专题09 因式分解（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题09 因式分解 2大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式． 逐一分析各选项是否符合因式分解的定义即可． 【详解】 解：A． 左边为单项式，因式分解对象应为多项式，故此选项错误； B． 为分式，非整式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C． 左边为多项式，右边分解为与的乘积，均为整式，符合因式分解定义，故此选项正确； D． 仍包含加法运算，未完全转化为积的形式，故此选项错误； 故选：C． 2．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可． 【详解】 解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、，等式右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意； D、，属于因式分解，故符合题意； 故选D． 3．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式分解为几个整式的积的形式． 根据因式分解的定义逐项分析判断即可，因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式． 【详解】 解：A. ，不是因式分解，故该选项不符合题意；        B. ，不是因式分解，故该选项不符合题意；        C. ，不是因式分解，故该选项不符合题意；               D. ，是因式分解，故该选项符合题意；        故选：D． 4．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）已知实数满足，则（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【分析】 本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值． 由已知可得，然后通过变形以及整体代入求值即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 故选D． 5．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】 解：A、不是因式分解，故选项不符合题意； B、是因式分解，故选项符合题意； C、不是因式分解，故选项不符合题意； D、不是因式分解，故选项不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）分解因式：　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题的关键是准确找出多项式中各项的公因式，并将其提取出来完成因式分解． 先观察多项式的两项，找出它们共有的因式（公因式），其中含因式和，含因式和，公因式为；再用公因式分别去除两项，得到和，最后将公因式与所得结果用乘号连接，完成分解． 【详解】 解：观察多项式，两项均含有公因式， 将公因式提取出来，得：， 故答案为：． 7．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）因式分解： 　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据提公因式法可进行求解． 【详解】 解：原式； 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． （1）已知多项式有一个因式是，则的值为          ； （2）已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； （3）已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干提供的方法，求解即可； （2）设，分别令，，得出方程组 ，解方程组即可； （3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，， 解得：． (2) 小问详解： 解：设， 令，则， 令，则， 即 ， 解得： ； (3) 小问详解： 解：令， ， 令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11， ， ， ， ， ． 9．（八上·重庆川外基础教）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】（1）     （2）,      （3）      【分析】 本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． (1) 小问详解： 解：依题意，把代入， ∴ ∴； (2) 小问详解： 解：把和分别代入， 即 解得： (3) 小问详解： 解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列因式分解正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可． 【详解】 解：A．，故A符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）下列各式分解因式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，分别利用公式法以及提取公因式法分解因式判断得出即可． 【详解】 解：A、，原选项分解因式错误，故不符合题意； B、，原选项分解因式错误，故不符合题意； C、，分解因式正确，故符合题意； D、，原选项分解因式错误，故不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）计算后的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握熟练掌握因式分解的方法． 根据乘方的意义进行拆解，然后利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】 解：， 故选：A． 4．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】 解：① ：， ∵，， ∴当时，，故① 正确； ② ：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故② 错误； ③ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 5．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）对于二次三项式（且为常数），，下列说法： ①当时，若，则； ②无论取任何实数，若等式恒成立，则； ③当时，若，，则． 其中说法正确的个数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了整式的加减，因式分解的应用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上运算法则以及完全平方公式是解题的关键．将代入，因式分解后结合可得；由恒成立得，进而；当时，计算得，解方程得。 【详解】 解：当时，， 且， ， 即， 故正确； 恒成立， ， 即， ， ， ， 故错误。 当时， ，， ， 设，则， 即， ， 即， 故正确。 综上，正确的个数是个. 故选：C． 6．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）已知，mn=12，则的值为（     ） A. -84 B. 84 C.  D. 300 【答案】C 【分析】 根据，mn=12，利用完全平方公式变形求出，，再分情况求出答案. 【详解】 ∵，mn=12， ∴==， ∴，， 当m-n=1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=； 当m-n=1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7）1=-84； 当m-n=-1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=127 （-1）=-84； 当m-n=-1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7） （-1）=84； 故选：C. 【点睛】 此题考查完全平方公式的变形计算，整式的因式分解，有理数的乘法计算法则，解题中运用分类讨论是思想解决问题. 7．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）分解因式：2x2﹣8=　　　　　　　 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【分析】 先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】 2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】 考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 8．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）分解因式：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察表达式，发现符合平方差公式的形式，应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ； 故答案为：． 9．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）分解因式：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】 解：， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）因式分解的结果是　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】 解：， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）因式分解 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 12．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） ；     （2） ．      【分析】 本题主要考查了分解因式，常用的分解因式的方法有：提公因式法分解因式、公式法分解因式． 用提公因式法分解因式，提出公因式即可； 把转化成，利用完全平方公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 13．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）分解因式∶　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】 解：， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查提公因式法和运用公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再用平方差公式分解即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 15．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若，则代数式的值为 　　　　　　　　　　． ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解，实数的运算，代数式求值，把所求式子可变形为，据此代值计算即可． 【详解】 解：∵， ∴ ， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）分解因式： （1）． （2）． 【答案】（1）．     （2）．      【分析】 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题关键．        （1）先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可． （2）先通过变形提取公因式，再运用平方差公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ， ． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ． 17．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）若一个各个数位上的数字均不相等的四位正整数，千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大3，则称这个四位正整数为“恭州数”．例如：对于四位正整数6542，∵6，5，4，2互不相等且千位6比十位4大2，百位5比个位2大3，∴6542是“恭州数”．请直接写出最大的“恭州数”为 　　　　　　　　　．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称这个正整数为完全平方数，例如：，则9为完全平方数．若四位正整数m是“恭州数”，记，当是一个完全平方数时，则满足条件的“恭州数”m的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】① 9875    ② 3714 【分析】 本题主要考查了因式分解的应用，完全平方式，列代数式，数位上的数字的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“恭州数”的定义即可求得最大的“恭州数”；利用“恭州数”的定义设的十位数字为，个位数字为，则，求得，利用数位上的数字的特征求得，的值即可． 【详解】 解：最大的“恭州数”为9875． 设的十位数字为，个位数字为，的整数，的整数， 四位正整数是“恭州数”， ， ， 是一个完全平方数， ，为正整数， 的整数，的整数， 的整数，的整数， 的整数，的整数是一个两位数， 可能为6，7，8，9，10， 当时，， ，， ； 当时，， ，，不合题意； 当时，， ，， ； 当时，， ，，不合题意； 当时，， ，，不合题意； 综上，满足条件的“恭州数” 的最小值为3714． 故答案为：9875；3714． 18．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握并应用因式分解的方法是解题的关键． （1）提取公因式即可求解； （2）先提取，再利用平方差公式分解即可． (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式 ． 19．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得： ，解得： ， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． （1）已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； （2）已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握常见的几种因式分解的方法和多项式乘多项式法则． （1）先设，然后令，从而列出关于的方程，解方程即可； （2）先令，，再令，求出，再根据已知条件中的关系，列出关于的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设， 令，则， 令，则， 即 ， 解得： ； (2) 小问详解： 解：令， ， 再令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1， ， ， ， ， ． 20．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵，∴352是“和好数”，把一个和好数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为　　　　　　；若三位数是“和好数”，且是完全平方数，则所有符合条件的的最大值为　　　　　　． 【答案】① 96    ② 660 【分析】 此题主要考查了完全平方数，新定义，根据“和好数”的相关定义计算即可． 【详解】 ， ， ∴， 设三位数百位数字是，个位数字是，则由“和好数”定义可得十位数字是， ∴， ， ∴， ∵是完全平方数， ∴，其中是非负整数， ∵，， ∴，即， 解得，则或， ∴当时，符合条件的的值更大， 此时， 要使的最大，则尽可能的大， ∴，， ∴所有符合条件的的最大值为660， 故答案为：；660． 21．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）原式先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可； （2）原式先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 22．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：① 提公因式法；② 公式法；③ 十字相乘法；④ 分组分解法． （1）用提取公因式法分解即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 23．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：___________； （2）若，则的最小值为___________； （3）已知，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）类比例题求的最小值即可； （3）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案． 本题主要考查配方法的运用、公式法分解因式，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． (1) 小问详解： 解：依题意，， (2) 小问详解： 解： ， ， 的最小值为； (3) 小问详解： 解：， ， ， 又，，， ，，， ，， 24．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）因式分解： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查因式分解，提取公因式法，完全平方及平方差公式，掌握相关方法是解题的关键． （1）先提取，再由完全平方公式分解即可； （2）提取公因式，再利用平方差公式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式 =； (2) 小问详解： 解：原式 ． 25．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）已知：，则　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 26．（八上·重庆川外基础教）分解因式：　　　． 【答案】 【详解】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 27．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则　　　　　　；若已知数m为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为　　　　　　． 【答案】① 162    ② 4114 【分析】 本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方数的概念，新定义的实数运算，根据代入代数式计算即可；设，则，由题意得．由是一个完全平方数，结合，的取值范围，可得，从而得到的最小值，充分理解题意是解题的关键． 【详解】 解：当时，． 设，则， ， ， ． 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，， ， ，即， 当时，有最小值4， 此时的最小值为4114． 故答案为：162，4114． 28．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是　　　　　　　　　　　；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是　　　　　　　　　　　． 【答案】① 8354    ② 6213 【分析】 本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】 解：是“和方数”， ， 解得：， 这个数是8354； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：8354；6213． 29．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且都等于10，那么称为“合十数”，例如：，因为，则2738是“合十数”，则最大的“合十数”是　　　　　　；将“合十数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，记，若是完全平方数，则满足条件的最小“合十数”为　　　　　　． 【答案】① 9911    ② 1919 【分析】 本题是一道新定义类型题，主要涉及考查因式分解的应用，准确理解“合十数”的定义是本题的关键．求解最大的“合十数”，要使四位数最大，尽可能使千位数字最大，根据“合十数”的定义，确定其他位上的数字；求解满足条件的最小“合十数”，根据题意，将“合十数” 的千位与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，计算 ，并使其为完全平方数，通过代数式表示和，化简的表达式，分析的表达式，找到满足条件的最小“合十数” ． 【详解】 解：是一个“合十数”， ，， 最大的“合十数”是9911； ， ， ， ，， ， 要使为完全平方数，则需为完全平方数， ，， ， 只能取0或1或4， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 满足题意最小为1919， 故答案为：9911；1919． 30．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得 ，解得 ． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： （1）已知关于的多项式有一个因式是，则________； （2）已知有因式和，求、的值； （3）已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 【答案】（1）7     （2）     （3），该多项式分解因式为：      【分析】 本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． （1）根据多项式乘法将等式右边展开有：，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）设（A为整式），分别取和得关于m和n的二元一次方程组，求解即可； （3）设，将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． (1) 小问详解： 由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； (2) 小问详解： 设（A为整式）， 分别令和得： ， 解得： ， ∴； (3) 小问详解： 设， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 因式分解 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．C 2．D 3．D 4．D 5．B 6．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题的关键是准确找出多项式中各项的公因式，并将其提取出来完成因式分解． 先观察多项式的两项，找出它们共有的因式（公因式），其中含因式和，含因式和，公因式为；再用公因式分别去除两项，得到和，最后将公因式与所得结果用乘号连接，完成分解． 【详解】 解：观察多项式，两项均含有公因式， 将公因式提取出来，得：， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 根据提公因式法可进行求解． 【详解】 解：原式； 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干提供的方法，求解即可； （2）设，分别令，，得出方程组 ，解方程组即可； （3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，， 解得：． (2) 小问详解： 解：设， 令，则， 令，则， 即 ， 解得： ； (3) 小问详解： 解：令， ， 令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11， ， ， ， ， ． 9．【答案】（1）     （2）,      （3）      【分析】 本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． (1) 小问详解： 解：依题意，把代入， ∴ ∴； (2) 小问详解： 解：把和分别代入， 即 解得： (3) 小问详解： 解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时，， 当时， ∴是的因式 ∴． 考点02 用公式法分解因式 1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．C 7．【答案】2（x+2）（x﹣2） 【分析】 先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】 2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】 考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 8．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察表达式，发现符合平方差公式的形式，应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】 解：， ， ， ， ； 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】 解：， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】 解：， 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 12．【答案】（1） ；     （2） ．      【分析】 本题主要考查了分解因式，常用的分解因式的方法有：提公因式法分解因式、公式法分解因式． 用提公因式法分解因式，提出公因式即可； 把转化成，利用完全平方公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 13．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】 解：， 故答案为：． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查提公因式法和运用公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再用平方差公式分解即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解，实数的运算，代数式求值，把所求式子可变形为，据此代值计算即可． 【详解】 解：∵， ∴ ， 故答案为：． 16．【答案】（1）．     （2）．      【分析】 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题关键．        （1）先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可． （2）先通过变形提取公因式，再运用平方差公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ， ． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ． 17．【答案】① 9875    ② 3714 【分析】 本题主要考查了因式分解的应用，完全平方式，列代数式，数位上的数字的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“恭州数”的定义即可求得最大的“恭州数”；利用“恭州数”的定义设的十位数字为，个位数字为，则，求得，利用数位上的数字的特征求得，的值即可． 【详解】 解：最大的“恭州数”为9875． 设的十位数字为，个位数字为，的整数，的整数， 四位正整数是“恭州数”， ， ， 是一个完全平方数， ，为正整数， 的整数，的整数， 的整数，的整数， 的整数，的整数是一个两位数， 可能为6，7，8，9，10， 当时，， ，， ； 当时，， ，，不合题意； 当时，， ，， ； 当时，， ，，不合题意； 当时，， ，，不合题意； 综上，满足条件的“恭州数” 的最小值为3714． 故答案为：9875；3714． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握并应用因式分解的方法是解题的关键． （1）提取公因式即可求解； （2）先提取，再利用平方差公式分解即可． (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式 ． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握常见的几种因式分解的方法和多项式乘多项式法则． （1）先设，然后令，从而列出关于的方程，解方程即可； （2）先令，，再令，求出，再根据已知条件中的关系，列出关于的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设， 令，则， 令，则， 即 ， 解得： ； (2) 小问详解： 解：令， ， 再令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1， ， ， ， ， ． 20．【答案】① 96    ② 660 【分析】 此题主要考查了完全平方数，新定义，根据“和好数”的相关定义计算即可． 【详解】 ， ， ∴， 设三位数百位数字是，个位数字是，则由“和好数”定义可得十位数字是， ∴， ， ∴， ∵是完全平方数， ∴，其中是非负整数， ∵，， ∴，即， 解得，则或， ∴当时，符合条件的的值更大， 此时， 要使的最大，则尽可能的大， ∴，， ∴所有符合条件的的最大值为660， 故答案为：；660． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）原式先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可； （2）原式先提取公因式，再运用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：① 提公因式法；② 公式法；③ 十字相乘法；④ 分组分解法． （1）用提取公因式法分解即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 23．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）类比例题求的最小值即可； （3）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案． 本题主要考查配方法的运用、公式法分解因式，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． (1) 小问详解： 解：依题意，， (2) 小问详解： 解： ， ， 的最小值为； (3) 小问详解： 解：， ， ， 又，，， ，，， ，， 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查因式分解，提取公因式法，完全平方及平方差公式，掌握相关方法是解题的关键． （1）先提取，再由完全平方公式分解即可； （2）提取公因式，再利用平方差公式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式 =； (2) 小问详解： 解：原式 ． 25．【答案】 【分析】 本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 26．【答案】 【详解】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 27．【答案】① 162    ② 4114 【分析】 本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方数的概念，新定义的实数运算，根据代入代数式计算即可；设，则，由题意得．由是一个完全平方数，结合，的取值范围，可得，从而得到的最小值，充分理解题意是解题的关键． 【详解】 解：当时，． 设，则， ， ， ． 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，， ， ，即， 当时，有最小值4， 此时的最小值为4114． 故答案为：162，4114． 28．【答案】① 8354    ② 6213 【分析】 本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】 解：是“和方数”， ， 解得：， 这个数是8354； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：8354；6213． 29．【答案】① 9911    ② 1919 【分析】 本题是一道新定义类型题，主要涉及考查因式分解的应用，准确理解“合十数”的定义是本题的关键．求解最大的“合十数”，要使四位数最大，尽可能使千位数字最大，根据“合十数”的定义，确定其他位上的数字；求解满足条件的最小“合十数”，根据题意，将“合十数” 的千位与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，计算 ，并使其为完全平方数，通过代数式表示和，化简的表达式，分析的表达式，找到满足条件的最小“合十数” ． 【详解】 解：是一个“合十数”， ，， 最大的“合十数”是9911； ， ， ， ，， ， 要使为完全平方数，则需为完全平方数， ，， ， 只能取0或1或4， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 当时，则， 为使最小，应该使千位数字最小，即， 则，，， 得到， 满足题意最小为1919， 故答案为：9911；1919． 30．【答案】（1）7     （2）     （3），该多项式分解因式为：      【分析】 本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． （1）根据多项式乘法将等式右边展开有：，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）设（A为整式），分别取和得关于m和n的二元一次方程组，求解即可； （3）设，将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． (1) 小问详解： 由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； (2) 小问详解： 设（A为整式）， 分别令和得： ， 解得： ， ∴； (3) 小问详解： 设， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 因式分解 2大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）已知实数满足，则（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）下列各式从左到右变形是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）分解因式：　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）因式分解： 　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． （1）已知多项式有一个因式是，则的值为          ； （2）已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； （3）已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 9．（八上·重庆川外基础教）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； （3）若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列因式分解正确的是（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）下列各式分解因式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）计算后的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）对于二次三项式（且为常数），，下列说法： ①当时，若，则； ②无论取任何实数，若等式恒成立，则； ③当时，若，，则． 其中说法正确的个数是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）已知，mn=12，则的值为（     ） A. -84 B. 84 C.  D. 300 7．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）分解因式：2x2﹣8=　　　　　　　 8．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）分解因式：　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）分解因式：　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）因式分解的结果是　　　　　　　　 11．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）因式分解 （1） （2） 12．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）因式分解： （1）； （2）． 13．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）分解因式∶　　　　　． 14．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）因式分解： （1）； （2）． 15．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若，则代数式的值为 　　　　　　　　　　． ． 16．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）分解因式： （1）． （2）． 17．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）若一个各个数位上的数字均不相等的四位正整数，千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大3，则称这个四位正整数为“恭州数”．例如：对于四位正整数6542，∵6，5，4，2互不相等且千位6比十位4大2，百位5比个位2大3，∴6542是“恭州数”．请直接写出最大的“恭州数”为 　　　　　　　　　．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称这个正整数为完全平方数，例如：，则9为完全平方数．若四位正整数m是“恭州数”，记，当是一个完全平方数时，则满足条件的“恭州数”m的最小值为　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）分解因式： （1）； （2）． 19．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得： ，解得： ， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． （1）已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； （2）已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 20．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵，∴352是“和好数”，把一个和好数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为　　　　　　；若三位数是“和好数”，且是完全平方数，则所有符合条件的的最大值为　　　　　　． 21．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）因式分解 （1）； （2）． 22．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）分解因式： （1）； （2）． 23．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：___________； （2）若，则的最小值为___________； （3）已知，求的值． 24．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）因式分解： （1） （2） 25．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）已知：，则　　　　　　； 26．（八上·重庆川外基础教）分解因式：　　　． 27．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则　　　　　　；若已知数m为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为　　　　　　． 28．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是　　　　　　　　　　　；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，且都等于10，那么称为“合十数”，例如：，因为，则2738是“合十数”，则最大的“合十数”是　　　　　　；将“合十数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换得到一个新的四位数，记，若是完全平方数，则满足条件的最小“合十数”为　　　　　　． 30．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得 ，解得 ． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： （1）已知关于的多项式有一个因式是，则________； （2）已知有因式和，求、的值； （3）已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $