证明，得到，勾股定理求出，利用三角形面积公式求出的面积． (1) 小问详解： 解：如图，过点B作轴于点E， ∵， ∴， 解得, ∴，， , ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 过点B作于F，过点A作于点H， ∵的面积为，的长为7， ∴， ∴， , ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如图，有一张长方形纸片ABCD，，．点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边恰好经过点D，则线段DE的长为　　　　　　　　cm． 【答案】5 【分析】 根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在Rt△中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在Rt△利用勾股定理进行计算即可求DE的长. 【详解】 解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD=BC=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°. 根据折叠的性质,得 =8-DE, ,∠=∠B=90°. 在Rt△中,由勾股定理，得==6. ∴=10-6=4. 在Rt△中,由勾股定理，得. ∴（8-DE）2+42=DE2. 解得DE=5. 故答案是：5. 【点睛】 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 27．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，，，为的中点，，将沿折叠，使点落在外部点处，连结，则线段的长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】7.2 【分析】 本题考查折叠的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等，掌握折叠的性质是解题的关键． 连接交于O．由折叠的性质得到，从而得到是线段的垂直平分线，即有，．由的面积，求出的长，得到的长．再由证明是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】 解：连接交于O． ∵，为的中点， ∴． ∵（折叠的性质）， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7.2． 28．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在x轴上存在一点C，使得的周长最小，则的周长的最小值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了两点之间的距离公式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求，求出的长，由此即可得． 【详解】 解：∵点，点， ∴， ∴的周长为， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，点即为所求，此时的值最小，最小值为， ∴的周长的最小值是， 故答案为：． 29．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题重点考查勾股定理与折叠问题，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解，熟练掌握折叠的原理和勾股定理是完成本题的关键． 第一步先利用折叠原理，得到为直角三角形，求得的值，并得到的值；第二步，求解，先设，得到，利用第一步的结论，通过勾股定理得到的值；第三步过作交于，利用直角三角形的性质和勾股定理计算得到的值，第四步用三角形的面积公式，利用前两步的结论计算完成求解． 【详解】 解：由已知条件和折叠可知，为直角三角形，，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 过作交于，如下图， 由翻转的性质知，为直角三角形， ∴，， 根据直角三角形的面积公式得， ∴， 故的高为的长，底边为， ∴， 故答案为：． 30．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）在数学综合实践《折叠矩形纸片》上，小林将矩形纸片进行如下操作：①把翻折，点落在边上的点处，折痕为，点在边上；②把翻折，点落在边上的点处，折痕为，点在边上，若，，则面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 利用翻折不变性可得，推出，，设，在中，，可得，由此即可解决问题． 【详解】 解：四边形是矩形， ，，， 由翻折不变性可知：，，，， ，， 在中，， ， 设，在中，， ， ， 面积为， 故答案为：． 31．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）无理数的大小比较可以采用平方法，还可以采用“数形结合”的方法：在正方形网格纸（每个小正方形的边长为1）中，通过构造图形比较无理数大小． （1）如图1，正方形方格纸中，线段的长为2，线段的长度为．请结合．图形，直接比较大小：_____； （2）在图2中，请尝试构造图形，并比较与的大小 （3）已知两正数，，满足，则是否有最小值？如果有，请尝试在图3中构造图形，直接写出这个最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）有， 构造图形如下：       【分析】 本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． （1）根据三角形的三边关系进行判断即可； （2）构建边长为，，的三角形即可判断； （3）将原式化简为，取线段，令，则，然后作图，根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， ∵在中，，线段的长为2，线段的长度为， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 根据题意，画图如下： ，，， ∵在中，， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴ ， 取线段，令，则， ∴， 当点E、G、F三点共线时，即点G在店处时， 取得最小值，即， ∴有最小值，最小值为． 32．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，是等腰三角形，，，是的中点，，，点，点分别为垂足． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ，是的中点， 是的角平分线， ，， ，， 四边形的内角和为， ， 是等边三角形；     （2）．      【分析】 （1）由三线合一定理可得是的角平分线，再由角平分线的性质可得，最后结合多边形内角和定理求出即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，，，再由含的直角三角形性质得，结合勾股定理可得，则，进而由勾股定理求得、，最后根据等边三角形的性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等腰三角形，，，是的中点，， ，，， ， 中，， 将代入可得，则， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得，即， ， 是等边三角形， ． 【点睛】 本题考查的知识点是三线合一定理、角平分线的性质、多边形内角和定理、等边三角形的性质与判定、含的直角三角形性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 33．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和各边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）判断方程是不是“勾系一元二次方程”，并说明理由． （2）当，且时，求“勾系一元二次方程”的根． 【答案】（1） 解：是，理由如下： 如图所示： ， ， 则， ， ， ∴方程是“勾系一元二次方程”；     （2）      【分析】 本题考查新定义“勾系一元二次方程”，理解新定义，掌握勾股定理及一元二次解法是解决问题的关键． （1）根据“勾系一元二次方程”定义，由方程得到，满足即可得到答案； （2）由，得到① ，② ，从而得到，求出，代入“勾系一元二次方程”求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由可得，① ， 由可得，，则② ， ①② 得， 即， ， 则，解得， ， ，则 代入“勾系一元二次方程”得， ， 即，解得． 34．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）党的十八大以来，复兴号实现对31个省区市全覆盖按照有关规定：距离铁轨道200米以内的区域噪音影响超过标准，不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．请阅读以下材料，完成问题： 材料1：在中的所对的直角边等于斜边的一半． 材料2：如图是一个小区平面示意图，矩形为一新建小区，直线为高铁轨道，、是直线上的两点，点、、在一直线上，且，． 小王看中了①号楼单元的一套住宅，与售楼人员的对话如图： （1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由； （2）若一列长度为228米的高铁以252千米/时的速度通过时，则单元用户受到影响时间有多长？（温馨提示：，，） 【答案】（1） 证明：作过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∵，米 ∴，则米， ∴米， 又∵， ∴单元用户会受到影响，则售楼人员的说法不可信．     （2）受影响的时间为秒      【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，含30°的直角三角形的性质．解决问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形． （1）作过点作，垂足为，根据含的直角三角形可求得的长，再与200米比较大小即可求解； （2）在上找到点、，使得米，根据勾股定理可求，即可，根据速度可得单元用户受到影响时间有多长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在上找到点、，使得米， ∴米， ∴米， 又∵速度252千米/时米/秒， ∴时间秒， 即受影响的时间为秒． 35．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形． （1）如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． （2）如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴；     （2）5     （3）      【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 36．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】 解：，且， . ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为 故答案为： 37．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，两个长方体重叠后靠墙角O放置（其中大长方体的三个面分别与墙面、地面贴合，小长方体的两个面与墙面贴合），已知，，．若一只蚂蚁从A点出发，沿几何体的表面爬行到点（蚂蚁无法在与地面接触的面和靠墙面上爬行），则这只蚂蚁爬行的最短路程是　　　　　． 【答案】 【分析】 题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，画出相应展开图求解即可，结合图形找出最短路程是解题关键． 【详解】 解：如图所示展开， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）在正中，，将绕点旋转得到线段，连接． （1）如图1，交于点，若，求的长； （2）如图2，若，在线段上取点、，使得，连接，过点作于点，求证：； （3）如图3，以线段为边作正，使得和在的同侧，为的中点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1）     （2） 证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B，F，H三点共线， ∵在等边中，，即， ∴．     （3）      【分析】 （1）由等边得到，从而有，根据含角的直角三角形的性质得到，从而根据勾股定理求出，再由线段的和差即可求解； （2）连接，由得到，由得到，从而有．再在中，求得，从而，得到点B，F，H三点共线，再根据“三线合一”即可证明； （3）将线段绕点B逆时针旋转，得到，连接，得到，，由等边得到，，从而证得，得到．连接，，由等边三角形的“三线合一”得到，，由勾股定理得到，进而得到，再由勾股定理求出，最后根据即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到线段， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：将线段绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． 连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵在等边中，，，点M是的中点， ∴，，， ∴， ， ∴在中，， ∵， ∴， 即的最小值为． 【点睛】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，掌握相关的知识，正确作出辅助线是解题的关键． 39．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，已知在中，，是边上的中线，点E为BD上一点，连接CE，交于点．若，则的度数为　　　　　　　　；若，，，则的面积是　　　　　　　　． 【答案】① ；    ② . 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理．根据等边对等角，可知，根据三角形内角和定理可知，根据等腰三角形的三线合一定理可得：；利用勾股定理求出，根据，可得：，根据三角形的面积公式即可求出的面积. 【详解】 解：在中，， ， 在中，， ， 是边上的中线， 平分， ； ，是边上的中线， ， ，， ， ， ， . 故答案为：，． 40．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． （1）如图1，若，，，，求． （2）如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，猜测：，，存在怎样的数量关系？并证明． 【答案】（1）     （2） 解：，证明如下： 证明：如图2中，过点作交的延长线于点． ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． （1）根据勾股定理求得，即可求得，再求面积即可； （2）如图2中，过点作交的延长线于点．证明，推出，再证明，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得结论． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， ， ， ， 过E作， ； (2) 小问详解： 略 41．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则的长为　　　　　　　　；点E的坐标为　　　　　　　　． 【答案】① 5    ② 【分析】 本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．设正方形的边长为，与轴相交于，则四边形 矩形，推出， ，．由折叠的性质，得，．根据点的坐标为 ，点的坐标为，得出， ，所以．在 中，，解得 ，则，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标． 【详解】 解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形， ， ，． 由折叠的性质，得，． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 在中，， ， 解得，即， ，． 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为 ． 故答案为：5，． 42．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，已知，点为平面内一点． （1）如图1，当点在线段上时，连接，将绕点顺时针旋转到，点正好在上，若，，求的度数； （2）如图2，当点在延长线上时，满足，点是延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，使点正好在上，连接交于点，点是上一点，且，连接，若，用等式表示线段与线段的数量关系并证明； （3）如图3，当，时，过点作，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，当最小时，连接，将沿翻折到所在平面得到，点，是直线上的点，且点在点上方，点在点下方，连接，，满足，且，若，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，根据三角形内角和定理以及等边对等角可得，根据，得出，进而根据三角形的外角的性质可得得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）连接，设，，根据旋转以及等边对等角、三角形的内角和与三角形的外角的性质分别表示出，结合题意得出，又，，即可得出，则可证明，进而证明，证明，得出，进而证明，结合线段的数量关系，即可得出结论； （3）先确定在与夹角为的直线上运动，当时，最小，求得当重合时即最小，如图作，过点作，设，，则，分别表示出，勾股定理建立方程，求得，进而根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵将绕点顺时针旋转到， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ (2) 小问详解： 如图，连接， ∵， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 如图所示，在上取一点，使得，以为边等边三角形， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴ ∵是等边三角形， ∵ ∴ ∴在上， ∴， ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴在与夹角为的直线上运动， 如图，以为边作等边三角形， 同理可得 ∴，则也在直线上， 当重合时，， 又∵ ∴， ∵在与夹角为的直线上运动， ∴当时，最小 此时， ∴当重合时即最小 如图作，过点作， ∴设， ∵，将沿翻折到所在平面得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，MD''^2=MQ^2+D''Q^2， ， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，翻折的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 43．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在中，，，点为内部一点，点为线段上一点，连接，，，，作于，若，，，则的周长为　　　　　． 【答案】 【分析】 分别以为边向下作等边三角形，连接， 根据勾股定理以及含度角的直角三角形的性质，求得，，进而证明，，进一步得出，再根据三角形内角和定理证明，得出在上，根据，即可求解． 【详解】 解：如图所示，分别以为边向下作等边三角形，连接， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 在中，， 在中，， ∴ ∴， ∴ ∴， 设 ∵是等边三角形， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴在上， ∴的周长为 故答案为：． 44．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在中，于点D． （1）如图1，若，，，求：的长； （2）如图2，点是线段上一点，于点，交于点，于点H，连接，若，试证明：； （3）如图3，若，，点是直线上一动点，交直线于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，当取最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2） 证明：过点作交延长线于， ∵于点F，即，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴     （3）      【分析】 （1）利用含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，求出和的长即可解题； （2）先根据已知证明，得，再根据旋转模型，过点作交延长线于，构造，可得，，即可得出， ，由此证明结论； （3）由旋转可知：是等边三角形，再取的中点，连接，构造等边三角形，得到手拉手模型，容易证明，从而可得点在过点平行于的直线上运动，当时，BG取最小值，此时四边形是矩形，由此求解. (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设， 如图3：取的中点，连接， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， 设，则，， 又∵，即， ∴， ∴， 由将绕点F顺时针旋转得到，可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴点在过点平行于的直线上运动， ∴当时，取最小值，此时四边形是矩形， 如备用图，过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴ ∴， 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形综合和勾股定理、等边三角形的判定和性质等，解题关键是利用旋转的性质作辅助线构造三角形全等转化线段和角的关系. 45．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）在中，，，点D是内一点，连接，，过点A作交的延长线于点E，且，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理． 利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴（负值已舍）， 由勾股定理得，， 即， 解得，（负值已舍）， 故答案为：． 46．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，． （1）若存在点，使与全等．请直接写出点的坐标为______． （2）若为第一象限内的点，且是等腰直角三角形．求点的坐标． （3）设点是轴上一个动点，若在轴上存在点，使，以为边在的上方作等边．请直接写出的最小值为______． 【答案】（1）或     （2）或或     （3）2      【分析】 （1）根据全等三角形的性质，得到，分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分，和三种情况，分别添加辅助线，构造全等三角形进行求解即可； （3）易得关于轴对称，得到，连接，以为边，在上方构造等边三角形，连接，证明，得到点的运动轨迹，求出点在轴上时，的长，推出点在轴上时，与点重合，进而得到三点公共线，作，则当点与点重合时，的长最小，等积法求出的长即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵为直角三角形，为斜边，且与全等， ∴，为对应边， ① 当时，如图，则，， ∴轴，轴， 故点； ② 当时，则：，如图，连接交于点，作轴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴，， ∴； 综上：或； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 当是等腰直角三角形时，分三种情况： ① 当时，则，作轴于点，则：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 当时，则，作轴于点， 同法可得：， ∴， ∴， ∴； ③ 当时，，作轴于点，轴于点，则：，， 同法可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． (3) 小问详解： ∵点在轴上，且，则关于轴对称， ∴， ∴， 连接，以为边，在上方构造等边三角形，连接，则：， ∵点在轴上， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当点恰好在轴上时，则， ∴， ∴， 当点恰好在轴上时， ∵， ∴两点重合， ∴点在直线上， 作，则当点与点重合时，的长最小， 当点在轴上时，，， ∴， ∵，即， ∴，即的最小值为2． 【点睛】 本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 47．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，点是上一点，点是上一点，连接、，且，点是上一点，且，连接． （1）如图1，若，，求的长度． （2）如图2，若．点为上一点，连接，且，求证：． （3）如图3，若，，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）4     （2） 证明：如图：延长到P，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．     （3）2      【分析】 （1）由三角形内角和定理易得，于是易证，得到，则，进而完成解答； （2）如图：延长到P，使得，连接，由三角形外角性质可得，于是，再证得到，进而可得，以此可证得到，由此即可得即可证明结论； （3）如图：延长至点M，使，连接，则，易证则，作，则，证明，得到，设，则，，勾股定理得到，进而得到当，即，点和点重合时，的值最小，此时，推出为等腰直角三角形，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图：延长至点M，使，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 作，则， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当，即，点和点重合时，的值最小，此时， ∵， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】 本题主要考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，是通过作辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 48．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）已知是等边三角形，点是边上一点，连接，点为上一点，连接． （1）如图，延长交于点，若，，求的度数； （2）如图，若，，延长至点，使得，连接交于，求证； （3）如图，点分别是边、上的中点，连接、，将线段沿射线方向平移到，连接、，若，当最小时，直接写出的长度． 【答案】（1）；     （2） 证明：如图， 延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）由是等边三角形，进而求得和的度数，利用三角形的外角与内角之间的关系求得结果； （）延长至，使，连接，可证得，从而，，进而证得，从而，，进而证得，从而得出； （）作直线交与，取的中点，作点关的对称点，交于，连接，交于点，作，交于，则当点在处，在点处时，最小，作于，依次求得和的值，进一步得出结果． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 作直线交于，取的中点， ∵是等边三角形，，是的中点， ∴，，，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵线段沿射线方向平移到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 作直线交于与，取的中点，作点关的对称点，交于，连接，交于点，作，交于，则当点在处，在点处时，最小，作于， ∵， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当最小时，． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，平移的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（     ） A. 0.6，0.8，1 B. 1，2， C. 4，5，9 D. 3，4，5 【答案】D 【分析】 本题考查勾股数的定义，解题的关键是明确勾股数需同时满足“三个正整数”和“两小边的平方和等于最大边的平方”这两个条件． 根据勾股数的定义，逐一验证每个选项是否同时满足“正整数”和“两小边的平方和等于最大边的平方”的条件． 【详解】 解：勾股数的定义：三个正整数，且满足“两小边的平方和等于最大边的平方”． A、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故A不符合； B、不是正整数，不满足勾股数的”正整数”要求，故B不符合； C、是正整数，但计算平方和：，而，不满足“两小边平方和等于最大边平方”，故C不符合； D、3、4、5是正整数，且，同时满足勾股数的两个条件，故D符合． 故选：D． 2．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）下列几组数中，不能构成直角三角形三边长的是（       ） A. 1，2， B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 12，5，13 【答案】B 【分析】 欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】 A选项：∵，∴能构成直角三角形； B选项：∵，∴不能构成直角三角形； C选项：∵，∴能构成直角三角形； D选项：∵，∴能构成直角三角形； 故选：B 【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（       ） A. 5，6， 7 B. 8， 10， 12 C. 6， 8， 11 D. 5， 12， 13 【答案】D 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 判断各组数是否满足，其中c为最大边，从而能否构成直角三角形． 【详解】 解：选项A：，，，不能构成直角三角形； 选项B：，，，不能构成直角三角形； 选项C：，，，不能构成直角三角形； 选项D：，，，能构成直角三角形． 故选：D． 4．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）下列长度的三条线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，8，10 D. 8，15，17 【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，判断各组线段中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可构成直角三角形，否则不能． 【详解】 解：A：∵，，， ∴ 不能构成直角三角形，符合题意； B：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； C：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； D：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）下列条件不能构成直角三角形的是（     ） A.  B.  C. ，， D.  【答案】B 【分析】 本题考查直角三角形的判断，勾股定理的逆定理． 根据直角三角形的定义（有一个角为90°或三边满足勾股定理），逐一验证各选项：A中，C和D满足勾股定理，B中角度计算无，故不能构成直角三角形． 【详解】 解：∵ 三角形内角和为180°， 对于A：，代入得，∴ ，能构成直角三角形； 对于B：设则，解得：， ∴ 无，不能构成直角三角形； 对于C：，，∴，满足勾股定理，能构成直角三角形； 对于D：可得到：，满足勾股定理，能构成直角三角形． 故选：B． 6．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（       ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，，3 【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果两条较小边的平方和等于最大边的平方，此时的三角形是直角三角形，此为本题解题的关键． 利用勾股定理逆定理逐一判断即可． 【详解】 解：A、，，，故不能构成直角三角形， B、，，，故能构成直角三角形， C、，，，故不能构成直角三角形， D、，，，故不能构成直角三角形， 故选：B． 7．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（       ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 8，16，17 D. 7，24，25 【答案】C 【分析】 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】 解：A、32+42=52，故是直角三角形，故本选项不符合题意； B、52+122=132，故是直角三角形，故本选项不符合题意； C、82+162≠172，故不是直角三角形，故本选项符合题意； D、72+242=252，故是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 8．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（     ） A.  B.  C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 本题考查直角三角形的判定，利用三角形内角和定理及勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】 解：∵ 三角形内角和为， 选项A：设，，，则，解得， ∴，，，无角，不能判断为直角三角形； 选项B：设，，，则，满足勾股定理，能判断为直角三角形； 选项C：，，所以，满足勾股定理，能判断为直角三角形； 选项D：，，所以，满足勾股定理，能判断为直角三角形． 综上，不能判断是直角三角形的条件是A． 故选：A． 9．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）已知的三边a，b，c满足，则此三角形是（     ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【分析】 本题考查了完全平方公式、非负数的性质及三角形的分类．通过配方法将方程化为非负数的和为零的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形三边关系判断形状． 【详解】 解：∵， ∴， 即， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的三边为，，， ∵，且， ∴是等腰三角形，但不是等边三角形或直角三角形． 故选：C． 10．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为　　　　　　平方米． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】 解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 11．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，，，，，，该图形的面积等于　　　　　　　　． 【答案】96 【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）某校劳动基地的形状是类似如图所示的四边形，测得，，，，且，现需将菜地分成两块，分别种上白菜和萝卜．为了区分两块区域，劳动老师决定沿对角线修一条仅供一个人走的小路（小路的宽度忽略不计），小路上方种白菜，下方种萝卜． （1）求小路的长； （2）通过计算说明种白菜和萝卜的菜地哪块大？大多少？ 【答案】（1）的长为；     （2）种白菜的菜地大，大．      【分析】 本题考查勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再计算两个直角三角形的面积，然后比较即可解决问题． (1) 小问详解： 解：在中，，，， 由勾股定理得：， 答：的长为； (2) 小问详解： 解：在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， ，，， ， ，， 种白菜的菜地大，大， 答：种白菜的菜地大，大 13．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． （1）通过计算说明公路是否与垂直； （2）市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】（1） 解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直．     （2）818万元      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 14．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 15．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）“雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； （3）若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】（1）     （2） 学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴是直角三角形． ∴， ∴， 解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响；     （3）环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟．      【分析】 本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理计算即可； （2）过点C作于D，利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵， 同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟40米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟． 16．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，内部有一点D，且．    （1）判断的形状； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）直角三角形     （2）24      【分析】 此题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证得； （2）根据求面积． (1) 小问详解： ∵. 在中，根据勾股定理得： 则， ∵ ∴ 则是直角三角形； (2) 小问详解： 则四边形面积为24． 17．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，某市为创建全国文明典范城市，计划将这块空地种上三个不同品种的花卉，中间用小路、隔开，且有．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）若铺设小路的费用为每米元，求铺设小路、的总费用． 【答案】（1）9     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）首先利用勾股定理逆定理得出，再用勾股定理求出的长； （2）利用等积法求，根据铺设小路、每米元，列式计算即可解答． (1) 小问详解： 解∶ 米，米，米， ．． 是以为直角的直角三角形． ． 在中，由勾股定理得∶ (米) 答：的长是9米． (2) 小问详解： 解∶， ． 即 (米)． 需花费 (元) 答∶需花费元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（        ） A.  B.  C. 1 D.  3．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在矩形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点F，则为（       ） A.  B. 1 C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 米 7．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，则的长是（     ） A.  B. 5 C.  D.  8．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，和都是等腰直角三角形，的延长线交于点，且恰为的中点，若，则的面积为（       ） A.  B.  C.  D. 9 9．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，在中，，根据作图的痕迹可知，点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点的对应点为点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）如图，，过点P作且，得，再过点作且，得的长；又过点作且，得的长……依此法继续作下去，得（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在长方形中，，，点在上，连接，将沿着翻折得到，点刚好落到长方形的对角线上，点是上一点，连接，，若，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D.  13．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图，在中，，，，，若点M、N分别在边，上，当四边形的周长最小时，则这个最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． （1）出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ （2）当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 16．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为　　　　　． 17．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，以为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点表示的数是　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点与原点重合，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是　　　　　． 19．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）如图，在中，，，在数轴上，点与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是　　　　　　． 21．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是　　　　　　　　　　 22．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． （1）求处离地面的垂直高度； （2）在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 23．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，于E，于点，，已知为线段上一动点，为线段上一动点，在点、运动过程中，的最小值是　　　　　　　　　　　；此时，的值为　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为　　　　　　． 25．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，且、满足，过点作垂直于轴，垂足为，在第二象限内找一点，使得且． （1）如图1．求点，的坐标和． （2）如图2，且的面积为，的长为7，连接，求的面积． 26．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如图，有一张长方形纸片ABCD，，．点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边恰好经过点D，则线段DE的长为　　　　　　　　cm． 27．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，，，为的中点，，将沿折叠，使点落在外部点处，连结，则线段的长为　　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在x轴上存在一点C，使得的周长最小，则的周长的最小值是　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）在数学综合实践《折叠矩形纸片》上，小林将矩形纸片进行如下操作：①把翻折，点落在边上的点处，折痕为，点在边上；②把翻折，点落在边上的点处，折痕为，点在边上，若，，则面积为　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）无理数的大小比较可以采用平方法，还可以采用“数形结合”的方法：在正方形网格纸（每个小正方形的边长为1）中，通过构造图形比较无理数大小． （1）如图1，正方形方格纸中，线段的长为2，线段的长度为．请结合．图形，直接比较大小：_____； （2）在图2中，请尝试构造图形，并比较与的大小 （3）已知两正数，，满足，则是否有最小值？如果有，请尝试在图3中构造图形，直接写出这个最小值，如果没有，请说明理由． 32．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，是等腰三角形，，，是的中点，，，点，点分别为垂足． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 33．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和各边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）判断方程是不是“勾系一元二次方程”，并说明理由． （2）当，且时，求“勾系一元二次方程”的根． 34．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）党的十八大以来，复兴号实现对31个省区市全覆盖按照有关规定：距离铁轨道200米以内的区域噪音影响超过标准，不宜临路新建学校、医院、敬老院和集中住宅区等噪声敏感建筑物．请阅读以下材料，完成问题： 材料1：在中的所对的直角边等于斜边的一半． 材料2：如图是一个小区平面示意图，矩形为一新建小区，直线为高铁轨道，、是直线上的两点，点、、在一直线上，且，． 小王看中了①号楼单元的一套住宅，与售楼人员的对话如图： （1）小王心中一算，发现售楼人员的话不可信，请你用所学的数学知识说明理由； （2）若一列长度为228米的高铁以252千米/时的速度通过时，则单元用户受到影响时间有多长？（温馨提示：，，） 35．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形． （1）如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． （2）如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． （3）在（2）的条件下，求的长． 36．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）半径为2的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知，则阴影部分的面积为　　　　　． 37．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，两个长方体重叠后靠墙角O放置（其中大长方体的三个面分别与墙面、地面贴合，小长方体的两个面与墙面贴合），已知，，．若一只蚂蚁从A点出发，沿几何体的表面爬行到点（蚂蚁无法在与地面接触的面和靠墙面上爬行），则这只蚂蚁爬行的最短路程是　　　　　． 38．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）在正中，，将绕点旋转得到线段，连接． （1）如图1，交于点，若，求的长； （2）如图2，若，在线段上取点、，使得，连接，过点作于点，求证：； （3）如图3，以线段为边作正，使得和在的同侧，为的中点，连接，请直接写出的最小值． 39．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，已知在中，，是边上的中线，点E为BD上一点，连接CE，交于点．若，则的度数为　　　　　　　　；若，，，则的面积是　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． （1）如图1，若，，，，求． （2）如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，猜测：，，存在怎样的数量关系？并证明． 41．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则的长为　　　　　　　　；点E的坐标为　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，已知，点为平面内一点． （1）如图1，当点在线段上时，连接，将绕点顺时针旋转到，点正好在上，若，，求的度数； （2）如图2，当点在延长线上时，满足，点是延长线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，使点正好在上，连接交于点，点是上一点，且，连接，若，用等式表示线段与线段的数量关系并证明； （3）如图3，当，时，过点作，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，当最小时，连接，将沿翻折到所在平面得到，点，是直线上的点，且点在点上方，点在点下方，连接，，满足，且，若，直接写出的值． 43．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在中，，，点为内部一点，点为线段上一点，连接，，，，作于，若，，，则的周长为　　　　　． 44．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，在中，于点D． （1）如图1，若，，，求：的长； （2）如图2，点是线段上一点，于点，交于点，于点H，连接，若，试证明：； （3）如图3，若，，点是直线上一动点，交直线于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，当取最小值时，请直接写出的值． 45．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）在中，，，点D是内一点，连接，，过点A作交的延长线于点E，且，则的长为　　　　　　． 46．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，． （1）若存在点，使与全等．请直接写出点的坐标为______． （2）若为第一象限内的点，且是等腰直角三角形．求点的坐标． （3）设点是轴上一个动点，若在轴上存在点，使，以为边在的上方作等边．请直接写出的最小值为______． 47．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，点是上一点，点是上一点，连接、，且，点是上一点，且，连接． （1）如图1，若，，求的长度． （2）如图2，若．点为上一点，连接，且，求证：． （3）如图3，若，，，当取得最小值时，请直接写出的面积． 48．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）已知是等边三角形，点是边上一点，连接，点为上一点，连接． （1）如图，延长交于点，若，，求的度数； （2）如图，若，，延长至点，使得，连接交于，求证； （3）如图，点分别是边、上的中点，连接、，将线段沿射线方向平移到，连接、，若，当最小时，直接写出的长度． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（     ） A. 0.6，0.8，1 B. 1，2， C. 4，5，9 D. 3，4，5 2．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）下列几组数中，不能构成直角三角形三边长的是（       ） A. 1，2， B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 12，5，13 3．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（       ） A. 5，6， 7 B. 8， 10， 12 C. 6， 8， 11 D. 5， 12， 13 4．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）下列长度的三条线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 6，8，10 D. 8，15，17 5．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）下列条件不能构成直角三角形的是（     ） A.  B.  C. ，， D.  6．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（       ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，，3 7．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（       ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 8，16，17 D. 7，24，25 8．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（     ） A.  B.  C. ，， D. ，， 9．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）已知的三边a，b，c满足，则此三角形是（     ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 10．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，则这块地的面积为　　　　　　平方米． 11．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，，，，，，该图形的面积等于　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）某校劳动基地的形状是类似如图所示的四边形，测得，，，，且，现需将菜地分成两块，分别种上白菜和萝卜．为了区分两块区域，劳动老师决定沿对角线修一条仅供一个人走的小路（小路的宽度忽略不计），小路上方种白菜，下方种萝卜． （1）求小路的长； （2）通过计算说明种白菜和萝卜的菜地哪块大？大多少？ 13．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． （1）通过计算说明公路是否与垂直； （2）市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 14．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． （1）求证：； （2）若，，，请直接写出的度数． 15．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）“雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； （3）若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 16．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，内部有一点D，且．    （1）判断的形状； （2）求四边形的面积． 17．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，某市为创建全国文明典范城市，计划将这块空地种上三个不同品种的花卉，中间用小路、隔开，且有．经测量，米，米，米，米． （1）求的长； （2）若铺设小路的费用为每米元，求铺设小路、的总费用． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．A 2．A 3．A 4．B 5．C 6．C 7．C 8．A 9．B 10．A 11．B 12．A 13．D 14．A 15．【答案】（1）不会     （2）两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； (2) 小问详解： 解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 16．【答案】 【分析】 本题考查了平面展开—最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 把底面和隔板的两面展开，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：如图， 则小蚂蚁所走的最短路径长， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】 解：由题意可得：， 由作图得：， 故弧与数轴的交点B表示的数为：． 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴这个点表示的实数是． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键． 将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ∴， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，实数在数轴上的表示，根据勾股定理求出，根据题意即可求解，熟练掌握知识点得应用是解题的关键． 【详解】 在中，，， 由勾股定理得：， 则这个点表示的实数是， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】 解：在 中，，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 故答案为：． 22．【答案】（1）米     （2） 如图，连接， 依题意，， 在中，． ∵，． ∴不能够到维修点正上方0.5米处的维修点．      【分析】 本题考查了勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理解，即可求解； （2）连接，勾股定理求得，而，比较大小，即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， 依题意，，，， 在中，， ∴（米） (2) 小问详解： 略 23．【答案】① 9    ② 【分析】 本题主要考出了垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，设相交于O，根据等腰三角形的性质可证是线段的垂直平分线，即，则；当且仅当，A、M、N在一条直线上，且时，有最小值，此时点M和O重合，点N和点D重合，即；如图：连接，则，理由勾股定理列方程可求得，易得，最后代入即可解答． 【详解】 解：如图：连接，设相交于O， ∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当且仅当，A、M、N在一条直线上，且时，有最小值，此时点M和O重合，点N和点D重合，即， 如图：连接，则， 中，， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：9，． 24．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质等，在上取一点，使，连接，过点作于点，可得，即得，得到，即得到的最小值为，再利用勾股定理和直角三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：在上取一点，使，连接，过点作于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 25．【答案】（1），；     （2）14      【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，偶次方及绝对值的非负性，勾股定理， （1）过点B作轴于点E，由偶次方及绝对值的非负性求出，证明，得到，由此得到，根据求出面积即可； （2）过点B作于F，过点A作于点H，由的面积为求出，证明，得到，勾股定理求出，利用三角形面积公式求出的面积． (1) 小问详解： 解：如图，过点B作轴于点E， ∵， ∴， 解得, ∴，， , ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 过点B作于F，过点A作于点H， ∵的面积为，的长为7， ∴， ∴， , ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．【答案】5 【分析】 根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在Rt△中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在Rt△利用勾股定理进行计算即可求DE的长. 【详解】 解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD=BC=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°. 根据折叠的性质,得 =8-DE, ,∠=∠B=90°. 在Rt△中,由勾股定理，得==6. ∴=10-6=4. 在Rt△中,由勾股定理，得. ∴（8-DE）2+42=DE2. 解得DE=5. 故答案是：5. 【点睛】 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 27．【答案】7.2 【分析】 本题考查折叠的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等，掌握折叠的性质是解题的关键． 连接交于O．由折叠的性质得到，从而得到是线段的垂直平分线，即有，．由的面积，求出的长，得到的长．再由证明是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】 解：连接交于O． ∵，为的中点， ∴． ∵（折叠的性质）， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7.2． 28．【答案】 【分析】 本题考查了两点之间的距离公式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求，求出的长，由此即可得． 【详解】 解：∵点，点， ∴， ∴的周长为， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，点即为所求，此时的值最小，最小值为， ∴的周长的最小值是， 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 本题重点考查勾股定理与折叠问题，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解，熟练掌握折叠的原理和勾股定理是完成本题的关键． 第一步先利用折叠原理，得到为直角三角形，求得的值，并得到的值；第二步，求解，先设，得到，利用第一步的结论，通过勾股定理得到的值；第三步过作交于，利用直角三角形的性质和勾股定理计算得到的值，第四步用三角形的面积公式，利用前两步的结论计算完成求解． 【详解】 解：由已知条件和折叠可知，为直角三角形，，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 过作交于，如下图， 由翻转的性质知，为直角三角形， ∴，， 根据直角三角形的面积公式得， ∴， 故的高为的长，底边为， ∴， 故答案为：． 30．【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 利用翻折不变性可得，推出，，设，在中，，可得，由此即可解决问题． 【详解】 解：四边形是矩形， ，，， 由翻折不变性可知：，，，， ，， 在中，， ， 设，在中，， ， ， 面积为， 故答案为：． 31．【答案】（1）     （2）     （3）有， 构造图形如下：       【分析】 本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． （1）根据三角形的三边关系进行判断即可； （2）构建边长为，，的三角形即可判断； （3）将原式化简为，取线段，令，则，然后作图，根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， ∵在中，，线段的长为2，线段的长度为， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 根据题意，画图如下： ，，， ∵在中，， ∴； (3) 小问详解： ∵， ∴ ， 取线段，令，则， ∴， 当点E、G、F三点共线时，即点G在店处时， 取得最小值，即， ∴有最小值，最小值为． 32．【答案】（1） 证明：连接， ，是的中点， 是的角平分线， ，， ，， 四边形的内角和为， ， 是等边三角形；     （2）．      【分析】 （1）由三线合一定理可得是的角平分线，再由角平分线的性质可得，最后结合多边形内角和定理求出即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，，，再由含的直角三角形性质得，结合勾股定理可得，则，进而由勾股定理求得、，最后根据等边三角形的性质即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等腰三角形，，，是的中点，， ，，， ， 中，， 将代入可得，则， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得，即， ， 是等边三角形， ． 【点睛】 本题考查的知识点是三线合一定理、角平分线的性质、多边形内角和定理、等边三角形的性质与判定、含的直角三角形性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 33．【答案】（1） 解：是，理由如下： 如图所示： ， ， 则， ， ， ∴方程是“勾系一元二次方程”；     （2）      【分析】 本题考查新定义“勾系一元二次方程”，理解新定义，掌握勾股定理及一元二次解法是解决问题的关键． （1）根据“勾系一元二次方程”定义，由方程得到，满足即可得到答案； （2）由，得到① ，② ，从而得到，求出，代入“勾系一元二次方程”求解即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由可得，① ， 由可得，，则② ， ①② 得， 即， ， 则，解得， ， ，则 代入“勾系一元二次方程”得， ， 即，解得． 34．【答案】（1） 证明：作过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∵，米 ∴，则米， ∴米， 又∵， ∴单元用户会受到影响，则售楼人员的说法不可信．     （2）受影响的时间为秒      【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，含30°的直角三角形的性质．解决问题的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形． （1）作过点作，垂足为，根据含的直角三角形可求得的长，再与200米比较大小即可求解； （2）在上找到点、，使得米，根据勾股定理可求，即可，根据速度可得单元用户受到影响时间有多长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在上找到点、，使得米， ∴米， ∴米， 又∵速度252千米/时米/秒， ∴时间秒， 即受影响的时间为秒． 35．【答案】（1） 证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴；     （2）5     （3）      【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 36．【答案】2 【分析】 本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 先求出中间空白部分的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】 解：，且， . ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为 故答案为： 37．【答案】 【分析】 题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，画出相应展开图求解即可，结合图形找出最短路程是解题关键． 【详解】 解：如图所示展开， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 38．【答案】（1）     （2） 证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B，F，H三点共线， ∵在等边中，，即， ∴．     （3）      【分析】 （1）由等边得到，从而有，根据含角的直角三角形的性质得到，从而根据勾股定理求出，再由线段的和差即可求解； （2）连接，由得到，由得到，从而有．再在中，求得，从而，得到点B，F，H三点共线，再根据“三线合一”即可证明； （3）将线段绕点B逆时针旋转，得到，连接，得到，，由等边得到，，从而证得，得到．连接，，由等边三角形的“三线合一”得到，，由勾股定理得到，进而得到，再由勾股定理求出，最后根据即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到线段， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：将线段绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． 连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵在等边中，，，点M是的中点， ∴，，， ∴， ， ∴在中，， ∵， ∴， 即的最小值为． 【点睛】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，掌握相关的知识，正确作出辅助线是解题的关键． 39．【答案】① ；    ② . 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理．根据等边对等角，可知，根据三角形内角和定理可知，根据等腰三角形的三线合一定理可得：；利用勾股定理求出，根据，可得：，根据三角形的面积公式即可求出的面积. 【详解】 解：在中，， ， 在中，， ， 是边上的中线， 平分， ； ，是边上的中线， ， ，， ， ， ， . 故答案为：，． 40．【答案】（1）     （2） 解：，证明如下： 证明：如图2中，过点作交的延长线于点． ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． （1）根据勾股定理求得，即可求得，再求面积即可； （2）如图2中，过点作交的延长线于点．证明，推出，再证明，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得结论． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， ， ， ， 过E作， ； (2) 小问详解： 略 41．【答案】① 5    ② 【分析】 本题考查翻折变换，正方形的性质，坐标与图形变化—对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．设正方形的边长为，与轴相交于，则四边形 矩形，推出， ，．由折叠的性质，得，．根据点的坐标为 ，点的坐标为，得出， ，所以．在 中，，解得 ，则，．在中，，解得，所以，即可得出点的坐标． 【详解】 解：如图，设正方形的边长为，与轴相交于， 则四边形是矩形， ， ，． 由折叠的性质，得，． 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 在中，， ， 解得，即， ，． 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为 ． 故答案为：5，． 42．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，根据三角形内角和定理以及等边对等角可得，根据，得出，进而根据三角形的外角的性质可得得出，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）连接，设，，根据旋转以及等边对等角、三角形的内角和与三角形的外角的性质分别表示出，结合题意得出，又，，即可得出，则可证明，进而证明，证明，得出，进而证明，结合线段的数量关系，即可得出结论； （3）先确定在与夹角为的直线上运动，当时，最小，求得当重合时即最小，如图作，过点作，设，，则，分别表示出，勾股定理建立方程，求得，进而根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵将绕点顺时针旋转到， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ (2) 小问详解： 如图，连接， ∵， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 如图所示，在上取一点，使得，以为边等边三角形， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴ ∵是等边三角形， ∵ ∴ ∴在上， ∴， ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴在与夹角为的直线上运动， 如图，以为边作等边三角形， 同理可得 ∴，则也在直线上， 当重合时，， 又∵ ∴， ∵在与夹角为的直线上运动， ∴当时，最小 此时， ∴当重合时即最小 如图作，过点作， ∴设， ∵，将沿翻折到所在平面得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，MD''^2=MQ^2+D''Q^2， ， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，翻折的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 43．【答案】 【分析】 分别以为边向下作等边三角形，连接， 根据勾股定理以及含度角的直角三角形的性质，求得，，进而证明，，进一步得出，再根据三角形内角和定理证明，得出在上，根据，即可求解． 【详解】 解：如图所示，分别以为边向下作等边三角形，连接， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 在中，， 在中，， ∴ ∴， ∴ ∴， 设 ∵是等边三角形， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴在上， ∴的周长为 故答案为：． 44．【答案】（1）     （2） 证明：过点作交延长线于， ∵于点F，即，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 又∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴     （3）      【分析】 （1）利用含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，求出和的长即可解题； （2）先根据已知证明，得，再根据旋转模型，过点作交延长线于，构造，可得，，即可得出， ，由此证明结论； （3）由旋转可知：是等边三角形，再取的中点，连接，构造等边三角形，得到手拉手模型，容易证明，从而可得点在过点平行于的直线上运动，当时，BG取最小值，此时四边形是矩形，由此求解. (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设， 如图3：取的中点，连接， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， 设，则，， 又∵，即， ∴， ∴， 由将绕点F顺时针旋转得到，可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴点在过点平行于的直线上运动， ∴当时，取最小值，此时四边形是矩形， 如备用图，过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴ ∴， 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形综合和勾股定理、等边三角形的判定和性质等，解题关键是利用旋转的性质作辅助线构造三角形全等转化线段和角的关系. 45．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理． 利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴（负值已舍）， 由勾股定理得，， 即， 解得，（负值已舍）， 故答案为：． 46．【答案】（1）或     （2）或或     （3）2      【分析】 （1）根据全等三角形的性质，得到，分和两种情况进行讨论求解即可； （2）分，和三种情况，分别添加辅助线，构造全等三角形进行求解即可； （3）易得关于轴对称，得到，连接，以为边，在上方构造等边三角形，连接，证明，得到点的运动轨迹，求出点在轴上时，的长，推出点在轴上时，与点重合，进而得到三点公共线，作，则当点与点重合时，的长最小，等积法求出的长即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵为直角三角形，为斜边，且与全等， ∴，为对应边， ① 当时，如图，则，， ∴轴，轴， 故点； ② 当时，则：，如图，连接交于点，作轴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴，， ∴； 综上：或； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 当是等腰直角三角形时，分三种情况： ① 当时，则，作轴于点，则：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 当时，则，作轴于点， 同法可得：， ∴， ∴， ∴； ③ 当时，，作轴于点，轴于点，则：，， 同法可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． (3) 小问详解： ∵点在轴上，且，则关于轴对称， ∴， ∴， 连接，以为边，在上方构造等边三角形，连接，则：， ∵点在轴上， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 当点恰好在轴上时，则， ∴， ∴， 当点恰好在轴上时， ∵， ∴两点重合， ∴点在直线上， 作，则当点与点重合时，的长最小， 当点在轴上时，，， ∴， ∵，即， ∴，即的最小值为2． 【点睛】 本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 47．【答案】（1）4     （2） 证明：如图：延长到P，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．     （3）2      【分析】 （1）由三角形内角和定理易得，于是易证，得到，则，进而完成解答； （2）如图：延长到P，使得，连接，由三角形外角性质可得，于是，再证得到，进而可得，以此可证得到，由此即可得即可证明结论； （3）如图：延长至点M，使，连接，则，易证则，作，则，证明，得到，设，则，，勾股定理得到，进而得到当，即，点和点重合时，的值最小，此时，推出为等腰直角三角形，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图：延长至点M，使，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 作，则， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当，即，点和点重合时，的值最小，此时， ∵， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】 本题主要考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，是通过作辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 48．【答案】（1）；     （2） 证明：如图， 延长至，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）由是等边三角形，进而求得和的度数，利用三角形的外角与内角之间的关系求得结果； （）延长至，使，连接，可证得，从而，，进而证得，从而，，进而证得，从而得出； （）作直线交与，取的中点，作点关的对称点，交于，连接，交于点，作，交于，则当点在处，在点处时，最小，作于，依次求得和的值，进一步得出结果． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 作直线交于，取的中点， ∵是等边三角形，，是的中点， ∴，，，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵线段沿射线方向平移到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 作直线交于与，取的中点，作点关的对称点，交于，连接，交于点，作，交于，则当点在处，在点处时，最小，作于， ∵， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当最小时，． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，平移的性质，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．A 9．C 10．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】 解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，，， ∴， ∴， ∴则这块地的面积为： ． 故答案为： 11．【答案】96 【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】（1）的长为；     （2）种白菜的菜地大，大．      【分析】 本题考查勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再计算两个直角三角形的面积，然后比较即可解决问题． (1) 小问详解： 解：在中，，，， 由勾股定理得：， 答：的长为； (2) 小问详解： 解：在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， ，，， ， ，， 种白菜的菜地大，大， 答：种白菜的菜地大，大 13．【答案】（1） 解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直．     （2）818万元      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 14．【答案】（1） 证明：绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 15．【答案】（1）     （2） 学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴是直角三角形． ∴， ∴， 解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响；     （3）环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟．      【分析】 本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理计算即可； （2）过点C作于D，利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：略； (3) 小问详解： 解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵， 同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟40米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟． 16．【答案】（1）直角三角形     （2）24      【分析】 此题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证得； （2）根据求面积． (1) 小问详解： ∵. 在中，根据勾股定理得： 则， ∵ ∴ 则是直角三角形； (2) 小问详解： 则四边形面积为24． 17．【答案】（1）9     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）首先利用勾股定理逆定理得出，再用勾股定理求出的长； （2）利用等积法求，根据铺设小路、每米元，列式计算即可解答． (1) 小问详解： 解∶ 米，米，米， ．． 是以为直角的直角三角形． ． 在中，由勾股定理得∶ (米) 答：的长是9米． (2) 小问详解： 解∶， ． 即 (米)． 需花费 (元) 答∶需花费元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $