专题11 二次根式（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题11 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）式子有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）使二次根式有意义的实数x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）若，，下列选项错误的是（） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x＞2 C. x≥2 D. x≥﹣2 7．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）若满足关系式，则的值为（       ） A.  B. 6 C. 2 D.  9．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，对任意正整数，满足，．下列结论中正确的个数是（       ） ①满足条件的单项式有3个； ②若，则当最大时，与是同类二根式； ③若，则满足条件的整式有19个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）已知两个二次根式，进行如下操作：令，将加上，结果记为，令，将加上，结果记为；令，将加上，结果记为，以此类推，下列说法正确的个数是（     ） ①的最小值为； ②当时，； ③； ④若，则有唯一解． A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）已知多项式，下列说法： ①若，则； ②的最小值为； ③若为整数，则整数的取值为、或； ④若，则．其中正确的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）若有意义，则能取的最小整数值是　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）化简：＝　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　　　　． 15．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）若，为实数，，则的值为　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简　　　　　　． 18．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）若a、b、c是三角形的三边长，化简　　　　　　 19．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值　　　　　　； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为　　　　　　． 20．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：　　　　　　． 21．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）先化简，再求值：，其中、满足． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）计算的值为（     ） A. 4 B. 2 C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）估计的运算结果应在（       ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 3．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）下列属于最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）估计的值应在（       ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）计算： （1）； （2）． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）估算的取值范围（     ） A. 6和7之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 2．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）估算的值应在（     ） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 13和14之间 D. 15和16之间 3．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）比较大小：，，的大小顺序是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）估计的值应在（             ）之间 A. 7和8 B. 8和9 C. 9和10 D. 10和11 5．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）估计的值应在（     ） A. 0到1 B. 1到2 C. 2到3 D. 3到4 6．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）估计的值应在（     ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）（1）计算：； （2）计算：． 8．（25-26学年八·重庆高新·期中）　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）计算： （1）； （2）． 10．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）比较大小：　　　　　　　　．（填“”“”或“”） 11．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）计算 （1） （2）． 12．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 13．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）计算：　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）化简 （1） （2） （3） （4） 15．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）我们常用的计算三角形面积的方法，需知道三角形的一边及这边上的高，其实已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，也可以求其面积，中外数学家就这个问题曾经进行过深入的研究． 古希腊的几何学家海伦给出过求其面积的海伦公式： ，其中； 我国南宋时期的数学家秦九韶曾经提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式：， 从以上两个公式中选择恰当的公式，解决以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求此三角形的面积； （2）若一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积； （3）若一个等腰三角形的腰和底边之和为，它们的积为1，求这个等腰三角形面积的平方． 16．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）计算： （1）； （2）． 17．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）若，，则代数式的值为　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）计算： （1）； （2）． 19．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）计算： （1） （2） 20．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）化简求值： （1）已知，求代数式的值． （2），从中选一个合适的代入求值． 21．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）计算． （1） （2） 22．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）计算： （1） （2） 23．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： （1）若，当_______时，式子的最大值为_______． （2）若，求出的最小值及对应的x的值． （3）已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 24．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）已知，． （1）求的值． （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．A 2．A 3．B 4．A 5．D 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．【答案】1 【分析】 根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】 解：∵有意义， ∴， ∴， ∴能取得最小整数为1． 故答案为：1 【点睛】 此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“被开方数大于等于0”是二次根式有意义的条件是解题的关键． 13．【答案】 【分析】 根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式的被开方数必须非负，分式有意义的条件是分母不能为零． 【详解】 解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴ ， 解得 ． 故答案为 ：． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】 解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得． 故答案为：． 16．【答案】或 【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】 解：实数，满足， ， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：或． 17．【答案】 【分析】 本题考查了根据数轴上点的位置信息，二次根式的性质，绝对值化简，立方根的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据数轴上点的位置信息结合运算法则化简运算即可． 【详解】 解：由图象可得：，， ∴ 故答案为：． 18．【答案】-2b+2a 【分析】 根据三角形三边关系，判断出绝对值和括号内多项式的符号，化简绝对值和二次根式，再合并同类项即可． 【详解】 解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，化简二次根式，合并同类项等知识点，根据三角形三边关系判断出绝对值和括号内多项式的符号是解题的关键． 19．【答案】① 15    ② 10 【分析】 本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． 【详解】 （1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：10． 20．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键． 根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值符号，再进行计算即可解答． 【详解】 解：由图可知，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 21．【答案】，． 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值、二次根式的性质，首先把整式各部分展开、合并同类项，可得：原式，根据平方根的非负性、平方的非负性，可得：，，把字母的值代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】 解： ， ， ，， 解得：，， 当，时， 原式． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．B 2．C 3．B 4．C 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，整式的运算，完全平方公式和平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先计算二次根式的乘法，化简绝对值，计算立方根，最后再进行加减计算； （2）先用平方差公式和完全平方公式进行计算，最后合并同类项． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点03 二次根式的加法与减法 1．D 2．C 3．D 4．D 5．A 6．C 7．【答案】， 【分析】 （1）先化简为最简二次根式，然后计算加减法即可； （2）利用平方差公式计算乘法，同时计算除法，然后计算加减即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】 题目主要考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查实数的混合运算，先计算平方根和绝对值，再求和． 【详解】 解： ． 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）．      【分析】 本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把原式整理得，然后运算乘法，最后运算除法，再进行化简，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 10．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的大小比较； 对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较，先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】 解：∵ ，， 又∵ ，且 ，， ∴ ， 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的加减与化简，算术平方根，立方根，有理数的乘方，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）先进行二次根式的化简，再加减即可； （2）先进行算术平方根，立方根，有理数的乘方，绝对值计算，最后再加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 12．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了整式、二次根式的混合运算，数量掌握整式、二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，然后根据二次根式的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方及合并同类项法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质进行化简，然后根据二次根式的运算法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质进行化简，然后根据二次根式的运算法则计算即可； (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式； (3) 小问详解： 原式； (4) 小问详解： 原式． 13．【答案】 【分析】 先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】 2-=. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 【详解】 14．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算、整式的混合运算． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式、积的乘方，再计算单项式的乘法，最后合并同类项即可； （3）先计算算术平方根、乘方、立方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （4）先化简二次根式并计算完全平方公式，再计算除法，最后计算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 (3) 小问详解： 解：原式 (4) 小问详解： 解：原式 15．【答案】（1）此三角形的面积为；     （2）此三角形的面积为；     （3）此三角形的面积的平方为．      【分析】 本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． （1）根据海伦公式求这个三角的面积； （2）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可； （3）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可． (1) 小问详解： 解：一个三角形的三边长分别为2，3，4， ， ， 此三角形的面积为； (2) 小问详解： 解：由题意，令，，， ； 此三角形的面积为； (3) 小问详解： 解：设等腰三角形的腰长为x，底边为y，则，， 由秦九韶公式得：， ， ， ， 将代入中：， 或不合题意，舍去， ， ，， ， 此三角形的面积的平方为． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 17．【答案】11 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入计算即可． 【详解】 解：∵， ， ∴， ． ∴ ， 故答案为：11． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，求立方根． （1）先计算平方，立方根，绝对值，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，并计算负整数指数幂，再计算乘除，最后计算加减即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 19．【答案】（1）     （2）9      【分析】 本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和二次根式的除法进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 20．【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查了平方差公式与完全平方公式，平方根的计算，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式与完全平方公式． （1）利用已知条件  和 ，先计算  和  的值，再代入表达式  中化简，最后求平方根即可． （2）先化简代数式，由分母不能为零可得 且 ，再从给定的  值中选择合适的值，代入化简后的表达式求值即可． (1) 小问详解： 解：∵ , ， ∴计算 ， ， ， ， ∴． (2) 小问详解： 解：设原式为   ， ∵分母  且 ， ∴  且 ， ∴只能选 ， 代入 ． 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，以及零指数幂和负整数指数幂的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）先根据零指数幂的意义、负整数指数幂、二次根式的性质、绝对值的意义化简，再算加减即可； （2）先根据平方差公式、二次根式的性质化简，再算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算； （1）根据立方根、二次根式的性质、绝对值、零指数幂进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： 原式 ； (2) 小问详解： 解： ． 23．【答案】（1）3，     （2），     （3），，      【分析】 本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值． （1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值； （2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值； （3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值． (1) 小问详解： 解：由题意知，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：3，． (2) 小问详解： 解：， 当且仅当，即，解得， ∵， ∴时，的最小值为． (3) 小问详解： 解： , 当时，． 当且仅当，，且， ∴，． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再求和的值，再根据完全平方公式将代数式变形，最后代入计算即可； （2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a、b的值，再直接代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ， ∴，， ∴ ； (2) 小问详解： ∵， ∴，， 由（1）知，， ∴，， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴ ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）式子有意义，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】 解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，式子的被开方数为， ∴， 解得． 2．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）使二次根式有意义的实数x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】 解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 3．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）若，，下列选项错误的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】 解：∵，∴，故A正确，不符合题意； ∵，，∴，故B错误，符合题意； ∵，，∴，故C正确，不符合题意； ∵，，∴，故D正确，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，注意分母不能为，被开方数不能为负数． 根据分式和二次根式有意义的条件确定的取值范围即可． 【详解】 解：由题意可知： ， 解得：； 故选：A． 5．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查平方根的性质．选项A、B、C在满足条件时总是成立，而选项D中，即使左边有意义，右边也可能无意义（当且时），因此变形不一定正确． 【详解】 解：∵平方根的被开方数必须非负， A、左边要求且，此时右边也有意义且等式成立，故变形正确； B、对任意实数a成立，故变形正确； C、当，成立，变形正确； D、左边要求，但当且时，左边有意义，右边无意义，等式不成立，故变形不一定正确． 故选：D． 6．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）若式子有意义，则x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x＞2 C. x≥2 D. x≥﹣2 【答案】C 【分析】 若要有意义，即x-2≥0，求解即可． 【详解】 若有意义 令x-2≥0 ∴x≥2． 故选C． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，在二次根式中，要求字母a必须满足条件，即被开方数是非负的，所以当a≥0时，二次根式有意义，当a＜0时，二次根式无意义． 7．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）实数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了代数式化简，涉及由数轴表示数的大小、绝对值代数意义、二次根式性质及整式的混合运算等知识，先由实数在数轴上的对应点的位置得到，且，进而得到，，，再由二次根式性质化简，然后利用绝对值的代数意义去绝对值，最后由整式加减运算法则化简即可得到答案． 【详解】 解：根据数轴上点的位置得到，且， ∴，，， ∴ ， 故选：A． 8．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）若满足关系式，则的值为（       ） A.  B. 6 C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ． 【详解】 解：∵ ， ∴ ，，． 由 得 ， 由 得 ，即 ， ∴ ． 代入原式：， ， ∴ ， 两边平方得 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 9．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，对任意正整数，满足，．下列结论中正确的个数是（       ） ①满足条件的单项式有3个； ②若，则当最大时，与是同类二根式； ③若，则满足条件的整式有19个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了整式的定义，同类二次根式的判定；当，，则，故① 正确；结论②在时n最大为5，此时，，两者为同类二次根式，正确；结论③中与条件矛盾，无解，故错误．因此仅结论① 和②正确． 【详解】 解：结论①：当，，，则， ∴存在满足条件的单项式有3个，即；故① 正确． 结论②：∵，当最大时，则相邻差取最小值2． 由，，得，． 当时，，，，，，． ∴，，两者均为的倍数，为同类二次根式．∴正确． 结论③：∵，但 ∴，矛盾，无解．∴错误． 故选：C． 10．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）已知两个二次根式，进行如下操作：令，将加上，结果记为，令，将加上，结果记为；令，将加上，结果记为，以此类推，下列说法正确的个数是（     ） ①的最小值为； ②当时，； ③； ④若，则有唯一解． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次根式的性质、分母有理化及代数式的化简． ①通过完成平方判断最小值；②代入后计算奇偶项和之差；③利用分母有理化验证求和公式；④通过设化简方程求解． 【详解】 ① ∵ ， 而 ，， ∴最小值不为 ，①错误； ②当 时，， ∴ ， ， 相减得 ， ∵ （）， ∴②错误； ③ ∵ ， ∴ ， ∴③正确； ④令 ，则， ， ， ∴ ， ∴ ， 设等于，则， ∴ ，唯一解，④正确． 故选：B． 11．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）已知多项式，下列说法： ①若，则； ②的最小值为； ③若为整数，则整数的取值为、或； ④若，则．其中正确的个数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 当 时，可得：，，计算可得；设，利用二次函数的性质求出最小值；根据可知，必须为整数，所以可得或或，解方程求出的值即可；利用分母有理化可得：． 【详解】 解：当 时，，， 则 ， 故正确； 设， 二次函数：， ， 的图象开口向上，函数有最小值， 当 时，函数有最小值为 ， 的最小值为， 故正确； ， 可得：， 若为整数， 则 为整数， 即 是 4 的约数， 可得：或或， 解得：或或或或或， 故错误； ， 则 ， 故错误， 综上所述，正确说法为和，共个． 故选：B． 【点睛】 本题考查多项式的运算、二次函数的最值、分式的整数解以及裂项相消法、二次根式的混合运算，需要逐一验证四个说法的正确性． 12．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）若有意义，则能取的最小整数值是　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】 解：∵有意义， ∴， ∴， ∴能取得最小整数为1． 故答案为：1 【点睛】 此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“被开方数大于等于0”是二次根式有意义的条件是解题的关键． 13．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）化简：＝　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】 解：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 14．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式的被开方数必须非负，分式有意义的条件是分母不能为零． 【详解】 解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴ ， 解得 ． 故答案为 ：． 15．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0求解即可； 【详解】 解：由二次根式有意义的条件可知，， 解得． 故答案为：． 16．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）若，为实数，，则的值为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得的值，进而得出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】 解：实数，满足， ， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：或． 17．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了根据数轴上点的位置信息，二次根式的性质，绝对值化简，立方根的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据数轴上点的位置信息结合运算法则化简运算即可． 【详解】 解：由图象可得：，， ∴ 故答案为：． 18．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）若a、b、c是三角形的三边长，化简　　　　　　 【答案】-2b+2a 【分析】 根据三角形三边关系，判断出绝对值和括号内多项式的符号，化简绝对值和二次根式，再合并同类项即可． 【详解】 解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，化简二次根式，合并同类项等知识点，根据三角形三边关系判断出绝对值和括号内多项式的符号是解题的关键． 19．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）在进行实数的化简时，我们可以用“”，如，利用这种方式可以化简被开放数较大的二次根式． （1）已知m为正整数，若是整数，求m的最小值　　　　　　； （2）设n为正整数，若，y是大于1的整数，则y的最大值与y最小值的差为　　　　　　． 【答案】① 15    ② 10 【分析】 本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）由题意知，，然后求解作答即可； （2）由题意知，，则当时，，当n增大时，y减小，则当时，，然后求解作答即可． 【详解】 （1）解：∵，m为正整数，是整数， ∴m的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵，n为正整数，y是大于1的整数， ∴当时，， ∵当n增大时，y减小， ∴当时，， ∴y的最大值与y最小值的差为， 故答案为：10． 20．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键． 根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值符号，再进行计算即可解答． 【详解】 解：由图可知，，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】，． 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值、二次根式的性质，首先把整式各部分展开、合并同类项，可得：原式，根据平方根的非负性、平方的非负性，可得：，，把字母的值代入化简后的代数式计算求值即可． 【详解】 解： ， ， ，， 解得：，， 当，时， 原式． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）计算的值为（     ） A. 4 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】 解：． 故选：B． 2．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）估计的运算结果应在（       ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D. 9到10之间 【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行二次根式的运算，再根据夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】 解：原式， ∵， ∴， ∴； 故选C． 3．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）下列属于最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义:被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】 解：．，被开方数含能开得尽方的数，故本选项不符合题意； ．是最简二次根式，故本选项符合题意； ．，被开方数是小数，故本选项不符合题意； ．，被开方数含能开得尽方的数，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）估计的值应在（       ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【分析】 将化为，根据20介于16和25之间，即可计算出结果． 【详解】 解：． ∵16<20<25， ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了含有二次根号的无理数的估算等知识点，熟知被开方数介于哪两个相邻的完全平方数之间是解题的关键． 5．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，整式的运算，完全平方公式和平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先计算二次根式的乘法，化简绝对值，计算立方根，最后再进行加减计算； （2）先用平方差公式和完全平方公式进行计算，最后合并同类项． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）估算的取值范围（     ） A. 6和7之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】D 【分析】 本题考查二次根式的运算以及无理数的估算，熟练掌握运算法则是解题关键；通过分配律简化表达式，再判断其整数范围． 【详解】 解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 取值范围在10和11之间． 故选：D． 2．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）估算的值应在（     ） A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 13和14之间 D. 15和16之间 【答案】C 【分析】 此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据二次根式的混合运算法则化简，然后利用无理数的估算求解即可． 【详解】 解：， ， ， 的值应在13和14之间， 故选：C． 3．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）比较大小：，，的大小顺序是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】 解：，，， ∵， ∴； 故选D． 4．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）估计的值应在（             ）之间 A. 7和8 B. 8和9 C. 9和10 D. 10和11 【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算．先根据二次根式的混合运算进行计算，然后通过平方数估计无理数的范围，从而确定整体值的区间． 【详解】 解∶ ∵，， ∴， ∴， ∴． 因此，的值在10和11之间， 故选：D． 5．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）估计的值应在（     ） A. 0到1 B. 1到2 C. 2到3 D. 3到4 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次根式的性质，无理数的估算，熟练掌握相关方法是解题的关键． 利用二次根式性质将原式变形，然后对和的进行估算，结合分子分母都是整数且分子小于分母，得到结果在到之间． 【详解】 解：∵ ∵，， 即，， ∴ ∴ ∴ 的值在到之间， 故选：A． 6．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）估计的值应在（     ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【分析】 本题考查无理数的估算和二次根式的混合运算，将原式化简为，通过估计的大小确定的取值范围． 【详解】 解： ， ∵， ∴， ∴，即， 因此，的值在2和3之间， 故选：C． 7．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】， 【分析】 （1）先化简为最简二次根式，然后计算加减法即可； （2）利用平方差公式计算乘法，同时计算除法，然后计算加减即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】 题目主要考查二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键． 8．（25-26学年八·重庆高新·期中）　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查实数的混合运算，先计算平方根和绝对值，再求和． 【详解】 解： ． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先把原式整理得，然后运算乘法，最后运算除法，再进行化简，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 10．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）比较大小：　　　　　　　　．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的大小比较； 对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较，先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】 解：∵ ，， 又∵ ，且 ，， ∴ ， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）计算 （1） （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的加减与化简，算术平方根，立方根，有理数的乘方，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）先进行二次根式的化简，再加减即可； （2）先进行算术平方根，立方根，有理数的乘方，绝对值计算，最后再加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 12．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了整式、二次根式的混合运算，数量掌握整式、二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，然后根据二次根式的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方及合并同类项法则计算即可； （3）先根据二次根式的性质进行化简，然后根据二次根式的运算法则计算即可； （4）先根据二次根式的性质进行化简，然后根据二次根式的运算法则计算即可； (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式； (3) 小问详解： 原式； (4) 小问详解： 原式． 13．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）计算：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】 2-=. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 【详解】 14．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）化简 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算、整式的混合运算． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式、积的乘方，再计算单项式的乘法，最后合并同类项即可； （3）先计算算术平方根、乘方、立方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （4）先化简二次根式并计算完全平方公式，再计算除法，最后计算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式 (2) 小问详解： 解：原式 (3) 小问详解： 解：原式 (4) 小问详解： 解：原式 15．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）我们常用的计算三角形面积的方法，需知道三角形的一边及这边上的高，其实已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，也可以求其面积，中外数学家就这个问题曾经进行过深入的研究． 古希腊的几何学家海伦给出过求其面积的海伦公式： ，其中； 我国南宋时期的数学家秦九韶曾经提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式：， 从以上两个公式中选择恰当的公式，解决以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别为2，3，4，求此三角形的面积； （2）若一个三角形的三边长分别为，，，求此三角形的面积； （3）若一个等腰三角形的腰和底边之和为，它们的积为1，求这个等腰三角形面积的平方． 【答案】（1）此三角形的面积为；     （2）此三角形的面积为；     （3）此三角形的面积的平方为．      【分析】 本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积． （1）根据海伦公式求这个三角的面积； （2）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可； （3）把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可． (1) 小问详解： 解：一个三角形的三边长分别为2，3，4， ， ， 此三角形的面积为； (2) 小问详解： 解：由题意，令，，， ； 此三角形的面积为； (3) 小问详解： 解：设等腰三角形的腰长为x，底边为y，则，， 由秦九韶公式得：， ， ， ， 将代入中：， 或不合题意，舍去， ， ，， ， 此三角形的面积的平方为． 16．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 17．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）若，，则代数式的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入计算即可． 【详解】 解：∵， ， ∴， ． ∴ ， 故答案为：11． 18．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，求立方根． （1）先计算平方，立方根，绝对值，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，并计算负整数指数幂，再计算乘除，最后计算加减即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 19．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）9      【分析】 本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． （1）先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式和二次根式的除法进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 20．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）化简求值： （1）已知，求代数式的值． （2），从中选一个合适的代入求值． 【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查了平方差公式与完全平方公式，平方根的计算，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式与完全平方公式． （1）利用已知条件  和 ，先计算  和  的值，再代入表达式  中化简，最后求平方根即可． （2）先化简代数式，由分母不能为零可得 且 ，再从给定的  值中选择合适的值，代入化简后的表达式求值即可． (1) 小问详解： 解：∵ , ， ∴计算 ， ， ， ， ∴． (2) 小问详解： 解：设原式为   ， ∵分母  且 ， ∴  且 ， ∴只能选 ， 代入 ． 21．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）计算． （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，以及零指数幂和负整数指数幂的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）先根据零指数幂的意义、负整数指数幂、二次根式的性质、绝对值的意义化简，再算加减即可； （2）先根据平方差公式、二次根式的性质化简，再算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 22．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算； （1）根据立方根、二次根式的性质、绝对值、零指数幂进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： 原式 ； (2) 小问详解： 解： ． 23．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： （1）若，当_______时，式子的最大值为_______． （2）若，求出的最小值及对应的x的值． （3）已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 【答案】（1）3，     （2），     （3），，      【分析】 本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值． （1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值； （2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值； （3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值． (1) 小问详解： 解：由题意知，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：3，． (2) 小问详解： 解：， 当且仅当，即，解得， ∵， ∴时，的最小值为． (3) 小问详解： 解： , 当时，． 当且仅当，，且， ∴，． 24．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）已知，． （1）求的值． （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再求和的值，再根据完全平方公式将代数式变形，最后代入计算即可； （2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a、b的值，再直接代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ， ∴，， ∴ ； (2) 小问详解： ∵， ∴，， 由（1）知，， ∴，， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴ ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $